精品解析：北京市朝阳区青苗学校2026-2027学年第一学期高三年级入学定位测试数学试卷

2026 — 2027学年第一学期 高三年级 入学定位测试 数学试卷 2026.8 时间：120分钟 满分：150分 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据交集的定义： . 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算两个复数的差，再根据复数模的计算公式求解结果即可. 【详解】已知 ，所以， 可得 . 3. 双曲线的离心率为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的离心率定义及参数的关系列方程求解的值. 【详解】由题干可得：，， 又 ，代入已知条件得  ，整理得，即， 结合的条件，解得. 4. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】设等比数列的公比为（）， 因为，，所以，所以， 所以，所以，解得或. 5. 下列函数是奇函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用奇函数定义排除不符合奇偶性要求的选项，再对剩余符合奇偶性的选项求导判断单调性，最终选出符合要求的选项. 【详解】选项A：，， 显然，不是奇函数，排除； 选项B：，，满足奇函数定义； 对其求导得， 对任意，，故恒成立， 因此在上单调递减，符合要求； 选项C：，， ，不是奇函数，排除； 选项D：， ，是奇函数， 求导得恒成立，在上单调递增， 不符合递减要求，排除. 6. 若为有理数），则（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式进行展开化简，对比的系数，即可求得的值. 【详解】 ， 于是，故. 7. 已知，把函数的图象向上平移2个单位，得到的图象；把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】函数的图象向上平移2个单位，得到的图象. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变）， 得到函数的图象. 若，则，所以， 又，解得. 8. 已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得，结合，可知，根据等腰三角形的性质可得. 【详解】设，作垂直于抛物线的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，又因为. 所以，即为等腰三角形，所以在的垂直平分线上.，所以. 9. 已知单位向量、，则“”是“、夹角为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量垂直的数量积性质与单位向量模长为的特征，分别验证两个条件的充分性和必要性即可判断逻辑关系. 【详解】设单位向量、的夹角为，则， 充分性验证：若，根据向量垂直的充要条件可得  ，展开得， 因为是单位向量，即，代入得， 因为，且， 所以，则，充分性成立； 必要性验证：若，则， 所以，所以，必要性成立. “”是“、夹角为”的充要条件. 10. 给定正整数.从正方体的8个顶点中任取个顶点，，，，组成集合 ，若 ， ，使得直线成立.则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】对说明不成立，对，由对称性，用上下底面对点分类，对各种情形判断结论成立，从而可得所求最小值. 【详解】时，例如，则集合中不存在两点连线与直线垂直，所以， 如果，由对称性，用上下底面对点分类，5个点有如下几种情形： 图1，4个点在下底面上，第5个点在上底面，如，，其它直线都有正方体中相应的棱与之垂直， 图2，图3，图4，图5中是有三个点在下底面，两个点在上底面， 图2，，旋转后与图1类似，同理，旋转后与图1类似， 图3，,中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，对体对角线来讲，有，，即有面对角线与之垂直，符合题意， 同理也符合， 图4，，与图3类似，中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，体对角线，即有面对角线与之垂直，符合题意， 图5，，这个与图3类似，是正方体对角面上的四个顶点再加正方体的另一个顶点，同样满足题意. 所以时满足题意， 如果，中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，体对角线总有面对角线与之垂直， 综上，的最小值是5. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 函数的定义域为________________________； 【答案】 【解析】 【详解】要使有意义， 则， 函数的定义域为 12. 若圆的一条对称轴为直线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，圆心在已知直线上，代入坐标求得参数值. 【详解】圆即, 由题设，圆心在直线上，则. 13. 函数的最大值为，则的一个取值为_____. 【答案】 （答案不唯一，满足或均可） 【解析】 【分析】利用三角恒等变换与辅助角公式求三角函数的最值，并根据已知条件求参数. 【详解】已知函数的最大值为， 利用余弦和角公式得：， 所以的最大值为， 所以， ， 所以，即（答案不唯一，满足或均可）. 14. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，，则的体积为___；若为中点，则点到平面的距离为____. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用棱锥体积公式  计算四棱锥体积，利用面面垂直的性质定理，将点到平面的距离转化为点到直线的距离求解. 【详解】①因为底面 是矩形，，， 所以底面的面积， 因为 底面，且， 所以四棱锥的体积 ； ②因为  底面，平面，所以平面平面， 又平面平面，过点在底面内作于点， 因为平面，由面面垂直的性质定理可知，平面 ， 所以线段的长度即为点到平面的距离， 在矩形中，为中点，，所以， 在中，，， 由勾股定理得， 利用等面积法，，即， 解得，故点到平面的距离为 . 15. 已知正数数列的前项和为，且，给出下列四个结论：① ； ② 是等差数列；③ ； ④ .其中正确结论的序号是______. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由已知直接求得判断①，利用代入转化可判断②，然后求得，利用函数的最小值判断③，再由否定④. 【详解】， 对①，时，，，又，所以， 时，，所以，因为，所以解得，，①错； 对②，时，， 所以，整理得，所以是等差数列，②正确； 对③，由②知是等差数列，公差为1，又，即， 所以，， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，所以，即， 又，所以，③正确； 对④，由③的推导知，， 而，即，④错， 正确的有②③. 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 16. 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形， ，为的中点，点在上，且平面. （1）求证：点为的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，因为平面， 平面，平面平面， 所以， 因为为的中点， 所以点为的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由线面平行的性质定理求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的正弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 侧面为正方形，， 故， ， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 17. 在中，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：边上的高为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件①时不存在； 选条件②时面积为；选条件③时面积为 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理化简结合正弦的和差角公式求解即可. (2)条件①利用余弦定理可求边，判断不存在. 条件②利用正弦定理可求边，利用同角关系式和和差角公式可求，最后根据三角形面积公式求解即可. 条件③分别用两种方式表示的面积可求边，利用余弦定理求边，最后根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由可得， 在中即， 所以，又因为，所以， 化简得. 【小问2详解】 条件①：，得，根据余弦定理有：代入，得整理得无解，故选条件①时不存在. 条件②：由，得，， 根据正弦定理有， 在中， 所以的面积为. 条件③：边上的高为，由得，设, 所以的面积为：， 又的面积可以表示为， 联立得，根据余弦定理有：， 代入，得， 整理得或（舍）， 此时的三边分别为，，， 所以存在， 面积为. 18. 网上购物已经成为一种重要的消费方式．为了解某小区居民使用网上支付的情况，某网上商城随机抽取了50名居民，调查每个人平均每个月的网上支付金额，统计结果如下表： 消费金额/元 人数 年龄/岁 2000元以上 6 2 2 0 0 2 5 2 1 0 2 3 2 2 1 2 4 2 1 1 50及以上 3 6 0 0 1 （1）从年龄在岁的被调查者中任选一人，求其每个月消费金额在元的概率； （2）从每个月消费金额在元的被调查者中任选2人做进一步的调查，求选出的2人至少1人年龄在岁的概率； （3）比较表格中第三行和第四行数据（即年龄在岁与年龄在岁所在行）中所给人数数据方差的大小（只需直接写出结果）． 【答案】（1） ；（2） ；（3）年龄在岁的数据方差较小． 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率计算公式即可求解； （2）用列举法求出基本事件的总数，然后利用古典概型的概率计算公式即可求解； （3）由第三行数据比第四行数据集中即可得结果. 【详解】解：（1）设“从年龄在岁的被调查者中任选一人，其每个月网上消费金额在元”为事件A， 因为年龄在岁之间的被调查者一共有20人，其中有4个人每个月网上消费金额在元， 所以． （2）每个月网上消费金额在元的被调查者共4人，设这4个人为甲、乙、丙、丁，其中丙、丁的年龄在岁之间． 则样本空间（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁） 设“选出的2人中至少1人年龄在岁”为事件B， 易知，事件B中含有5个样本点， 所以． （3）年龄在岁的数据方差较小． 19. 已知椭圆 的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的方程； （2），分别是椭圆的左、右顶点， 经过点且斜率存在且不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，求直线，的斜率之比. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第一问利用已知条件结合离心率求出椭圆方程； 第二问结合点坐标，设直线方程，联立椭圆方程，表示出斜率比值，根据已知条件使用韦达定理求解. 【小问1详解】 由题意知，，又因为，所以， 因为，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题知，，设过的直线斜率为，则直线方程为， 设直线与椭圆交于，则， 联立直线与椭圆方程，消元得：， 整理得：， 根据韦达定理：， 所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以， 因为， 所以 所以， 即. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，函数存在极大值； （3）若有三个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明：因为， 又因为，令，得，所以， 由两函数的图象可知，两函数在上存在唯一一个交点，设此交点的横坐标为， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 所以函数在处取极大值. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）令，得，即有，利用函数与图象的交点个数，从而确定的根的个数，判断出函数的单调性，即可得证明； （3）将问题转化为直线与函数有三个不同交点，利用导数确定的单调性及极值，再作出图象，利用图象求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以，即切点为, 且，所以， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 令，得， 令， 则直线与函数有三个不同交点， 又因为， 令，得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以在处取最得极小值，在处取最得极大值为， 又因为当时，，当时，， 作出的图象，如图所示： 由此可得，所以实数的取值范围为. 21. 已知无穷数列满足，且 （1）写出所有可能的值； （2）是否存在，使得对成立？若存在，求出的一个值，若不存在，说明理由； （3）求的最小值. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 因为， 所以， 则有， 假设存在满足条件， 则任意，有， 整理得， 解得， 又因为， 所以， 解得与矛盾， 所以不存在，使得对成立； （3）. 【解析】 【分析】（1）由递推公式求解即可; （2）假设存在，使得对成立， 将两边平方，整理后可得与矛盾，从而可得假设错误,即可得结论； （3）令，则化简可得,只需求靠近的值即可，根据递推公式及（1）分别求出的所有可能的值，即可得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以或， 当时，， 所以或 当时，， 所以， 综上，所有可能的值为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为， 所以， 即， 则有， 又因为， 又因为， 令， 则有， 所以, 所以, 故只需求靠近的值即可， 由（1）可知所有可能的值， 当时，；当时，；当时，； 所以所有可能的值， 同理可得：所有可能的值， 所有可能的值， 所有可能的值， 所有可能的值， 所有可能的值:， 其中当时，最靠近， 此时取最小值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 — 2027学年第一学期 高三年级 入学定位测试 数学试卷 2026.8 时间：120分钟 满分：150分 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 双曲线的离心率为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 下列函数是奇函数，且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 若为有理数），则（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 7. 已知，把函数的图象向上平移2个单位，得到的图象；把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知单位向量、，则“”是“、夹角为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 给定正整数.从正方体的8个顶点中任取个顶点，，，，组成集合 ，若 ， ，使得直线成立.则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 函数的定义域为________________________； 12. 若圆的一条对称轴为直线，则______. 13. 函数的最大值为，则的一个取值为_____. 14. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，，则的体积为___；若为中点，则点到平面的距离为____. 15. 已知正数数列的前项和为，且，给出下列四个结论：① ； ② 是等差数列；③ ； ④ .其中正确结论的序号是______. 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 16. 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形， ，为的中点，点在上，且平面. （1）求证：点为的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：边上的高为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 网上购物已经成为一种重要的消费方式．为了解某小区居民使用网上支付的情况，某网上商城随机抽取了50名居民，调查每个人平均每个月的网上支付金额，统计结果如下表： 消费金额/元 人数 年龄/岁 2000元以上 6 2 2 0 0 2 5 2 1 0 2 3 2 2 1 2 4 2 1 1 50及以上 3 6 0 0 1 （1）从年龄在岁的被调查者中任选一人，求其每个月消费金额在元的概率； （2）从每个月消费金额在元的被调查者中任选2人做进一步的调查，求选出的2人至少1人年龄在岁的概率； （3）比较表格中第三行和第四行数据（即年龄在岁与年龄在岁所在行）中所给人数数据方差的大小（只需直接写出结果）． 19. 已知椭圆 的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的方程； （2），分别是椭圆的左、右顶点， 经过点且斜率存在且不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，求直线，的斜率之比. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，函数存在极大值； （3）若有三个不同的零点，求的取值范围. 21. 已知无穷数列满足，且 （1）写出所有可能的值； （2）是否存在，使得对成立？若存在，求出的一个值，若不存在，说明理由； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $