第二章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元卷，通过选择、填空、解答题（10/6/7题，30/18/72分）全面覆盖方程定义、解法、根的判别式及实际应用，结合成都科幻大会、医疗负担等真实情境，培养数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、解法（如配方法）、根的判别式|第8题矩形道路面积问题，考查几何直观与空间观念| |填空题|6/18|方程类型判断、根与系数关系（如第14题）|第15题绿化增长率，体现数据意识与应用意识| |解答题|7/72|解方程、利润问题（如第22题T恤销售）、根的性质证明|第21题科幻书销售，融合社会热点，培养数学思维与模型观念|

第二章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x2+2y﹣1＝0 B．3x2﹣2x+1＝0 C． D．ax2＝5 2．一元二次方程（x+1）2＝2（x+1）的解为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝2或x＝﹣1 D．x＝1或x＝﹣1 3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9 4．若关于x的方程kx2﹣x+4＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（　　） A．16 B． C． D． 5．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2+ax﹣2b＝0的一个根，则2a﹣4b的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 6．若，则（　　） A．3或﹣1 B．﹣3或1 C．﹣1 D．3 7．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．15 D．17 8．如图，在长为20m，宽为10m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植花草，使种植花草区域的面积为160m2．设道路的宽为xm，则根据题意所列的方程是（　　） A．20x+10x﹣2x2＝160 B．20x+10x＝20×10﹣160 C．（20﹣x）（10﹣x）＝160 D．（20﹣x）（10﹣x）＝20×10﹣160 9．已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 10．关于x的方程x2﹣5x+3＝0根的情况为（　　） A．没有实数根 B．两根之和是﹣5 C．两根之积是3 D．有两个相等的实数根 二．填空题（共3小题，满分18分，每小题3分） 11．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0．若该方程是一元一次方程，则m满足的条件是　 　 ；若该方程是一元二次方程，则m满足的条件是　 　 ． 12．若x＝1是一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根，则a＝　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程x2﹣2026x+c＝0有两个实数根，其中一根x1＝1，则另一根x2＝　 　 ． 15．某市2024年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2026年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，列出正确的方程是 　 　 ． 16．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17．解方程：（1）x2﹣3x＝0； （2）x2+4x+1＝0． 18．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣2＝0． （1）已知方程的其中一个根x1＝﹣1，求k的值． （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 19．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 20．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2023年这种药剂价格为200元，2025年该药剂价格为98元． （1）求2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2026年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 21．备受瞩目的2023成都世界科幻大会将于10月18日启幕．这是世界科幻大会第一次走进中国，成都也将成为亚洲第二个、中国首个举办世界最高规格科幻盛会的城市．某书店正在销售A、B两种科幻书，它们的进价和售价如表，若老板进A种科幻书200本和B种科幻书300本，则需资金18000元；若老板进A种科幻书300套和B种科幻书400本，则需要资金25000元． 种类 A B 进价（元/套） a b 售价（元/套） 48 66 （1）求A、B两种科幻书的进价； （2）该书店打算在今年10月把科幻书A进行降价促销，若按原价销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售3本，将销售价定为每本多少元时，才能使科幻书A平均每天的销售利润为225元？ 22．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x2+2y﹣1＝0 B．3x2﹣2x+1＝0 C． D．ax2＝5 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当a＝0时，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 2．（4分）一元二次方程（x+1）2＝2（x+1）的解为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝2或x＝﹣1 D．x＝1或x＝﹣1 【解答】解：（x+1）2＝2（x+1）， 移项，得（x+1）2﹣2（x+1）＝0， ∴（x+1）（x+1﹣2）＝0． ∴（x+1）（x﹣1）＝0． ∴x+1＝0或x﹣1＝0． ∴x＝﹣1或x＝1． 故选：D． 3．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x+1＝6， （x﹣1）2＝6． 故选：A． 4．（4分）若关于x的方程kx2﹣x+4＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（　　） A．16 B． C． D． 【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣x+4＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，k≠0．即（﹣1）2﹣4×k×4＞0且k≠0． ∴1﹣16k＞0且k≠0． ∴k且k≠0． ∵16、、不满足小于， 故选：D． 5．（4分）已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2+ax﹣2b＝0的一个根，则2a﹣4b的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程2x2+ax﹣2b＝0的一个根， ∴2×12+a×1﹣2b＝0，即a﹣2b＝﹣2． ∴2a﹣4b＝﹣4． 故选：B． 6．（4分）若，则（　　） A．3或﹣1 B．﹣3或1 C．﹣1 D．3 【解答】解：设，则（a﹣1）2＝4， ∴a﹣1＝±2， ∴a＝3或a＝﹣1（舍去）， ∴． 故选：D． 7．（4分）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b﹣ab的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．15 D．17 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1，ab＝﹣8，a2+a﹣8＝0， ∴a2+a＝8， ∴a2+2a+b﹣ab ＝（a2+a）+（a+b）﹣ab ＝8+（﹣1）﹣（﹣8） ＝15． 故选：C． 8．（4分）如图，在长为20m，宽为10m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植花草，使种植花草区域的面积为160m2．设道路的宽为xm，则根据题意所列的方程是（　　） A．20x+10x﹣2x2＝160 B．20x+10x＝20×10﹣160 C．（20﹣x）（10﹣x）＝160 D．（20﹣x）（10﹣x）＝20×10﹣160 【解答】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为（20﹣x）m，宽为（10﹣x）m， 则可列方程为：（20﹣x）（10﹣x）＝160． 故选：C． 9．（4分）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 【解答】解：由题知， 因为a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根， 所以a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4， 所以（a+4）（b+4）＝ab+4（a+b）+16＝t2﹣2t+4+8t+16＝t2+6t+20＝（t+3）2+11． 又因为Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0， 所以t≥2， 则当t＝2时，（a+4）（b+4）有最小值为：52+11＝36． 故选：D． 10．（4分）关于x的方程x2﹣5x+3＝0根的情况为（　　） A．没有实数根 B．两根之和是﹣5 C．两根之积是3 D．有两个相等的实数根 【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 两根之和＝5，两根之积＝3． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（5分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0．若该方程是一元一次方程，则m满足的条件是m＝1　 ；若该方程是一元二次方程，则m满足的条件是m≠±1　 ． 【解答】解：∵方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0为一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且m+1≠0， 解得：m＝1； ∵方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0为一元二次方程， ∴m2﹣1≠0，即m≠±1． 故答案为：m＝1；m≠±1． 12．（5分）若x＝1是一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根，则a＝　5　 ． 【解答】解：把x＝1代入方程，可得： 1+a﹣6＝0， 解得：a＝5， 故答案为：5． 13．（5分）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 14．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣2026x+c＝0有两个实数根，其中一根x1＝1，则另一根x2＝　2025　 ． 【解答】解：根据根与系数的关系可得： ， 已知x1＝1，代入得：1+x2＝2026， 解得：x2＝2026﹣1＝2025． 故答案为：2025． 15．（5分）某市2024年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2026年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，列出正确的方程是 　300（1+x）2＝363　 ． 【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x， 根据题意即可列出方程300（1+x）2＝363． 故填空答案：300（1+x）2＝363． 16．（5分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　且a≠1　 ． 【解答】解：由条件可知a﹣1≠0解得a≠1， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2a+1）2﹣4•（a﹣1）•a＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1＞0， 解得， 综上，实数a的取值范围是且a≠1． 故答案为：且a≠1． 三．解答题（共6小题，满分72分） 17．解方程： （1）x2﹣3x＝0； （2）x2+4x+1＝0． 【解答】解：（1）x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝0，x2＝3． （2）x2+4x+1＝0， x2+4x＝﹣1， x2+4x+4＝﹣1+4， ∴（x+2）2＝3 ∴x+2， ∴x12，x22． 18．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣2＝0． （1）已知方程的其中一个根x1＝﹣1，求k的值． （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【解答】（1）解：将x1＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣（2k﹣1）﹣k﹣2＝0， 解得：k＝0， ∴k的值为0； （2）证明：Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣2） ＝4k2﹣4k+1+4k+8 ＝4k2+8， ∵k2≥0， ∴4k2+8＞8，即Δ＞0， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 19．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 【解答】（1）证明：因为关于x的方程为x2﹣（k+3）x+2k+2＝0， 则Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝（k﹣1）2≥0， 所以该方程总有两个实数根； （2）解：因为该方程的两个实数根为x1，x2， 所以x1+x2＝k+3，x1•x2＝2k+2， 则（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+2﹣2（k+3）+4 ＝0． 20．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2023年这种药剂价格为200元，2025年该药剂价格为98元． （1）求2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2026年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【解答】解：（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）． 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为30%； （2）设此次价格的下降率是y， 根据题意得：98（1﹣y）≥73.5， 解得：y≤0.25， ∴y的最大值是0.25，即25%． 答：此次价格的下降率最多是25%． 21．备受瞩目的2023成都世界科幻大会将于10月18日启幕．这是世界科幻大会第一次走进中国，成都也将成为亚洲第二个、中国首个举办世界最高规格科幻盛会的城市．某书店正在销售A、B两种科幻书，它们的进价和售价如表，若老板进A种科幻书200本和B种科幻书300本，则需资金18000元；若老板进A种科幻书300套和B种科幻书400本，则需要资金25000元． 种类 A B 进价（元/套） a b 售价（元/套） 48 66 （1）求A、B两种科幻书的进价； （2）该书店打算在今年10月把科幻书A进行降价促销，若按原价销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售3本，将销售价定为每本多少元时，才能使科幻书A平均每天的销售利润为225元？ 【解答】解：（1）∵若老板进A种科幻书200本和B种科幻书300本，则需资金18000元；若老板进A种科幻书300套和B种科幻书400本，则需要资金25000元， ∴， 解得， ∴A种科幻书的进价为每本30元，B种科幻书的进价为每本40元； （2）设销售价定为每本x元， 根据题意得：（x﹣30）[6+3（48﹣x）]＝225， 解得x＝45或x＝35， 答：将销售价定为每本45元或35元时，才能使科幻书A平均每天的销售利润为225元． 22．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $