26.1二次函数的概念 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数

  26.1 二次函数的概念

《二次函数的概念》是人教版九年级下册内容，它是继一次函数之后学生学习的又一类重要函数，既是对一元二次方程知识的延伸，也为后续学习二次函数图象性质、高中函数知识铺垫；同时借助实际情境建立函数模型，完善函数学习体系，增强学生运用数学解决实际问题的意识，在函数学习板块起到承上启下的关键作用.

教材先借助矩形面积、比赛场次、产量增长3个现实情境列出函数关系式；接着提出思考问题，对比解析式共同点，归纳得出二次函数 (a≠0)定义，区分二次项系数、一次项系数、常数项；再通过圆柱表面积、销量下降例题巩固概念；最后配套练习，让学生化简解析式、结合矩形实际问题列式，由实例感知--归纳概念--例题巩固--练习落实，遵循从具体实例抽象数学概念的认知逻辑.

已有基础：学生已经学习了一次函数、一元二次方程，明白函数的定义，知道自变量和因变量之间一对一对应关系，会化简整式，具备分析实际问题列代数式的基础，能够读懂题目中的数量关系，有学习函数的基本经验.

存在困难：学生习惯于一次函数的一次式结构，很难自主从实际问题里抽象出二次整式模型；容易忽略二次函数中a≠0这个隐含条件；化简y=2(x-1)2-5这类顶点式解析式时计算易错，区分各项系数容易出错；不能灵活把生活问题转化为函数模型.

认知特点：九年级学生具备一定自主观察、小组讨论的能力，思维由具象逐步向抽象过渡，对生活实例兴趣浓厚，但抽象概括能力薄弱；依靠具象例子更容易理解新知，过度理论化的定义理解吃力，需要依托实例总结概念，借助习题深化理解.

1.通过实例理解二次函数概念，会辨别二次函数，准确找出二次项系数、一次项系数和常数项.

2.能够从实际问题中提炼数量关系，列出二次函数关系式，牢记a≠0这一限定条件.

3.经历分析实例、观察式子、归纳概念过程，提升抽象概括能力，建立数学模型解决实际问题.

4.感受二次函数来源于生活，体会数学实用价值，激发主动探究数学的学习兴趣.

重点：通过实例理解二次函数概念，会辨别二次函数，准确找出二次项系数、一次项系数和常数项.

难点：能够从实际问题中提炼数量关系，列出二次函数关系式，牢记a≠0这一限定条件.

         本章引入

函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型.

问题1：用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系?

问题2：从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系?

研究二次函数的一般思路与方法：建模、类比、分类讨论、数形结合.

设计意图：借助生活实例激发学习兴趣，让学生感受变量间非线性关系；厘清知识前后联系，渗透建模、类比思想，建立学习新知的认知框架，发展模型观念.

         复习回顾

问题3：什么是函数?

答：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数.

问题4：目前，我们已经学习了哪几种类型的函数?

答：正比例函数：y=kx(k是常数，k≠0).

一次函数：y=kx+b(k，b是常数，k≠0).

师生活动：教师依次抛出两个回顾问题，让学生集体作答；学生回忆函数定义、一次函数的解析式，梳理旧知；教师适时点评，引导学生思考除一次函数外还存在其他函数形式.

设计意图：复习函数概念和一次函数相关知识，夯实本节课学习基础；通过旧知铺垫，类比引出二次函数，建立新旧知识之间的联系，自然开启新课学习.

         探究新知

活动一：探究二次函数的概念

问题5：用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系?

师生活动：教师依次出示3个实际问题，学生独立列式，判断变量间是否为函数关系；随后小组交流，观察解析式共同点；师生归纳得出二次函数定义和成立条件.

分析：矩形的一边长和面积 都是变量，且对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，即是的函数.

它们之间的关系可以表示为 ，即    ①

问题6：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系?

分析：每支球队都要与其他(n-1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数，即                      ②

追问：m是n的函数吗?

答：在②式中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数.

问题7：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示?

分析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是：        .两年后的产量是             .

答：；

整理得：         ③

追问：y是x的函数吗?

答：在③式中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即 是 的函数.

问题8：观察函数①②③，它们有什么共同点?

              ①

               ②