4.5.1 函数的零点与方程的解专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 题型一 求函数的零点 1．已知函数的零点是，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是偶函数，则函数的零点是 . 4．已知函数，，． (1)求的零点； (2)若存在，使等式成立，求的取值范围； (3)若存在，使不等式成立，求的取值范围． 题型二 根据零点求函数解析式中的参数 5．已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 6．（多选）设，若互不相等，则下列选项中正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 7．已知二次函数的两个零点为，则 8．已知函数 (1)若函数的一个零点是，求的值； (2)当时，求函数的最小值； (3)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围． 题型三 零点存在性定理的应用 9．函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选）已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 15 10 6 则函数在区间上的零点可能有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．方程的实数根的个数是 . 12．已知函数. (1)求值：； (2)求证：有且仅有两个零点、，并求的值. 题型四 根据零点所在的区间求参数范围 13．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 15．若函数在区间内有零点，则的取值范围是 ． 16．设函数，其中，且． (1)当时，求的零点个数； (2)若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由． 参考数据：…． 题型五 根据函数零点的个数求参数范围 17．设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A．－1 B． C．1 D．2 18．（多选）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 19．已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是 ． 20．已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 题型六 根据一次函数零点的分布求参数范围 21．若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 22．（多选）已知函数，如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D．. 23．已知函数与的零点分别为m和n，若存在m，n使得，则实数a的取值范围是 . 24．已知函数. (1)若时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数a的取值范围； (2)若时，关于x的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围. 题型七 根据二次函数零点的分布求参数范围 25．已知函数，若图象上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（多选）已知函数的图象与轴交于两点．则（    ） A． B．若，则 C．当时， D． 27．已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 28．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数． (1)求的最大值； (2)设函数． （i）若函数与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围； （ii）恒成立，求实数的取值范围． 题型八 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 29．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（多选）设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 31．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围 ． 32．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解 题型一 求函数的零点 1．已知函数的零点是，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的零点结合根与系数的关系得，，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由韦达定理，可得：，， 那么：， ， ，当且仅当取得等号， 即， 故的最大值为. 故选：D. 2．（多选）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可. 【详解】对于选项A：函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B：因为，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C：因为，，且函数在上连续，故可以用二分法求函数在上零点的近似值，C正确； 对于选项D：当时，令，解得， 当时，令，解得， 且根据一次函数性质知函数值在零点两侧异号，故能用二分法求零点的近似值，D正确； 故选：ACD 3．已知函数是偶函数，则函数的零点是 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义结合函数解析式确定的值再利用零点的定义即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，根据偶函数的定义， 代入得， 整理得：对所有的成立，可得，.因此， 令，得，故函数的零点是. 故答案为： 4．已知函数，，． (1)求的零点； (2)若存在，使等式成立，求的取值范围； (3)若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】（1）令，求出方程的解，即可得解； （2）依题意可得在上有解，令，，求出函数的值域，即可求出参数的取值范围； （3）依题意可得存在，使不等式成立，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）对于函数，令，即， 解得或， 所以的零点为、； （2）因为存在，使等式成立， 即方程在上有解， 即在上有解， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以， 因为在上有解， 即与在上有交点， 所以； （3）因为存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， 所以，所以的取值范围为. 题型二 根据零点求函数解析式中的参数 5．已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 6．（多选）设，若互不相等，则下列选项中正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】ABD 【分析】由，可解得，可判断A；当时，取，可得，不满足互不相等，可判断B；将看成函数与图象的交点横坐标，可判断C，D. 【详解】由，可得，因为，所以，故A正确； 当时，，若，则， 故，不满足互不相等，所以，故B正确； 因为，， 可将看成函数与图象的交点横坐标， 当时，图象如图1或图2， 可得或，此时； 当时，各函数图象如图3， 可得：，此时，所以C不正确，D正确. 故选：ABD 7．已知二次函数的两个零点为，则 【答案】 【分析】由二次函数根与系数的性质求解即可. 【详解】因为二次函数的两个零点为， 所以，，解得，， 所以． 故答案为：. 8．已知函数 (1)若函数的一个零点是，求的值； (2)当时，求函数的最小值； (3)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用零点的定义列式求出值. （2）利用基本不等式求出最小值. （3）根据给定条件，分离参数并利用二次函数求出值域即可得解. 【详解】（1）由函数的一个零点是，得，所以. （2）当时，，当且仅当时取等号， 所以函数的最小值为. （3）对任意，， 而在上恒成立，因此， 所以实数的取值范围是. 题型三 零点存在性定理的应用 9．函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举反例说明条件不充分，运用零点存在定理结合反证法说明必要性. 【详解】若 ，即和同号或至少一个为零， 若或，则函数在端点有零点， 若和同号，函数可能在区间内穿过零点，例如： 由连续性，函数在内存在零点， 因此，不能保证没有零点，即条件不充分； 如果函数在 上没有零点，则对任意，有 ， 由于函数连续，若 和 异号（即 ）， 则由零点存在定理，存在 使得，与“没有零点”矛盾， 因此，没有零点时，和 必须同号（即），这蕴含， 故“没有零点”蕴含“”，即条件是必要的. 所以“”是“函数在区间上没有零点的必要不充分条件. 故选：B 10．（多选）已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 15 10 6 则函数在区间上的零点可能有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】BCD 11．方程的实数根的个数是 . 【答案】1 【分析】根据题意，构造函数，利用函数的单调性和零点存在定理判断函数只有一个零点即得. 【详解】由可得， 设， 因函数在单调递减，故在单调递减， 又，， 由零点存在定理可知，只存在一个，使得， 故方程的实数根的个数是1. 故答案为：1. 12．已知函数. (1)求值：； (2)求证：有且仅有两个零点、，并求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由已知可得，进而可得所求值； （2）判断函数单调性，结合函数零点存在定理可判断零点个数，即可得 【详解】（1）由已知，， 则， 所以， 所以； （2）由， 由于在和上均单调递增， 所以在和上均单调递增， 则函数在和上各至多有个零点， 又，， 所以，使函数， 又由（1）得， 所以，且，使得， 综上所述，函数有且仅有两个零点、，且. 题型四 根据零点所在的区间求参数范围 13．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 14．（多选）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】函数，根据绝对值的性质将函数分段讨论其单调性等性质.已知且，计划先求出和的取值范围或者关系，再对每个选项进行分析判断. 【详解】对于函数，这是一个单调递增的指数函数. 函数，当，即时，； 当，即时，. 画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且. 因为，，所以，. 此时，移项可得，所以选项A正确.   由，根据基本不等式. 即，两边同时平方得，化简得，所以. 又因为，所以，选项B正确.   由图形知道，，所以选项C错误.   由得. ，令，. 则. 当时，，所以选项D正确. 故选：ABD. 15．若函数在区间内有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为在上单调递增，所以可由零点存在定理得，即，解关于的不等式可得的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以在区间内单调递增，则由零点存在定理可得， 即，解得，故的取值范围是． 故答案为： 16．设函数，其中，且． (1)当时，求的零点个数； (2)若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由． 参考数据：…． 【答案】(1)函数恰有一个零点 (2)a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74，理由见解析 【分析】（1）根据函数的单调性和零点存在性定理判断； （2）由（1）可知，根据零点存在性定理得，从而求解a的值. 【详解】（1）时，， 因为，， 所以，由零点存在定理，在区间存在一个零点， 因为和均在单调递增， 所以在单调递增， 所以函数恰有一个零点． （2）当时，由（1）可知，是增函数， 至多有一个零点，不符合题意； 当时，，， ，， 当时有，，符合题意； 此时，解得，， 因为，（或也可） 且， 所以a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74． 题型五 根据函数零点的个数求参数范围 17．设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意转化为方程在区间上有且只有一个根，再利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】当时，曲线与恰有一个交点， 即时，方程只有一个实数根， 方程化简为， 问题可转化为函数在时只有一个零点， 由在上为偶函数，则有，解得. 时，函数， 方程在时，只有一个解， 所以当时，曲线与恰有一个交点. 故选：C 18．（多选）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据二次函数、幂函数、对数函数的图象特点画出函数，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，单调递增，且的值域为； 当时，单调递增，所以，即值域为； 当，，当时，取得最大值2，故值域为且，画出函数图象如图所示： 要想有两个零点， 则的图象与直线有两个交点，则或或， 所以AD正确. 故选：AD. 19．已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题转换成函数的图象与直线有4个不同的交点，结合图象即可求解. 【详解】由题意，， 则函数的大致图象如下： 由函数有4个不同的零点， 得函数的图象与直线有4个不同的交点， 如图所示， 则，解得． 故答案为： 20．已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义，结合对数运算求解即得. （2）应用对数的运算性质求解方程的根. （3）由题设可得在上有解，构造函数并探讨函数单调性，求出值域即可得参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为R，且为偶函数， 则，，即恒成立， 因此，而不恒为0，则， 所以. （2）由（1）得，， 由方程，得， 即，整理得， 即，因此，即， 而，解得，即，所以所求方程的根为. （3）由（1）得在上有零点， 则在上有解，令函数， 函数在上单调递增，而函数是定义域上的增函数， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，则，则， 所以实数的取值范围是. 题型六 根据一次函数零点的分布求参数范围 21．若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 【答案】D 【分析】当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解. 【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0； 函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数， 所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0， 解得a＜－1或a＞. 故选：D. 22．（多选）已知函数，如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围可以是（    ） A． B． C． D．. 【答案】BD 【分析】在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，观察函数图象即可得出答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图， 由图象可知，当时，函数f (x)有两个零点和，当时，函数f (x）有两个零点和. 故选：BD 23．已知函数与的零点分别为m和n，若存在m，n使得，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据函数的单调性和零点存在性定理，确定实数的值，并根据，确定实数的取值范围，并根据函数零点的取值范围，采用参变分离的方法，转化为求函数的值域问题. 【详解】对于函数， 明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以函数在定义域上单调递增， 又，所以， 所以，即， 即函数在上存在零点， 令，得， 令，， 对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以的值域为， 所以实数的取值范围是. 24．已知函数. (1)若时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数a的取值范围； (2)若时，关于x的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），由零点存在性定理得到，结合求出答案； （2）考虑和两种情况，结合根的判别式进行分类讨论，求出答案. 【详解】（1）时，开口向上，为连续函数， 且， 要想在区间内有且只有1个零点，只需， 即，解得， 综上，实数a的取值范围是； （2）当时，为一次函数，令， 解得，满足在区间内有且只有1个实数根， 当时， 当时，开口向下，为连续函数，且， 当，解得或， 当时，，令， 解得，舍去， 当时，，令， 解得，满足要求， 当，即时， 因为开口向下，为连续函数，且， 故，解得， 综上，实数a的取值范围是. 题型七 根据二次函数零点的分布求参数范围 25．已知函数，若图象上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在函数的区间上的图象上任取点，则点在函数在的图象上，整理可知函数有两个不等的正零点，根据二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】在函数在上的图象上任取点，则， 则点在函数的的图象上，即，即， 所以，整理得， 令，则函数有两个不等的正零点， 所以，解得. 故实数的取值范围是. 故选：D. 26．（多选）已知函数的图象与轴交于两点．则（    ） A． B．若，则 C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】由题意知有两个不相等的实数根，利用根的判别式可判断A；由结合韦达定理求出的值；将变形利用韦达定理计算可判断C；求得，，用换元法求得的范围可判断D. 【详解】由题意知有两个不相等的实数根， 对于A，由题意，，解得，故A正确； 对于B，根据韦达定理，得，，解得，故B正确； 对于C，当时，， ，故C不正确； 对于D，因为所以， 令，所以， 当时等号成立，所以，故D成立. 故选：ABD 27．已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【分析】首先判断二次函数的根是否为两个异根，再根据零点存在定理使，最后解不等式即可求解. 【详解】若，即， 则此时的解为； 若，即或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 28．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数． (1)求的最大值； (2)设函数． （i）若函数与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围； （ii）恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据函数的奇偶性列式求得，利用二次函数求解最值即可； （2）（i）将函数与的图象有4个不同的交点问题转化为关于的方程有两个不相等的正根，然后利用根的分布列不等式组求解即可；（ii）由题意恒成立，参变分离，设，则，进而利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】（1）因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 即， 消去，得到， 因此，当时，的最大值为. （2）（i）令， 得，整理得， 令，即关于的方程有两个不相等的正根， 于是，解得. （ii）由（1）知，由， 得到，即， 于是，整理得， 所以恒成立，于是， 设，则， 于是， 当且仅当，即时等号成立， 此时.所以. （另解： ， 当且仅当，即时等号成立．） 题型八 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 29．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为有解，则实数的取值范围即为函数的值域，然后根据指数函数单调性求解值域即可得解． 【详解】函数的图象与轴有交点，有解， 则实数的取值范围即为函数的值域， ，，实数的取值范围是． 故选：A 30．（多选）设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合有，结合对数函数、二次函数的性质可得、，进而逐项判断正误. 【详解】由解析式，可得大致图象如下，结合题设知，A错， 令，可得或， 所以，且，B对， 而，，则，C错， 由且，而在上单调递增， 所以，D对. 故选：BD 31．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】画出的图象，结合与有两个交点求得的取值范围. 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是． 故答案为： 32．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】(1)是“伪奇函数”，理由见解析 (2) (3)答案和理由见解析 【分析】（1）结合“伪奇函数”的定义判断即可； （2）令结合对数运算可知在有解，可得出的取值范围，再由在时恒成立，可得出，综合可得出实数的取值范围； （3）由在上有解，可化为在上有解，令，可知在有解，令，，对的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，，则， 故函数是“伪奇函数”． （2）令，则， 可得，可得， 即在有解， 而，则，所以，则， 又因为在时恒成立，所以，则，即， 因此实数的取值范围为． （3）当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 因为，则， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， 函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在上单调递增， 此时只需，解得， 此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，解得，此时. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $