1.1正数和负数（讲义）2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦正数和负数的核心知识点，系统梳理正数、负数的定义及0的意义，明确具有相反意义的量的表示方法，构建从概念理解到题型应用的学习支架，涵盖认识正负数、表示相反意义的量、比较大小及解决实际问题等内容。 该资料特色在于结合生活实例（如微信账单、气温变化）培养数学眼光，分层通关练习（基础、提升、培优）发展运算能力与推理意识，融入刘徽及《九章算术》历史文化增强数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.1正数和负数（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：正数和负数的概念】 ● 【考点2：具有相反意义的量】 Part2 题型探究 ● 【题型1：认识正负数】 ● 【题型2：用正负数表示相反意义的量】 ● 【题型3：正负数比较大小】 ● 【题型4：借助正负数的实际意义解决实际问题】 Part3 分层通关 📌 【考点1：正数和负数的概念】 1.正数和负数的定义： 大于0的数叫做正数。有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”）。 在正数前加上符号“－”（读作“负”）的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界点。 例：在+3，-2，0，+1.5，-中，正数有+3、+1.5；负数有-2、-；0既不是正数也不是负数。 2.注意：0既不是正数，也不是负数. 3.0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示. 📌 【考点2：具有相反意义的量】 1.定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量. 例：若向东走5米记作+5米，则向西走3米记作-3米。 2.表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示. 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m. 📝 【题型1：认识正负数】 【例1】在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键．根据非负数的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，0，，，，，7中， 非负数有，0，，，7共5个， 故选：B． 【变式1-1】我国东汉初期的数学家刘徽在注解《九章算术》时，明确提出了正数和负数的概念，比国外早了约800年．刘徽规定正数用红色小竹棒表示，负数用黑色小竹棒表示，则三根黑色小竹棒表示的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据正负数的意义解答即可． 本题考查了正负数的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得三根黑色小竹棒表示的数是， 故选：B． 【变式1-2】下列语句：①不带负号“－”的数都是正数；②正数前面加上“－”号表示的数就是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度，其中正确的有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】明确“整数”“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：①0不带“-”号，但是它不是正数； ②正数前面加上“-”号表示的数就是负数，正确，正数前面加上“-”号表示正数的相反数，故是负数； ③0既不是正数也不是负数，故错误； ④0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）． 综上所述，①③④错误， 故选B 【点睛】此题主要考查了正数、负数、整数、0的意义，理解概念是关键． 【变式1-3】如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【详解】 解：根据算筹计数法，“”所表示的数是， 故答案为：． 📝 【题型2：用正负数表示相反意义的量】 【例2】仔细思考以下各对量：①胜二局与负三局；②气温升高与气温为；③盈利万元与亏损万元；④两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为：与：．其中具有相反意义的量有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据题意逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①胜二局与负三局；胜与负具有相反意义，故①符合题意； ②气温升高与气温为，升高与零下不具有相反意义，故②不合题意 ③盈利万元与亏损万元；盈利与亏损具有相反意义，故③符合题意 ④两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为：与：．比分不具有相反意义，故④不合题意 其中具有相反意义的量有①③． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【变式2-1】在跳远测验中，合格的标准是4.00米，王非跳出了4.12米，记为米，何叶跳出了3.95米，记作（    ） A．米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】D 【分析】根据正负数的意义解答即可 【详解】解：合格的标准是4.00米，王非跳出了4.12米，记为米， ∵，即何叶跳出了3.95米，记作米， 故选：D． 【点睛】此题考查了正负数的意义，在一个实际问题中，规定一个量为正数，则相反意义表示的量即为负数． 【变式2-2】随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，92号汽油的价格也随之变化．如果每升92号汽油的价格上涨元，记作元，那么元表示每升92号汽油的价格（    ） A．上涨元 B．上涨元 C．下降元 D．下降元 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，根据上涨记为正数，得到下降记为负数是解题的关键． 由上涨记为正数，可得下降记为负数，进而可得出元表示每升92号汽油的价格下降元． 【详解】解：∵每升92号汽油的价格上涨元，记作元， ∴元表示每升92号汽油的价格下降元． 故选：C． 【变式2-3】如图为小明微信账单．收到微信红包3.71元显示“”，则扫码付款7.35元，在阴影处显示的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的意义， 根据收到微信红包记作“”，可知扫码付款记作“”解答即可. 【详解】解：因为收到微信红包3.71，记作“”， 所以扫码付款7.35，记作“”. 故答案为：. 📝 【题型3：正负数比较大小】 【例3】初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 【答案】周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． 【变式3-1】在，0，3，这四个数中，最小的数是 ；既不是正数也不是负数的是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了正负数的意义；根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，0既不是正数也不是负数作答即可． 【详解】解：由题可知，， 故最小的数是， 既不是正数也不是负数的是0， 故答案为：，0． 【变式3-2】在，，，中，最低温度是 ，最高温度是 ，其中表示 ，读作 ；零下记作 ． 【答案】 零下负三十二摄氏度或零下三十二摄氏度 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正确理解题意是解题的关键． 根据正负数表示据有相反意义的量，结合题意即可得出答案． 【详解】解：， 最低温度是；最高温度是； 表示零下，读作负三十二摄氏度或零下三十二摄氏度； 零下记作， 故答案为：；；零下；负三十二摄氏度或零下三十二摄氏度；． 【变式3-3】下表是今年雨季某防汛小组测量的某条河的一周内的水位变化情况：（“”表示水位比前一天上升，“”号表示水位比前一天下降，单位是米） (1)上周末的水位是73.07米，本周星期一的水位是多少？ (2)在（1）的条件下，本周哪一天河流的水位最高？本周哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？ (3)与上周末相比，本周末的河流水位是上升了还是下降了，上升了或下降了多少米？ 【答案】(1)73.32米 (2)水位最高的是：周二，位于警戒水位以上；最低的是周六，位于警戒水位以下 (3)上升了米 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）根据周一比上周末上升0.25米，结合正负数的实际意义，列式计算即可； （2）根据非负数的意义分别计算每天的水位，再比较即可； （3）用本周末的水位减去上周末的水位即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米 （2）解：周一水位：米， 周二水位：米； 周三水位：米； 周四水位：米： 周五水位：米； 周六水位：米； 周日水位：米， 则水位最高的是：周二，位于警戒水位以上； 最低的是周六，位于警戒水位以下； （3）解：河流水位是上升了，（米）． ∴上升了米． 📝 【题型4：借助正负数的实际意义解决实际问题】 【例4】某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：记为，记为1，依此类推，上午记为（    ） A． B． C． D．6.15 【答案】B 【分析】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．先计算出上午到之间有多少分钟，再计算出有多少个45分钟，然后根据“正”和“负”的相对性，即可计算出正确结果． 【详解】解：上午距有225分钟，， 由于记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正， 所以上午记为． 故选：B． 【变式4-1】如图，加工一种轴时，轴直径在毫米到毫米之间的产品都是合格品，在图纸上通常用来表示这种轴的加工要求，这里表示直径是300毫米，表示最大限度可以比300毫米多毫米，表示最大限度可以比300毫米少毫米．现加工四根轴，轴直径的加工要求都是，，下列数据是加工成的轴直径，其中不合格的是（　　） A．50.02 B．50.01 C．49.99 D．49.88 【答案】D 【分析】根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是否合格． 【详解】解：由题意得：合格范围为：到， 而， 故可得D不合格． 故选D． 【点睛】本题考查正数和负数的知识，题目出的比较好，注意先求出合格的范围是关键． 【变式4-2】如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：毫米）：①；②；③；④．其中不合格的是 ．（填写序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【详解】解：∵，， ∴零件的直径的合格范围是：零件的直径， ∵不在该范围之内， ∴不合格的是①， 故答案为：①． 【变式4-3】纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【答案】B 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日17时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月8日2时． 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． ✏️ 【基础通关练】 1．下列各数中，是正数的是(   ) A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据正数的意义判断即可． 【详解】解：A.是负数，不符合题意； B.0既不是正数又不是负数，不符合题意； C.2是正数，符合题意； D.−5是负数；不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． 2．用正负数表示相反意义的量，在生活中有着广泛的应用．若零上记作，则零下可记作（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作， 故选：D． 3．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 4．正数和负数的定义：（1）像5，1.2，，……这样的数叫做 ，它们都比 大； （2）在正数前面加上“－”号的数叫做 ，如： －10，－3等，它们都比 小； （3）0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【答案】 正数0负数0正数 负数 正数 负数 【分析】根据正数和负数的定义解答． 【详解】解：（1）像5，1.2，，……这样的数叫做正数，它们都比0大； 故答案为：正数，0； （2）在正数前面加上“－”号的数叫做负数，如： －10，－3等，它们都比0小； 故答案为：负数，0； （3）0既不是正数，也不是负数．0是正数和负数的分界点 故答案为：正数；，负数；正数；负数． 【点睛】本题考查正数和负数的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5．既不是正数也不是负数的数是 【答案】0 【详解】因为要以0为标准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数， 所以0既不是正数也不是负数． 故答案为0 6．下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？不是负数的有几个？ ，，0，，，，，． 【答案】正数：；负数：，，；不是负数：5个 【分析】正数是比0大的数,负数是比0小的数． 【详解】解：正数：； 负数：，，； 不是负数的有：，，共5个 【点睛】本题考查了正负数的概念．掌握相关定义即可． ✏️ 【提升通关练】 1．一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【答案】C 【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 【详解】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 2．在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元， 故选：B． 3．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【答案】B 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日17时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月8日2时． 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． 4．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把收入50元记作元，那么支出50元记作（    ） A．元 B．元 C．0元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，根据把收入50元记作+50元，那么支出50元记作，据此即可作答． 【详解】解：∵收入50元记作元， ∴支出50元记作元， 故选：A． 5．体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 【答案】 【分析】根据正负数的意义可得达标的有人，然后计算即可． 【详解】解：由题意得：：，，，，，，，中，小于等于0的有6个，即达标的有6人， 则这个小组的达标率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键． 6．如果把“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作 元． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作元， 故答案为：． 7．下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【答案】 【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解． 【详解】解：∵东京与北京的时差是 则如果现在的东京时间时，那么北京时间是 ∵伦敦与北京的时差是， ∴伦敦的时间是前一天的 ∵纽约与北京的时差是 ∴纽约的时间是前一天的 【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 8．《九章算术》中注有“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”，意思是：有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若微信钱包账单中收入120元记作元，则支出70元记作 元． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，熟知正负数是表示相反意义的量是关键．根据题意直接求解即可． 【详解】解：∵收入120元记作元， ∴支出70元记作元， 故答案为：． 9．如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 ． 【答案】电梯下降3米 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对， ∵电梯上升5米，记作+5米， ∴-3表示电梯下降3米． 故答案为：电梯下降3米． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 10．小明在超市买一食品，外包装上印有“总净含量（300±5）g”的字样．小明拿去称了一下，发现只有296g．则食品生产厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 【答案】没有 【分析】总净含量克，意思是净含量最大不超过300克+5克，最少不低于300克-5克． 【详解】由题意可知：“”表示总净含量的浮动范围为上下5g，即含量范围在克到克之间，故总净含量为296在合格的范围内，食品生产厂家没有欺诈行为． 故答案为没有 【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 11．任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 【答案】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5； 【分析】根据正数和负数的定义，写出 个正数和 个负数，再按要求进行分类即可． 【详解】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5； 【点睛】本题主要考查了正数和负数的分类，熟练地掌握正数和负数的定义是解题的关键． ✏️ 【培优通关练】 1．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}，{______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 【答案】(1)3，4；，0 (2)10 (3) 【分析】本题考查了正负数在网格线中的运动路线问题，数形结合，明确运动规则，是解题的关键． （1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负，分别写出各点的坐标即可； （2）分别根据各点的坐标计算总长即可； （3）将，对应的横纵坐标相减即可得出答案． 【详解】（1）解：图中， 故答案为：3，4；，0． （2）解：由已知可得：表示为，记为，记为， 则该甲虫走过的路程为：． （3）解：由，， 可知：，， ∴点A向右走4个格点，向上走3个格点到点N， ∴应记为． 2．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【答案】(1)5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm (2)身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0 【分析】（1）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （2）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （3）根据题意作答即可． 【详解】（1）5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm； （2）身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm； （3）既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0． 【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，准确理解题意是解题的关键． 3．某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“（）”字样，请问“（）”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格？ 【答案】合格，过程见详解 【分析】本题考查用正负数表示变化的量，在用正负数表示变化的量时，先规定其中的一个为正（或负），则其相反意义的量就用负（或正）表示． 理解（）的意义，根据题意进行判断即可． 【详解】解：“（）”是为标准容量，（）是合格范围， 故，，，，，抽查产品的容量是合格的． 4．“十一”黄金周来临之前，“大头儿子”希望到四川九寨沟去旅游，“小头爸爸”和“围裙妈妈”却拿出了家里9月份的收支记录表给他看，9月份收支情况记录如下图： 日  期 项目 收支情况/元(记作) 9月5日 爸爸月工资收入4500元 9月6日 水、电、煤气、物管费支出800元 9月7日 电话、手机、网络费支出600元 9月15日 妈妈工资收入3500元 9月18日 还银行住房贷款3000元 9月20日 爸爸、妈妈、“大头儿子”购衣服支出900元 9月28日 订报刊、买书支出300元 9月30日 结算本月伙食费共支出1700元 合   计 本月共收入 本月共支出 本月共结余 (1)请完成上表； (2)结合上表数据说说“大头儿子”一家有条件出去旅游吗？ 【答案】(1)见解析 (2)因为结余较少，可以选择在本市旅游 【分析】本题主要考查了正负数的意义 （1）根据正负数的意义，支出用负数表示，收入用正数表示解答即可； （2）根据结余的钱数较少判断可以选择本市旅游． 【详解】（1）解：填表如下： 日期 项目 收支情况(元 9月5日 爸爸工资收入4500元 9月6日 水、电、煤气、物业管理费支出800元 9月7日 电话、手机、网络费支出600元 9月15日 妈妈工资收入3500元 9月18日 还银行住房贷款3000元 9月20日 爸爸、妈妈、大头儿子购买衣服支出900元 9月28日 订报刊、买书支出300元 9月30日 结算本月伙食费共支出1700元 合计 本月共收入 本月共支出 本月共结余 （2）解：因为结余较少，可以选择在本市旅游． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1正数和负数（讲义） Part1 考点突破 ● 【考点1：正数和负数的概念】 ● 【考点2：具有相反意义的量】 Part2 题型探究 ● 【题型1：认识正负数】 ● 【题型2：用正负数表示相反意义的量】 ● 【题型3：正负数比较大小】 ● 【题型4：借助正负数的实际意义解决实际问题】 Part3 分层通关 📌 【考点1：正数和负数的概念】 1.正数和负数的定义： 大于0的数叫做正数。有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”）。 在正数前加上符号“－”（读作“负”）的数叫做负数。 0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界点。 例：在+3，-2，0，+1.5，-中，正数有+3、+1.5；负数有-2、-；0既不是正数也不是负数。 2.注意：0既不是正数，也不是负数. 3.0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示. 📌 【考点2：具有相反意义的量】 1.定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量. 例：若向东走5米记作+5米，则向西走3米记作-3米。 2.表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示. 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m. 📝 【题型1：认识正负数】 【例1】在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1-1】我国东汉初期的数学家刘徽在注解《九章算术》时，明确提出了正数和负数的概念，比国外早了约800年．刘徽规定正数用红色小竹棒表示，负数用黑色小竹棒表示，则三根黑色小竹棒表示的数是（   ） A． B． C．0 D． 【变式1-2】下列语句：①不带负号“－”的数都是正数；②正数前面加上“－”号表示的数就是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度，其中正确的有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 📝 【题型2：用正负数表示相反意义的量】 【例2】仔细思考以下各对量：①胜二局与负三局；②气温升高与气温为；③盈利万元与亏损万元；④两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为：与：．其中具有相反意义的量有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式2-1】在跳远测验中，合格的标准是4.00米，王非跳出了4.12米，记为米，何叶跳出了3.95米，记作（    ） A．米 B． 米 C． 米 D． 米 【变式2-2】随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，92号汽油的价格也随之变化．如果每升92号汽油的价格上涨元，记作元，那么元表示每升92号汽油的价格（    ） A．上涨元 B．上涨元 C．下降元 D．下降元 【变式2-3】如图为小明微信账单．收到微信红包3.71元显示“”，则扫码付款7.35元，在阴影处显示的是 ． 📝 【题型3：正负数比较大小】 【例3】初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 【变式3-1】在，0，3，这四个数中，最小的数是 ；既不是正数也不是负数的是 ． 【变式3-2】在，，，中，最低温度是 ，最高温度是 ，其中表示 ，读作 ；零下记作 ． 【变式3-3】下表是今年雨季某防汛小组测量的某条河的一周内的水位变化情况：（“”表示水位比前一天上升，“”号表示水位比前一天下降，单位是米） (1)上周末的水位是73.07米，本周星期一的水位是多少？ (2)在（1）的条件下，本周哪一天河流的水位最高？本周哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？ (3)与上周末相比，本周末的河流水位是上升了还是下降了，上升了或下降了多少米？ 📝 【题型4：借助正负数的实际意义解决实际问题】 【例4】某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：记为，记为1，依此类推，上午记为（    ） A． B． C． D．6.15 【变式4-1】如图，加工一种轴时，轴直径在毫米到毫米之间的产品都是合格品，在图纸上通常用来表示这种轴的加工要求，这里表示直径是300毫米，表示最大限度可以比300毫米多毫米，表示最大限度可以比300毫米少毫米．现加工四根轴，轴直径的加工要求都是，，下列数据是加工成的轴直径，其中不合格的是（　　） A．50.02 B．50.01 C．49.99 D．49.88 【变式4-2】如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：毫米）：①；②；③；④．其中不合格的是 ．（填写序号） 【变式4-3】纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 ✏️ 【基础通关练】 1．下列各数中，是正数的是(   ) A． B．0 C．2 D． 2．用正负数表示相反意义的量，在生活中有着广泛的应用．若零上记作，则零下可记作（　　） A． B． C． D． 3．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 4．正数和负数的定义：（1）像5，1.2，，……这样的数叫做 ，它们都比 大； （2）在正数前面加上“－”号的数叫做 ，如： －10，－3等，它们都比 小； （3）0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 5．既不是正数也不是负数的数是 6．下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？不是负数的有几个？ ，，0，，，，，． ✏️ 【提升通关练】 1．一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 2．在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作元，则支出10元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 4．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把收入50元记作元，那么支出50元记作（    ） A．元 B．元 C．0元 D．元 5．体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 6．如果把“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作 元． 7．下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 8．《九章算术》中注有“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”，意思是：有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若微信钱包账单中收入120元记作元，则支出70元记作 元． 9．如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 ． 10．小明在超市买一食品，外包装上印有“总净含量（300±5）g”的字样．小明拿去称了一下，发现只有296g．则食品生产厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 11．任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． ✏️ 【培优通关练】 1．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}，{______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 2．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 3．某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“（）”字样，请问“（）”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格？ 4．“十一”黄金周来临之前，“大头儿子”希望到四川九寨沟去旅游，“小头爸爸”和“围裙妈妈”却拿出了家里9月份的收支记录表给他看，9月份收支情况记录如下图： 日  期 项目 收支情况/元(记作) 9月5日 爸爸月工资收入4500元 9月6日 水、电、煤气、物管费支出800元 9月7日 电话、手机、网络费支出600元 9月15日 妈妈工资收入3500元 9月18日 还银行住房贷款3000元 9月20日 爸爸、妈妈、“大头儿子”购衣服支出900元 9月28日 订报刊、买书支出300元 9月30日 结算本月伙食费共支出1700元 合   计 本月共收入 本月共支出 本月共结余 (1)请完成上表； (2)结合上表数据说说“大头儿子”一家有条件出去旅游吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $