第二章《一元二次方程》单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 《一元二次方程》单元测试卷，覆盖定义、解法、判别式、韦达定理及实际应用，通过生活情境与创新题型，考查数学抽象、运算推理及模型意识，适配初中单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、配方法、根的判别式、增长率问题|结合2026-2027年廉租房投资情境，新定义运算考查创新思维| |填空题|6/18|韦达定理、比赛场次问题、含参方程整数根|开放题（写一元二次方程）与辨析题（方程性质判断）结合| |解答题|9/72|动态几何面积、利润问题、材料阅读（韦达定理应用）|分层设计：基础解方程（17题）、能力提升（23题动态几何）、创新应用（24题材料探究）|

第二章《一元二次方程》单元测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．2026年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2027年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 8．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 9．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 10．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 12．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 13．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 15．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为_________． 16．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号）   三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）解方程： (1) (2) 18．(6分）探究题：已知一元二次方程 ． (1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 19．（8分）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 21．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 22．（8分）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 23．（9分）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 24．（9分）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 25．（10分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 参考答案 一、选择题 1．B 解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．B 解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．C 解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 4．D 解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 5．C 解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 6．A 解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 7．A 解：将代入，得， ， ． 8．B 解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 9．A 解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 10．D 解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 二、填空题 11．（答案不唯一） 解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 12． 解：， ， ， ∴． 13． 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 14．8 解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有8支． 15． 或 解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k为1或2， 当时，原方程为，解得或，此时不符合题意； 当时，原方程为，解得或，此时符合题意； ∴原方程的根为或， 故答案为：或． 16．②③④ 解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题 17．（1）解： ， （2）解： ， 18．(1) 证明：∵ 对于一元二次方程（），根的判别式为, 又∵ 原方程为，其中，，, ∴ , ∵ 无论取何值，, ∴ ，即. ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵ 方程有一个根为，将代入原方程, ∴ . 即, 整理得, 解得. 将代入原方程，得, 化简为，两边同乘得, 因式分解得, 解得，. ∴ 的值为，另一个根为. 19．(1) 证明：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即， ， ， ∴或， 解得：或， ∵为整数，方程的两个根也都为整数， ∴， 解得：或． 20．（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 21．（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； （2）解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元． 22．解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 23．（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 24．（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 25．（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $