1.2.1有理数的概念分层练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念辨析到综合应用再到拓展探究，构建“概念理解-能力提升-创新拓展”三阶巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|有理数定义、分类、正负数识别|选择填空直接考查核心概念，如负数判断、有理数分类，培养抽象能力| |能力提优|概念交叉辨析、多条件分类|多选项判断及分类应用题，如非正数与负整数区分，发展推理意识| |压轴拓展|新定义阅读、集合分类探究|“二合数”“分类章”等创新题型，融合概念综合应用，提升创新意识|

七年级数学 · 有理数的概念与分类 · 分层练习 有理数的概念 分层练习综合练习 · 夯实基础 · 能力提优 · ★压轴拓展 · 第一部分（必做） 一、选择题（共10题） 1．下列各数中，属于负数的是（　　） A．+5 B．0 C．−3 D．−(−2) 2．下列各数中，不是有理数的是（　　） A．−7 B．0.25 C．π D．3/5 3．下列说法正确的是（　　） A．正数和负数统称为有理数 B．整数和分数统称为有理数 C．0既是正数又是负数 D．所有小数都是有理数 4．在−4，0，2.5，7，−1/3中，整数共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．在−2，−0.6，0，4/7，8中，分数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．关于0，下列说法正确的是（　　） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0不是整数 7．下列各组数中，全是正有理数的是（　　） A．2，1/3，0.5 B．0，2，3/4 C．−1，2，0.4 D．π，2，5 8．下列各数中，既是整数又是非负数的是（　　） A．−2 B．−1/2 C．0 D．0.3 9．在0，−5，3/8，−2.4，12中，负有理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．若把“收入20元”记作+20元，则“支出35元”应记作（　　） A．+35元 B．−35元 C．+15元 D．−15元 二、填空题（共5题） 11．有理数可分为________和________；也可分为正有理数、________和负有理数。 12．在−6，0，3.2，−7/4，10中，正整数是________，负分数是________。 13．“海拔−25 m”表示比海平面________25 m。 14．0是________数（填“正”“负”或“非负”），同时也是________数（填“整数”或“分数”）。 15．把−3.5，8，0，2/9，−11填入相应集合：整数集合{________}；正分数集合{________}。 三、解答题（共3题） 16．把下列各数分别填入相应的集合中（每个数可重复填写）： −9，3/4，0，−1.2，15，−5/6，2.75。 （1）整数集合；（2）分数集合；（3）正有理数集合；（4）负有理数集合。 　 　 　 　 　 17．判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）0是最小的有理数； （2）一个有理数不是整数就是分数； （3）所有的负整数都是负有理数。 　 　 　 　 　 18．某班5名同学一次体测成绩相对于合格线的差值（单位：分）为：+6，−3，0，+2，−5。 （1）说明“−3”和“0”在此情境中的实际意义； （2）按“正数、0、负数”把这5个数据分类。 　 　 　 　 　 第二部分（必做） 四、选择题（共6题） 19．下列说法中，正确的有（　　） ①0是整数；②非负数就是正数；③有限小数一定是有理数；④循环小数一定是有理数；⑤正整数和负整数统称为整数。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．在−3，0，0.777…（循环小数），2.1010010001…，5/8，π中，有理数的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 21．下列各数中，属于“非正数”但不属于“负整数”的是（　　） A．−6 B．−2/3 C．4 D．5/7 22．若a是非负整数，则下列说法一定正确的是（　　） A．a>0 B．a≥0且a为整数 C．a是正有理数 D．−a是负数 23．把数−4，0，3/5，−1.25，7同时按“整数/分数”和“非负/负”分类。下列说法错误的是（　　） A．非负整数有0和7 B．负分数有−1.25 C．整数有−4、0、7 D．非负分数有3/5和0 24．若一个数既属于“分数集合”，又属于“非正数集合”，还不属于“负整数集合”，则这个数可能是（　　） A．0 B．−7 C．−0.4 D．3/8 五、填空题（共4题） 25．0.125是________小数，因此它是________数；0.272727…是________小数，因此它也是________数。 26．在−8，−2.6，0，1/3，5，0.666…（循环小数）中，非正数有________个，非负整数有________个。 27．若x既是整数，又是非负数，且x<3，则x可以取________。 28．给出四个条件：①是有理数；②是负数；③是整数；④不是负整数。若一个数同时满足①②④，则它一定是________。 六、解答题（共3题） 29．下列各数：−12，0，3.14，−0.333…（循环小数），22/7，π，−5/2，18。 （1）写出其中所有有理数； （2）写出其中所有非正有理数； （3）写出其中所有非负整数； （4）说明为什么π没有被写入第（1）问。 　 　 　 　 　 　 30．小明整理“有理数分类”时画出了如下关系： “正整数、负整数 → 整数；正分数、负分数 → 分数；整数、分数 → 有理数。” 他又补充：“0既不属于整数，也不属于分数，所以要单独放在有理数里。” （1）指出这段整理中的错误； （2）请用文字写出正确的两种常见分类方法； （3）举出一个同时属于“分数”“负数”“有理数”的数。 　 　 　 　 　 　 31．现有六张数字卡片，分别写着：−6，0，2.5，−3/4，8，0.121212…（循环小数）。 （1）从中选出所有非负数； （2）从中选出所有分数； （3）若要求选出的数“既是有理数又不是整数，且不大于0”，共有几张卡片？写出这些数； （4）把第（3）问的条件改为“既是有理数又不是分数，且不小于0”，答案发生怎样的变化？ 　 　 　 　 　 　 　 第三部分（选做·附加） 32．【新定义阅读】若一个有理数x同时满足下列三个条件中的两个或两个以上，就称x为“二合数”： ①x是整数；②x是非正数；③x不是负整数。 例如，0同时满足①②③，因此0是“二合数”。 （1）判断−5，−2/3，4是否为“二合数”，并说明理由； （2）写出所有满足−3≤x≤3的整数“二合数”； （3）若x为分数，“x是二合数”与“x<0”之间有什么关系？请说明理由； （4）若把条件③改为“x不是正数”，新的“二合数”中，整数部分会发生怎样的变化？请分类说明。 　 　 　 　 　 　 　 33．【分类讨论·概念探究】定义集合A={所有非负有理数}，集合B={所有整数}，集合C={所有分数}。现有一个有理数m，并规定： • m落在某个集合中，就得到1枚“分类章”； • 若m=0，再额外得到1枚“零章”。 （1）当m=0、m=−3、m=2/5时，分别能得到几枚章？说明理由； （2）一个数恰好得到1枚“分类章”（不计零章），它可能属于哪些类型？请分类讨论； （3）能否存在一个有理数同时得到3枚“分类章”？为什么？ （4）小华说：“得到2枚分类章的数一定是正整数。”你同意吗？若不同意，请给出反例并归纳所有可能情形。 　 　 　 参考答案（教师核对用） 1．C　2．C　3．B　4．B　5．B　6．C　7．A　8．C　9．B　10．B 11．整数；分数；0　12．10；−7/4　13．低　14．非负；整数　15．−11，0，8；2/9 16．（1）−9，0，15；（2）3/4，−1.2，−5/6，2.75；（3）3/4，15，2.75；（4）−9，−1.2，−5/6。 17．（1）错误。有理数没有最小值。（2）正确。有理数按形式分为整数和分数。（3）正确。负整数属于有理数。 18．（1）−3表示比合格线低3分；0表示恰好达到合格线。（2）正数：+6，+2；0：0；负数：−3，−5。 19．B（①③④正确）　20．B　21．B　22．B　23．D　24．C 25．有限；有理；循环；有理　26．3；2　27．0，1，2　28．负分数 29．（1）−12，0，3.14，−0.333…，22/7，−5/2，18；（2）−12，0，−0.333…，−5/2；（3）0，18；（4）π是无限不循环小数，不是有理数。 30．（1）错误在“0不属于整数”。0是整数。（2）按形式：有理数分为整数和分数；按符号：有理数分为正有理数、0、负有理数。（3）如−1/2。 31．（1）0，2.5，8，0.121212…；（2）2.5，−3/4，0.121212…；（3）1张：−3/4；（4）变为2张：0，8。 32．详细解答： （1）根据定义，一个数只要同时满足三个条件中的两个或两个以上，就是“二合数”。 ① 对于 −5：−5 是整数，满足条件①；−5<0，满足条件②；但 −5 是负整数，不满足条件③。因此它满足①②两个条件，所以 −5 是“二合数”。 ② 对于 −2/3：−2/3 不是整数，不满足条件①；−2/3<0，满足条件②；它不是负整数，满足条件③。因此它满足②③两个条件，所以 −2/3 是“二合数”。 ③ 对于 4：4 是整数，满足条件①；4>0，不满足条件②；4 不是负整数，满足条件③。因此它满足①③两个条件，所以 4 是“二合数”。 答：−5、−2/3、4 都是“二合数”。 （2）对 −3≤x≤3 的整数分类判断： 负整数 −3、−2、−1 都满足①“是整数”和②“是非正数”；0 同时满足①②③；正整数 1、2、3 都满足①“是整数”和③“不是负整数”。 因此这些整数都满足至少两个条件。 答：−3，−2，−1，0，1，2，3。 （3）已知 x 为分数。因为分数不是整数，所以条件①一定不满足；同时分数不可能是负整数，所以条件③一定满足。 要使 x 成为“二合数”，还必须满足条件②，即 x≤0。又因为 0 是整数，不是分数，所以作为分数的 x 不可能等于0，于是 x<0。 反过来，如果 x<0 且 x 为分数，那么 x 同时满足②和③，也一定是“二合数”。 所以：当 x 为分数时，“x 是二合数”与“x<0”等价。 （4）把条件③改为“x 不是正数”，则条件③与条件②都等价于 x≤0。 若 x 是非正整数（x≤0），它同时满足①②③三个条件，所以仍是“二合数”；若 x 是正整数（x>0），只满足①，不满足②③，所以不再是“二合数”。 答：修改后，整数中的“二合数”由原来的所有整数变为所有非正整数。 33．详细解答： （1）逐一判断三个数所属的集合。 ① m=0：0 是非负有理数，所以属于 A；0 是整数，所以属于 B；0 不是分数，所以不属于 C。因此得到2枚“分类章”。又因为 m=0，还额外得到1枚“零章”，共3枚章。 ② m=−3：−3 不是非负数，所以不属于 A；−3 是整数，属于 B；−3 不是分数，不属于 C。因此得到1枚“分类章”，共1枚章。 ③ m=2/5：2/5 是非负有理数，属于 A；不是整数，不属于 B；是分数，属于 C。因此得到2枚“分类章”，共2枚章。 （2）要恰好得到1枚“分类章”，就只能属于 A、B、C 中的一个集合。将有理数分类： 负整数：不属于 A，属于 B，不属于 C，只得到1枚分类章； 负分数：不属于 A，不属于 B，属于 C，也只得到1枚分类章； 0：属于 A、B，得到2枚分类章（另有1枚零章）； 正整数：属于 A、B，得到2枚分类章； 正分数：属于 A、C，得到2枚分类章。 因此，恰好得到1枚“分类章”的数是负整数或负分数，也就是负有理数。 （3）不能。若一个有理数同时得到3枚“分类章”，就必须同时属于 A、B、C。可是 B 是整数集合，C 是分数集合，而一个有理数不可能既是整数又是分数，因此 B∩C=∅。 所以不存在同时得到3枚“分类章”的有理数。 （4）不同意。得到2枚分类章的情况有三类： ① 正整数：属于 A 和 B； ② 0：属于 A 和 B（另外还有1枚零章）； ③ 正分数：属于 A 和 C。 例如 m=1/2 时，m 属于 A 和 C，能得到2枚分类章，但它不是正整数，所以小华的说法错误。 综上，得到2枚分类章的有理数恰好是所有非负有理数。 汪老师编写 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $