26.1二次函数的概念 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数概念这一核心知识点，通过矩形面积、比赛场次等实际情境导入，复习函数定义与一次函数知识，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，实现新旧知识的自然衔接。 以“实例感知—归纳概念—辨析巩固—应用建模”为主线，通过观察关系式共同点培养抽象能力，辨析题强化推理意识，特色作业引导学生寻找生活实例发展模型观念，助力学生理解数学本质，提升教师教学效率。

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念   一、教材分析 《二次函数的概念》是人教版九年级下册内容，它是继一次函数之后学生学习的又一类重要函数，既是对一元二次方程知识的延伸，也为后续学习二次函数图象性质、高中函数知识铺垫；同时借助实际情境建立函数模型，完善函数学习体系，增强学生运用数学解决实际问题的意识，在函数学习板块起到承上启下的关键作用. 教材先借助矩形面积、比赛场次、产量增长3个现实情境列出函数关系式；接着提出思考问题，对比解析式共同点，归纳得出二次函数 (a≠0)定义，区分二次项系数、一次项系数、常数项；再通过圆柱表面积、销量下降例题巩固概念；最后配套练习，让学生化简解析式、结合矩形实际问题列式，由实例感知--归纳概念--例题巩固--练习落实，遵循从具体实例抽象数学概念的认知逻辑.   二、学情分析 已有基础：学生已经学习了一次函数、一元二次方程，明白函数的定义，知道自变量和因变量之间一对一对应关系，会化简整式，具备分析实际问题列代数式的基础，能够读懂题目中的数量关系，有学习函数的基本经验. 存在困难：学生习惯于一次函数的一次式结构，很难自主从实际问题里抽象出二次整式模型；容易忽略二次函数中a≠0这个隐含条件；化简y=2(x-1)2-5这类顶点式解析式时计算易错，区分各项系数容易出错；不能灵活把生活问题转化为函数模型. 认知特点：九年级学生具备一定自主观察、小组讨论的能力，思维由具象逐步向抽象过渡，对生活实例兴趣浓厚，但抽象概括能力薄弱；依靠具象例子更容易理解新知，过度理论化的定义理解吃力，需要依托实例总结概念，借助习题深化理解.   三、教学目标 1.通过实例理解二次函数概念，会辨别二次函数，准确找出二次项系数、一次项系数和常数项. 2.能够从实际问题中提炼数量关系，列出二次函数关系式，牢记a≠0这一限定条件. 3.经历分析实例、观察式子、归纳概念过程，提升抽象概括能力，建立数学模型解决实际问题. 4.感受二次函数来源于生活，体会数学实用价值，激发主动探究数学的学习兴趣.   四、教学重难点 重点：通过实例理解二次函数概念，会辨别二次函数，准确找出二次项系数、一次项系数和常数项. 难点：能够从实际问题中提炼数量关系，列出二次函数关系式，牢记a≠0这一限定条件.   五、教学过程 · 本章引入 函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型. 问题1：用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系? 问题2：从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系? 研究二次函数的一般思路与方法：建模、类比、分类讨论、数形结合. 设计意图：借助生活实例激发学习兴趣，让学生感受变量间非线性关系；厘清知识前后联系，渗透建模、类比思想，建立学习新知的认知框架，发展模型观念. · 复习回顾 问题3：什么是函数? 答：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 问题4：目前，我们已经学习了哪几种类型的函数? 答：正比例函数：y=kx(k是常数，k≠0). 一次函数：y=kx+b(k，b是常数，k≠0). 师生活动：教师依次抛出两个回顾问题，让学生集体作答；学生回忆函数定义、一次函数的解析式，梳理旧知；教师适时点评，引导学生思考除一次函数外还存在其他函数形式. 设计意图：复习函数概念和一次函数相关知识，夯实本节课学习基础；通过旧知铺垫，类比引出二次函数，建立新旧知识之间的联系，自然开启新课学习. · 探究新知 活动一：探究二次函数的概念 问题5：用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系? 师生活动：教师依次出示3个实际问题，学生独立列式，判断变量间是否为函数关系；随后小组交流，观察解析式共同点；师生归纳得出二次函数定义和成立条件. 分析：矩形的一边长和面积 都是变量，且对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，即是的函数. 它们之间的关系可以表示为 ，即 ① 问题6：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 分析：每支球队都要与其他(n-1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数，即 ② 追问：m是n的函数吗? 答：在②式中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数. 问题7：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示? 分析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是： .两年后的产量是 . 答：； 整理得： ③ 追问：y是x的函数吗? 答：在③式中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即 是 的函数. 问题8：观察函数①②③，它们有什么共同点? ① ② ③ 答：1.解析式右边都是整式 2.自变量的最高次数都是 2 3.二次项系数不为0 一般地，形如 (是常数，)的函数，叫作二次函数. 二次函数解析式必须同时满足这三个条件. 设计意图：借助实际情境列出关系式，巩固函数概念；引导学生自主观察概括，从具体实例抽象出二次函数定义，提升学生的抽象概括能力，渗透数学建模思想. 问题9：下列函数中，哪些一定是二次函数？为什么？ (1)y＝-5x2； (2)y＝x3+2x2+1； (3)y＝(x-1)2-(x+1)(x-2)； (4)y＝ax2+4x+5； (5)y＝x2- ． 师生活动：教师出示辨析习题，学生独立化简式子并逐一判断；学生作答后教师纠错点评，引导学生总结判断二次函数的三步要点，强调化简整式、最高次数、a≠0三个必备条件. 分析：(1)是； (2)x 的最高次数是 3，不是二次函数 (3)y＝(x-1)2-(x+1)(x-2)＝-x+3，不是二次函数 (4)a可能为 0 ，不一定是二次函数 (5)有分式，不是二次函数 总结：判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件： 1.函数的关系式是整式； 2.自变量的最高次数是2； 3.二次项系数不等于0. 设计意图：通过变式例题辨析易错点，深化学生对二次函数概念的理解；帮助学生掌握判断方法，突破忽略a≠0、不化简就判断的易错问题，锻炼严谨审题的数学思维. 活动二：探究二次函数的一般形式 师生活动：教师给出二次函数一般形式，讲解各项名称；抛出问题启发学生思考a≠0的原因；学生交流讨论，梳理二次函数的三种特殊形式；师生总结a、b、c取值要求以及确定系数的注意事项. 二次函数的一般形式：y =a x2+ b x+c (a≠0)，x是自变量. a x2是二次项；b x是一次项；c是常数项 a是二次项系数；b是一次项系数 注意：①a≠0； ②系数和项均包含前面的符号； ③必须先化为二次函数的一般形式，才能找出各项系数. 问题10：为什么二次函数的一般形式 y=ax2 + bx + c 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？ 答：当a=0时，可写成y=bx+c；→ 不是二次函数 当 a≠0，b=0时，→ y=ax²+c； 当 a≠0，c=0时， → y=ax²+bx； 三种特殊形式 当 a≠0，b=c=0时，→ y=ax². 总结：二次函数 a≠0 是必备条件，b，c 可以为任意实数. 设计意图：明确二次函数各项及系数概念，厘清a、b、c取值情况；区分二次函数和一次函数，完善概念认知；让学生懂得化简式子后再确定系数，培养严谨细致的做题习惯. 活动三：探究二次函数的实际应用 问题11：(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x. 写出两年后产品的年销售量y (单位： 万件)关于x的函数解析式. 师生活动：教师出示实际应用题，学生独立审题列式；学生分享解题过程，教师进行订正；师生共同归纳建立二次函数模型的步骤，对比区分函数模型与方程模型，强调自变量取值范围. 解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以，即 (2)一年后产品的年销售量为万件，两年后的年销售量为 万件，所以，即. 总结：建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：读懂题意，区分已知条件与未知条件，理清变量之间的数量关系； ②找关系：找出两个未知量之间的等量关系式； ③列式：设好变量字母，列出函数解析式，切记标明自变量取值范围. 注意：建立二次函数模型和一元二次方程模型思路相近，区别是要用含一个自变量的代数式去表示因变量. 设计意图：借助几何和增长率实例，让学生学会从实际问题里提炼数量关系；归纳建模步骤，巩固二次函数概念；体会数学服务生活，强化模型观念，提升解决实际问题的能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道典型例题，学生独立思考完成解题；指名学生讲解做题思路，教师订正易错点；师生总结：判定二次函数要同时满足次数和系数条件，列式还要考虑自变量取值范围. 例1 当m 取何值时，函数y=(m2+m)+(m-5)x+m2是关于x 的二次函数？并求出二次函数的解析式. 解：由题意，得 由①得，m = 3或-1 由②得，m ≠ 0 或m ≠-1 ∴ m = 3. ∴当 m = 3 时，该函数是二次函数， 解析式为：y = (32+3)+(3-5)x+32，即y = 12x2-2x+9. 例2 已知直角三角形两条直角边的长的和为． 当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； 设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积： 由题意，得另一条直角边的长为， 则．  设计意图：例1巩固二次函数的限定条件，突破忽略a≠0的易错点；例2结合几何问题建立函数关系式，学以致用；进一步提升学生分析推理以及运用新知解决问题的能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) y=8x2-16x+8； (2) y=x2； (3) y=x2+5x； (4) y=2(x-1)2-5. 解：(1)二次项系数：8，一次项系数：-16，常数项：8； (2)二次项系数：1，一次项系数：0，常数项：0； (3)二次项系数：，一次项系数：5，常数项：0； (4)整理得，y=2x2-4x-3 二次项系数：2，一次项系数：-4，常数项：-3. 2.如图，矩形绿地的两边长各增加x m，扩充后的绿地面积为 y m2.写出y关于x的函数解析式. 解：y=(30+x)(20+x) 整理得，y=x2+50x+600 3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. 解：答案不唯一. 如：正方体的棱长为xcm，表面积为ycm2，写出y关于x的函数解析式y=6x2 师生活动：学生独立完成课堂练习，第1题先化简再确定各项系数；第2题依据矩形面积列式；第3题自主创设二次函数实例；教师巡视批改，针对共性问题进行讲评纠错. 设计意图：通过分层练习巩固基础知识，让学生牢记先要化成一般形式再判断系数；借助几何问题强化列式能力；自主举例，加深概念理解，查漏补缺夯实本节课所学内容. 【限时训练】 1.函数是常数是二次函数的条件为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. 【答案】D  2.若是关于的二次函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  3.关于函数，下列说法不正确的是(    ) A. 是的二次函数 B. 二次项系数是 C. 一次项是 D. 常数项是 【答案】C  【解析】解：． A.是的二次函数，故正确， B.二次项系数是，故正确， C.一次项是，故不正确， D.常数项是，故正确． 故选C． 4.在下列个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有(    ) ①设正方形的边长为，面积为，则与之间有函数关系 ②个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场数与之间有函数关系 ③设正方体的棱长为，表面积为，则与之间有函数关系 ④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间之间有函数关系． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：①依题意得，，属于二次函数关系，故符合题意 ②依题意得，，属于二次函数关系，故符合题意 ③依题意得，，属于二次函数关系，故符合题意 ④依题意得，，属于一次函数关系，故不符合题意． 综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有个． 故选C． 5.如图，等腰直角三角形的腰长与正方形的边长均为，与在同一条直线上开始时点与点重合，点A以的速度向左运动，最终点与点重合．求重叠部分的面积与时间之间的函数表达式和自变量的取值范围. 【答案】(1)解：∵是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形. 又∵，∴，∴， ∴重叠部分的面积为.自变量的取值范围是.    师生活动：学生独立完成当堂检测题，做完之后同桌之间互相核对答案；教师挑选习题让学生讲解解题思路；针对学生出现的漏洞进行细致讲解，着重强调易错知识点. 设计意图：通过梯度习题巩固二次函数概念，强化a≠0这一必备条件；结合几何动态问题锻炼学生列式能力；查漏补缺，深化知识理解，培养学生严谨细致的答题习惯. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是二次函数？ 3.如何判断一个函数是二次函数？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：寻找生活中的二次函数 任务：1.留心观察现实场景，搜集2个生活实例，自己设定变量，列出对应的二次函数解析式； 2.标注自变量取值范围； 3.简单阐述式子中每一项代表的实际含义. 要求：1.实例不能照搬课本例题，手写完成； 2.将解析式化成y=ax2+bx+c标准形式，归纳结论：二次函数自变量最高次数是2且a≠0； 3.简短写下做完任务后的感悟，体会数学和生活密不可分. 学科网（北京）股份有限公司 $