4.5.1 函数的零点与方程的解限时训练01-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点与方程的解，分层设计从概念理解到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固，培养数学思维的推理能力与数学语言的模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|零点概念、存在性定理|单选直接求零点/区间，夯实概念理解| |进阶层|参数范围、多零点比较|含多选与中档填空，训练逻辑推理| |综合层|函数性质综合、含参解答|解答题递进设计，发展模型观念与创新意识|

4.5.1 函数的零点与方程的解限时训练01 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 3．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 6．（26-27高一上·全国·专题训练）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为有解，则实数的取值范围即为函数的值域，然后根据指数函数单调性求解值域即可得解． 【详解】函数的图象与轴有交点，有解， 则实数的取值范围即为函数的值域， ，，实数的取值范围是． 故选：A 7．（25-26高二下·山西运城·期末）已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得出是偶函数，通过且在的表达式确定在有且仅有个不同的零点即可求解. 【详解】已知函数，， 则，因此是偶函数，图象关于轴对称， 若函数有且仅有个不同的零点，则且在有且仅有个不同的零点， 所以，即， 当时，，则，， 所以， 由于此时有且仅有个不同的零点，需满足，解得， 因此实数的取值范围是. 8．（25-26高一下·广西崇左·期末）（多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】由题知，令，则， 所以， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以当时，，A正确； 当时，， 当时，， 因为是定义在上的偶函数， 所以，，B错； 当时，令，解得， 又因为是定义在上的偶函数， 所以，的解集为，C正确； 由上述可知，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为是定义在上的偶函数， 所以要使有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 即与两函数有两个交点， 则需满足或，D错. 9．（2026·湖南张家界·模拟预测）（多选）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】ABD 【详解】当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，A正确； 当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，B正确； 当时，图像如下所示： 由图可知，不存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，C错误； 当时，图像如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，D正确. 10．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．函数有8个零点 【答案】AD 【分析】因为时是二次函数，可配方求值域和零点情况；时去绝对值分析 的单调性、值域，所以能画出的大致图象，找到方程有四个不同实根时的取值范围.对于，因为是时二次方程的两个根，所以用韦达定理可直接得到、的表达式.对于，因为是时方程的两个根，所以去掉绝对值后可得，，进而推导、的取值范围，再结合的结果得到的范围.分析的零点：先令，解方程得到的所有取值，再分别判断每个对应的的实根个数，相加得到的零点总数. 【详解】时，，值域为，顶点，时； 时，，值域为 作出函数图像如图： 方程有四个不同根的条件是，故A正确； 是方程即的两根，由韦达定理：； 是的两根，得，， 故，即； 因此，其取值范围为，故B错误； ，，故，，其取值范围为，故C错； 的零点等价于， 解得的根为：； 分别计算的根个数： ：无实根； ：共2个实根； 当时，有个实根. 因此的总零点个数为个，D正确. 11．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【分析】先根据零点的定义得到，，从而得到，，再构造函数，进而结合该函数的单调性即可求出的值． 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 12．（2026高三下·全国·专题练习）若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 【答案】 【分析】设 ， ，分析两个函数的正负情况，可得到两个函数在上的零点相同，可得答案. 【详解】设 ， ， 二次函数 开口向上， 令 ，解得：， 因为 ，我们只考虑正根，设 ， 根据二次函数的性质： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 一次函数 的零点为：， 要使 恒成立， 和 必须在各自区间内同号， 即需要满足：， 解得：. 13．（2026高三下·全国·专题练习）设函数．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】通过讨论的零点个数，确定的范围，再判断的零点个数，即可求解. 【详解】设， 若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点， 或，， 综合可得：； ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去； 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. 14．（2026·上海浦东新·三模）已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【分析】（1）根据函数在区间上是严格增函数，由求解； （2）转化为方程在有两个不同的实数解求解. 【详解】（1）因为函数在区间上是严格增函数， 所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到， 即， 化简得，即， 解得． 因此，实数的值为2． （2）由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解， 即关于的方程在有两个不同的实数解， 因为， 因此． 由题意得，即 综上，实数的取值范围为． 15．（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. （3）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解限时训练01 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·全国·专题训练）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山西运城·期末）已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·广西崇左·期末）（多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 9．（2026·湖南张家界·模拟预测）（多选）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 10．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．函数有8个零点 11．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 12．（2026高三下·全国·专题练习）若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 13．（2026高三下·全国·专题练习）设函数．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为__________． 14．（2026·上海浦东新·三模）已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 15．（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $