1.1 集合的概念 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“集合的概念”核心知识，涵盖元素与集合的定义、元素特性、符号表示及列举法、描述法。通过方程根、班级学生、点集等生活实例导入，引导学生从具体对象抽象出集合概念，搭建现实情境到数学抽象的学习支架。 此资料亮点在于以反例辨析（如“个子高的同学”不满足确定性）和追问突破元素特性理解，通过对比列举法（有限集）与描述法（无限集）深化表示方法选择，体现数学思维的推理意识与数学语言的符号表达。实例教学帮助学生发展抽象能力，提升教师教学逻辑性与学生学习直观性。

必修第一册 1.1 集合的概念 教学设计-2026-2027学年 高一 数学 人教A版 一、教学过程 1. 情境导入与概念生成 教师展示三个生活实例：方程 x²−1=0 的所有实数根；高一（1）班全体同学；到点O的距离等于1的所有点。引导学生观察这三个例子的共同特征，即它们都是由一些确定的对象组成的总体。在此基础上，教师给出教材定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。教师追问：方程 x²−1=0 的所有实数根组成的集合中，元素分别是什么？预设学生回答：元素是1和−1。设计意图：从学生熟悉的方程根、班级学生等背景出发，让学生经历从具体到抽象的过程，自然生成集合与元素的概念。 2. 元素特性的探究 教师提出问题：给定一个集合，那么一个对象在不在这个集合中，是确定的还是模糊的？预设学生回答：是确定的。教师追问：能否举一个不满足确定性的反例？预设学生回答：班里个子高的同学，因为多高才算高没有明确标准。教师归纳：给定的集合，它的元素必须是确定的。接着教师提问：一个集合中能否出现两个相同的元素？预设学生回答：不能。教师归纳：一个给定集合中的元素是互不相同（不重复出现）的。教师继续提问：集合 {1,2,3} 与集合 {3,2,1} 是否为同一个集合？预设学生回答：是同一个集合。教师归纳：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，集合中的元素没有先后顺序之分。设计意图：通过反例辨析和追问，引导学生理解集合元素的确定性、互异性和无序性，突破重点。 3. 符号表示与常用数集 教师介绍集合与元素的表示约定：大写拉丁字母 A,B,C… 表示集合，小写拉丁字母 a,b,c… 表示元素。随后讲解属于与不属于的符号：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A。教师让学生判断：若 A 表示方程 x²−1=0 的实数根组成的集合，那么 1∈A 是否正确？2∈A 是否正确？预设学生回答：1∈A 正确，2∈A 不正确，应为 2∉A。接着教师列出常用数集及其专用记法：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N* 或 N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作 R。设计意图：规范符号语言，帮助学生掌握 ∈、∉ 的读写及常用数集的专用字母。 集合的概念 内 容 元素与集合 研究对象统称为元素，由元素组成的总体叫做集合 元素特性 确定性、互异性；元素相同则集合相等，与顺序无关 属于与不属于 a∈A 表示 a 属于 A；a∉A 表示 a 不属于 A 常用数集 N（自然数集）、N*（正整数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集） 4. 列举法 教师指出，为了方便交流和运算，需要用数学符号表示集合。教师讲解：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号"{}"括起来表示集合的方法叫做列举法。例如，方程 x²−1=0 的实数根组成的集合用列举法表示为 {1,−1}。教师让学生用列举法表示以下集合：小于5的正整数组成的集合。预设学生回答：{1,2,3,4}。教师追问：能否用列举法表示方程 x²=2 的所有实数根组成的集合？预设学生回答：不能，因为根是无理数，无法一一列举。设计意图：通过实例让学生掌握列举法的书写格式，并体会列举法适用于元素较少且能明确写出的集合。 5. 描述法 教师针对列举法无法表示无限集的局限性引入描述法。教师讲解：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 {x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法。花括号内先写代表元素及取值范围，再画一条竖线，最后写明共同特征。例如，方程 x²−5x+6=0 的实数根组成的集合可表示为 {x∈R|x²−5x+6=0}。教师追问：若从上下文看 x∈R 是明确的，可否省略 x∈R 只写元素？预设学生回答：可以省略，写成 {x|x²−5x+6=0}。教师让学生用描述法表示不等式 x−3<0 的解集。预设学生回答：{x∈R|x<3}，简写为 {x|x<3}。设计意图：剖析描述法的一般形式，强调竖线左侧的代表元素与右侧的共同特征，突破描述法书写这一难点。 6. 表示方法的比较与选择 教师引导学生比较两种表示方法：列举法直观、一目了然，适用于元素较少的有限集；描述法抽象、概括性强，适用于无限集或元素很多的集合。教师提问：下列集合用哪种方法表示更合适？（1）10以内的正偶数组成的集合；（2）所有偶数组成的集合。预设学生回答：（1）用列举法表示为 {2,4,6,8,10}；（2）用描述法表示为 {x∈Z|x=2k，k∈Z}。教师追问：集合 {(x,y)|y=2x+1} 的元素是什么？预设学生回答：元素是有序数对 (x,y)，表示直线 y=2x+1 上的所有点。教师提醒：描述法中竖线左侧代表元素的形式决定了集合中元素的类型，{x|y=2x+1} 与 {(x,y)|y=2x+1} 是完全不同的集合。设计意图：通过对比让学生学会根据集合特点选择合适的表示方法，并深化对描述法代表元素的理解。 7. 巩固练习与小结 教师布置课堂练习：用适当的方法表示下列集合。（1）大于1且小于6的整数组成的集合；（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合。预设学生回答：（1）用列举法表示为 {2,3,4,5}；（2）用描述法表示为 {(x,y)|x<0且y>0}。教师追问练习（2）中能否省略 (x,y)∈R²？预设学生回答：不能省略，因为代表元素是有序数对，必须写明。教师组织学生小结本课内容：元素与集合的概念、元素的确定性与互异性、属于与不属于符号、常用数集记法、列举法与描述法。设计意图：通过练习检验学生对表示方法的掌握情况，小结梳理本节核心知识，强化重点。 学科网（北京）股份有限公司 $