第三章 代数式【章末复习】-课件-2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了代数式的核心知识，涵盖代数式定义、列代数式、代数式的值及几何与实际问题应用，通过知识框架图串联“字母代替数-列代数式-求值-解决问题”的学习逻辑，构建完整知识网络。 其亮点在于“知识点梳理-典型例题-易错点汇总-分层练习”的系统设计，如整体代入法例题培养运算能力，实际问题列代数式体现模型意识，易错点精准突破，助力学生巩固知识，教师可高效开展针对性复习。

人教版（新教材）数学七年级上册 第三章 代数式 章末复习 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/30 ## 一、知识框架回顾 本章一共四大核心板块：代数式、列代数式、代数式的值、几何与实际问题中的代数式求值。 学习逻辑：先用字母代替数→根据题意列出代数式→给定字母数值，求出代数式的值，最后用代数式解决生活、几何图形问题。 ## 二、知识点梳理 ### 知识点 1：代数式 1. **代数式定义**：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和字母连接而成的式子。单独一个数或者一个字母也是代数式。 > > 注意：含有等号 “=”、不等号 “＞、＜、≥、≤” 的式子**不是代数式**。 2. **代数式书写规范** ①数字写在字母前面，如：3a，不能写成a3； ②乘号省略不写；除法写成分数形式； ③带分数与字母相乘，带分数要化为假分数； ④代数式后面带单位，代数式是加减形式时要加括号。例：\((x+2)\mathrm{m}\)。 ### 知识点 2：列代数式 列代数式就是把文字语言转化成数学式子。 解题技巧：先读懂题意，抓住关键词：和、差、积、商、倍、几分之几、增加、减少。 示例： - a与b的和的 2 倍：\(\boldsymbol{2(a+b)}\) - x的平方与y的差：\(\boldsymbol{x^2-y}\) ### 知识点 3：代数式的值及其求法 1. 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算出来的结果，叫做代数式的值。 2. 求值步骤： （1）代入：把字母换成指定数值；负数、分数做乘方运算，必须加上括号； （2）计算：运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面； （3）作答。 3. 两种常用方法 ①直接代入法：已知每个字母的值，逐个代入计算。 ②整体代入法：不求出单个字母的值，把已知的式子看成一个整体，直接带入求值。 例：已知\(x‑2y=3\)，求\(2x‑4y+1\)。 变形得：\(2(x‑2y)+1=2\times 3+1=7\)。 ### 知识点 4：几何、实际问题中的代数式求值 1. 几何问题：先利用周长、面积公式列出代数式，再代值计算。 常用公式： 长方形：\(C=2(a+b)\)，\(S=ab\)；正方形：\(C=4a\)，\(S=a^2\)；三角形：\(S=\dfrac12ah\)；梯形：\(S=\dfrac12(a+b)h\)。 组合图形面积＝整体面积－挖去部分面积。 2. 实际问题：先根据数量关系列出代数式，再代入求值，解决费用、行程等问题。 ## 三、典型例题 例 1 判断下列式子哪些是代数式：①5；②\(x-1\)；③\(2x=6\)；④\(a>3\) 解：①②是代数式，③④含有等号、不等号，不是代数式。 例 2 当\(a=-3，b=2\)时，求代数式\(a^2‑2ab\)的值。 解：当\(a=-3,b=2\)时 \(\begin{align*} 原式&=(-3)^2-2\times(-3)\times 2\\ &=9+12\\ &=21 \end{align*}\)例 3 已知\(m+n=4\)，求代数式\(3(m+n)-5\)的值。 解：当\(m+n=4\)时，原式\(=3\times 4‑5=7\)。 例 4 一个长方形长为a，宽为\(a‑1\)，(1) 列出长方形面积代数式；(2) 当\(a=5\)时，求面积。 解：(1)\(S=a(a‑1)\)； (2) 当\(a=5\)，原式\(=5\times(5‑1)=20\)。 ## 四、易错点汇总 1. 负数、分数代入乘方不加括号，造成运算错误； 2. 代数式书写不规范，数字和字母顺序颠倒； 3. 分不清 “a的平方” 和 “2a”； 4. 整体代入求值时，漏乘公因数； 5. 几何问题忘记写上单位。 ## 五、章末过关练习题 1. 当\(x=-2，y=3\)时，求\(2x+y\)的值。 2. 已知\(a+2b=5\)，求代数式\(2a+4b‑3\)的值。 3. 正方形边长为x，(1) 写出正方形面积代数式；(2) 当\(x=4\)时，求面积。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 学习目标 2 本章知识结构图 用字母表示数 代数式 代数式的意义 列代数式 代数式的值 第三章 代数式 第1页：引言——代数式的产生与意义 在数学学习中，我们常常需要用符号表示数，以解决更具普遍性的问题。观察以下场景，感受符号的价值： - 购买文具：一支钢笔售价15元，买x支钢笔需要多少元？（用15x表示，x为购买数量） - 图形面积：一个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，它的面积是多少？（用ab表示，a、b为边长） - 年龄问题：小明今年m岁，爸爸的年龄比他大28岁，爸爸今年多少岁？（用m+28表示，m为小明年龄） 上述场景中，15x、ab、m+28都是代数式。本章核心：理解代数式的概念，掌握整式的相关知识及代数式的化简与求值，为后续方程、函数学习奠定基础。 第2页：代数式的定义与书写规则 一、代数式的定义 用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 代数式示例 - 单独的数：3、-5、0.8 - 单独的字母：a、x、y - 数与字母的组合：2a、x-3、$\frac{1}{2}$xy - 字母与字母的组合：ab、m²n 非代数式示例（判断依据） - x+3=5（含等号，是等式） - 2x>1（含不等号，是不等式） - $\sqrt{x}+1$（开方运算，初中阶段暂不重点研究） 二、代数式的书写规范（避免歧义，统一标准） - 数字与字母相乘：数字在前，字母在后，乘号可省略或用“·”表示（如3×a写作3a或3·a，不能写作a3）； - 字母与字母相乘：乘号可省略（如a×b写作ab）； - 带分数与字母相乘：先把带分数化为假分数（如$1\frac{1}{2}x$写作$\frac{3}{2}x$，不能写作1$\frac{1}{2}$x）； - 除法运算：用分数形式表示（如a÷b写作$\frac{a}{b}$，不能写作a÷b）； - 含有加减运算的代数式：若后面接单位，需加括号（如“(m+28)岁”，不能写作m+28岁）。 第3页：整式的分类——单项式与多项式 代数式中，整式是最基础的类型，根据组成形式可分为单项式和多项式： 类型 定义 核心要素 示例 单项式 由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式 1. 系数：单项式中的数字因数（包括符号）；2. 次数：单项式中所有字母的指数和 3a：系数3，次数1；-2x²y：系数-2，次数3（2+1）；5：系数5，次数0（常数项次数为0） 多项式 几个单项式的和组成的代数式 1. 项：多项式中的每个单项式（含符号）；2. 常数项：不含字母的项；3. 次数：多项式中次数最高的项的次数 2x²+3x-1：项为2x²、3x、-1，常数项-1，次数2（最高次项2x²的次数）；a³b - ab + 5：次数4（a³b的次数3+1） 易错点：1. 单项式的系数包含符号（如-5xy的系数是-5，不是5）；2. 多项式的项要带符号（如3x² - 2x + 1的第二项是-2x，不是2x）；3. 常数项的次数为0（如7的次数是0，不是1）。 整式的定义：单项式和多项式统称为整式（分母中不含字母的代数式）。 第4页：整式的加减——核心运算规则 整式的加减运算本质是“合并同类项”，在运算前常需先“去括号”，两者是加减运算的核心步骤： 一、合并同类项（基础前提） 1. 同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）； 示例：2x与3x是同类项，-5xy²与7xy²是同类项，3与-8是同类项；2x与2x²不是同类项（字母指数不同），3x与2y不是同类项（字母不同）。 2. 合并法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变（“变系数，不变字母与指数”）； 示例：3x + 5x = (3+5)x = 8x；-2xy² + 7xy² = (-2+7)xy² = 5xy²；4a - 2a + 3 = (4-2)a + 3 = 2a + 3。 二、去括号法则（运算准备） 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变； 示例：(2x + 3y) - (x - 2y) = 2x + 3y - x + 2y（去括号后-x变+x，-2y变+2y）；3(a - b) + 2(a + b) = 3a - 3b + 2a + 2b（分配律展开后符号正确）。 三、整式加减的完整步骤 1. 去括号：根据去括号法则或乘法分配律去掉括号； 2. 找同类项：用不同符号标注同类项，避免遗漏； 3. 合并同类项：按照合并法则化简，得到最简整式。 示例：计算(3x² - 2x + 1) - 2(x² - x + 3) 步骤1：去括号：3x² - 2x + 1 - 2x² + 2x - 6； 步骤2：找同类项：3x²与-2x²，-2x与+2x，1与-6； 步骤3：合并同类项：(3x²-2x²)+(-2x+2x)+(1-6)=x² - 5。 第5页：代数式的值——从“式”到“数”的转化 代数式的值是指用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，是代数式的重要应用。 一、求代数式的值的步骤 1. 代入：用指定的数值代替代数式中的相应字母（注意：字母的值为负数或分数时，需加括号）； 2. 计算：按照代数式中的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）进行计算，得出结果。 二、典型例题 1. 基础计算：已知x=-2，求代数式3x² - 2x + 1的值。 解答：代入x=-2，得3×(-2)² - 2×(-2) + 1 = 3×4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。 2. 整体代入：已知a + b = 5，求代数式2(a + b) - 3 + (a + b)²的值。 解答：将a + b=5整体代入，得2×5 - 3 + 5² = 10 - 3 + 25 = 32（无需单独求a、b的值，简化计算）。 技巧：当已知条件是字母的和、差或积时，优先考虑“整体代入法”，可避免复杂计算，提高效率。 三、注意事项 - 代入时要“对号入座”：确保每个字母都用对应的数值代替，不重复、不遗漏； - 计算时要遵循运算顺序和符号规则：尤其是乘方运算和负数参与运算时，避免符号错误； - 代数式化简后再求值：若代数式较复杂，先化简（如合并同类项）再代入，可减少计算量。 第6页：列代数式——数学建模的初步体验 列代数式是将实际问题中的数量关系用代数式表示出来，是代数式应用的核心能力，也是后续列方程的基础。 一、列代数式的核心步骤 1. 审清题意：明确问题中的数量关系，区分已知量和未知量（未知量用字母表示）； 2. 找准关系：分析数量之间的运算关系（和、差、积、商、倍、分等）； 3. 规范表达：按照代数式的书写规范写出代数式。 二、常见数量关系及示例 实际场景 数量关系 代数式表示 和差关系 x与5的和；x比y大3 x+5；x - y = 3（或x = y + 3） 倍分关系 x的3倍；x的$\frac{1}{2}$与y的和 3x；$\frac{1}{2}x + y$ 行程问题 速度为v km/h，时间t小时的路程 vt（路程=速度×时间） 工程问题 工作效率为a，工作时间b的工作量 ab（工作量=效率×时间） 价格问题 单价m元，数量n件的总价；降价10%后的价格 mn；0.9m（或m - 10%m） 三、注意事项 - 明确“多、少、倍、分”的含义：“多”用加，“少”用减，“倍”用乘，“分”用除； - 区分“平方和”与“和的平方”：x与y的平方和是x² + y²，x与y的和的平方是(x + y)²； - 结合实际意义：字母的取值要符合实际（如人数、数量为正整数，长度为正数）。 第7页：易错点辨析与规避 代数式学习中，易错点集中在概念混淆、书写不规范、运算失误等方面，需针对性规避： 易错点1：同类项判断错误 错例：认为2x²y与3xy²是同类项； 规避：同类项需满足“字母相同且相同字母指数相同”，2x²y中x的指数是2，y的指数是1；3xy²中x的指数是1，y的指数是2，故不是同类项。 易错点2：去括号符号错误 错例：化简-(2x - 3y)时误算为-2x - 3y； 规避：括号前是“-”号，去括号后各项符号都要改变，正确结果应为-2x + 3y，可通过分配律验证：-1×2x + (-1)×(-3y) = -2x + 3y。 易错点3：代数式求值代入错误 错例：已知x=-3，求x²的值时误算为-9； 规避：代入负数时加括号，x²=(-3)²=9，明确乘方运算的符号规则（负数的偶次幂为正）。 易错点4：列代数式语义理解错误 错例：“x的3倍与y的差”误列为3(x - y)； 规避：明确运算顺序，“x的3倍”是3x，再与y的差，应为3x - y，可通过“先读先写”原则梳理关系。 第8页：章节核心总结 一、核心概念体系 graph TD A[代数式] --> B[单项式（系数、次数）] A --> C[多项式（项、常数项、次数）] B & C --> D[整式] A --> E[代数式的值（代入、计算）] D --> F[整式加减（去括号、合并同类项）] 二、核心运算规则 - 合并同类项：系数相加，字母及指数不变； - 去括号：“+”不变，“-”全变； - 代数式求值：先化简（可选），再代入，后计算。 三、核心思想方法 - 抽象概括思想：用字母表示数，将具体问题抽象为数学表达式； - 转化思想：将整式加减转化为合并同类项，将代数式求值转化为数值运算； - 整体思想：在代数式求值中，通过整体代入简化计算。 四、解题口诀 代数式，要规范，数字字母先乘方； 单项式，看系数，次数相加莫慌张； 多项式，分清楚，项和次数记心上； 去括号，辨符号，正负变化要记牢； 同类项，连一线，系数相加字母保； 求数值，先化简，代入计算错不了。 代数式 1. 概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式. 2. 意义 运算意义 实际意义 几何意义 代数式 3. 列代数式 （1）列代数式可以把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性 （2）列代数式表示规律 代数式 4. 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. （1）概念 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k ≠ 0），反比例关系可以 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数. 代数式 4. 反比例关系 （2）表示 返回 D 考试考法 8 返回 2．保定期末下列不能表示“3a”的意义的是(　　) A．3的a倍 B．a的3倍 C．3个a相加 D．3个a相乘 D 考试考法 9 返回 3.［衡水期中］下列代数式的意义表述错误的是( ) B A.表示与的和 B.表示与 和的平方 C.表示9减去的所得的差 D.表示除以 所得的商 考试考法 10 返回 4.山西中考近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元(用含a的代数式表示)． 60a 考试考法 11 返回 5. 某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元，乙种读本的单价为8元，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为(　　) A．8x元 B．10(100－x)元 C．8(100－x)元 D．(100－8x)元 C 考试考法 12 返回 C 考试考法 13 返回 7.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中①中一共 有6个小圆圈，②中一共有9个小圆圈，③中一共有12个小圆圈， ， 按此规律排列下去，则 中小圆圈的个数为( ) C A. B. C. D. 考试考法 14 返回 8.下面各选项中，两个量成反比例的是(　　) A．5x＝y B．xy＝6 C．x＋y＝35 D．x－y＝40 B 考试考法 15 返回 C 考试考法 16 返回 10．已知x和y两个量成反比例关系，当x＝24时，y＝－2，则当y＝－8时，x＝________． 6 考试考法 17 返回 11.［廊坊期中］若，，则代数式 的值为 ( ) D A. B.1 C.7 D.13 考试考法 18 返回 12.已知有理数，满足，则 ___. 9 考试考法 19 返回 13．威海中考若2x－3y＝2，则6y－4x＋1＝________． －3 考试考法 20 14．根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入m＝－2，n＝2，则输出y的值是________． 返回 －6 考试考法 21 返回 15.［邯郸期中］已知与的积为1，和的和为， 的绝 对值为4. （1）求，， 的值； 解：依题意，得，， ， 所以，，或 （2）求 的值. 解：当，， 时， ； 当，， 时， . 考试考法 22 返回 16.［教材 例4变式］如图所示，某长方形 广场的四角都有一块半径相同的 圆形的草地，已知圆 形的半径为米，长方形的长为米，宽为 米. （1）请列式表示广场空地的面积； 解：由图可得，广场空地的面积为 平方米. （2）若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，计算广 场空地的面积（计算结果保留 ）. 解：当长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米时， 广场空地的面积为 平方米. 考试考法 23 谢谢观看 THANKS 1.下列各式最符合代数式书写规范的是(　　) A．3m B．m×6 C．m＋7个 D. 6.驴肉火烧为河北省著名小吃，驴肉醇香，火烧酥脆．某店销售两种口味的火烧，驴肉火烧12元一个，焖子火烧5元一个．若嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧，则每个火烧的平均价格可表示为(　　) A.元 B.元 C.元 D.元 9．衡水期末现有a，b满足a＝，对于a，b的关系，甲，乙有下面两种说法： 甲说：“若a，b为非零有理数，则它们互为倒数．” 乙说：“若a，b是两个相关联的量，则a，b成反比例关系．” 则说法正确的是(　　) A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均不正确 $