18.5 分式方程 第二课时 列分式方程解决实际问题 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦列分式方程解决实际问题，通过筑路施工视频情境导入，结合复习回顾的解分式方程步骤（去分母转化整式方程、验根），搭建从方程解法到实际应用的学习支架。 其亮点在于以工程、行程问题为载体，通过“321”策略、“审设列解验答”六步流程，培养数学建模能力和逻辑思维。如例3设元分析等量关系建模，总结提升提炼通用思路，助力学生用数学思维解决问题，教师可借助结构化资源提升教学效率。

第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.5 分式方程 第二课时 列分式方程解决实际问题 1 学习目标 1. 掌握列分式方程解决实际问题的步骤，能准确求解并检验分式方程的解. 2. 通过分析实际问题中的等量关系，提升数学建模能力；通过对比不同类型问题，总结分式方程应用的通用思路. 3. 感受数学与生活的联系，培养解决实际问题的逻辑思维，体会 “建模 — 求解 — 检验” 的严谨性. 2 复习回顾 1. 解分式方程的基本思路是什么？ 2. 解分式方程有哪几个步骤？ 分式方程 整式方程 去分母 转化 一化：分式方程转化成整式方程； 二解：解整式方程； 三检验：代入最简公分母看是否为0. 3. 验根有哪几种方法？ 有两种方法： 第一种是代入最简公分母； 第二种代入原分式方程. 通常使用第一种方法. 3 4 情境导入 同学们，刚才我们观看了一段筑路工程队的施工视频. 在如火如荼的建设场景中，不知大家是否注意到一个问题：甲、乙两个工程队的施工速度是完全相同的吗？还是说，其中一方更快一些呢？ 5 情境导入 如果存在速度差异，我们又该如何运用我们所学的数学知识，准确地比较出他们的快慢呢？这就需要我们深入挖掘工程问题中蕴含的数量关系. 6 典例解析 例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 分析：甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量. 由此列方程，进而求出x，就可以比较甲、乙两队的施工速度. 等量关系： . 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1” 7 典例解析 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得 + + =1 方程两边乘6x，得 2x+x+3=6x. 解得 x =1. 检验：当x=1时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快. 8 总结提升 1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2.通常间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率； 4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量. 3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”. 列分式方程解决工程问题的解题策略： 9 针对练习 甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个. 解：设乙每小时做零件x个，则甲每小时做零件(x+6)个，根据题意，得 = 解得 x=12 检验：x=12时，x(x+6)≠0， 所以，原分式方程的解为x=12. 答：甲、乙每小时分别做零件18个、12个. 10 典例解析 例4 某次列车平均提速v km/h. 在相同的时间内，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间等于提速后列车运行(s+50)km所用时间为.由此列方程，进而求出x. 表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量). 11 典例解析 解：设提速前列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶s km所用时间为h；提速后列车的平均速度为(x+v) km/h，提速后它行驶(s+50)km所用时间为 h. 根据行驶时间的相等关系，得 = . ① 方程两边乘x(x+v)，得 s(x+v)=x(s+50) 解得 x= . 12 典例解析 检验：由于v，s都是正数，所以当x= 时，x(x+v) ≠0. 所以，原分式方程的解为x= . 答：提速前列车的平均速度为 km/h. 在例 4中，出现了一些用字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现. 方程①是以x为未知数的分式方程，其中v，s是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数. 13 总结提升 1. 注意关键词“提速”与“提速到”的区别； 2. 明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来； 3. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程. 列分式方程解决行程问题的解题策略： 14 针对练习 八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达.已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度. 15 针对练习 八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达.已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度. 解：设大巴的平均速度为x km/h，中巴的平均速度为1.2x km/h， 根据题意，得 解得 x=60. 检验：x=60时，1.2x≠0，所以，原分式方程的解为x=60，且符合题意. 答：大巴的平均速度为60 km/h. 16 课程小结 无论工程、行程还是其他类型的实际问题，列分式方程求解都遵循 “审、设、列、解、验、答”6 步流程 ，具体如下： 1. 审：分析题意，找出数量关系和相等关系. 2. 设： 合理设未知数，注意单位统一. 3. 列 ：用含未知数的分式表示相关量，依据等量关系列出方程. 4. 解： 解分式方程. 5. 验：双重检验（关键步骤）①验证所求的解是不是分式方程的解；②验证解是否符合实际意义. 6. 答：结合所设未知数，规范写出完整、带单位的答案. 17 随堂演练 1.福建三明市套宁县发生山体滑坡后，周边市县为了应对，决定对4800米长的河提进行加固，在加固工程中，该地驻军出色地完成了任务，它们在加固600米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了加固任务．求该地驻军原来每天加固大坝的米数？设原来每天加固x米，则下列所列方程正确的是( ) A． B． C． D． B 18 随堂演练 2.武汉新冠肺炎疫情爆发后，某省紧急组织调运一批医疗物资，由车队送往距离出发地900千米的武汉，出发第一小时内按原计划速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，因此比原计划提前2小时到达目的地．设原计划速度为x千米/时，则根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． A 19 随堂演练 3.在创建文明县城的进程中，我县为美化县城环境，计划植树20万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前3天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（  ） A． B． C． D． A 20 随堂演练 4.某工程队在中山路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（     ） A．每天比原计划少铺设20米，结果延迟10天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果延迟10天完成 C．每天比原计划多铺设20米，结果提前10天完成 D．每天比原计划少铺设20米，结果提前10天完成 C 21 随堂演练 5. 某公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等. (1)求该公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元? (2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片? 22 随堂演练 解：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x-9)元/条， 根据题意得： ， 解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解， ∴ x-9=26. 答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条. (2)设购买a条A型芯片，则购买(200-a)条B型芯片， 根据题意得：26a+35(200-a)=6280， 解得a=80. 答：购买了80条A型芯片. 23 随堂演练 6.在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装个鸡蛋，根据题意可列方程为 ． 24 随堂演练 7.科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 记者：你们是用10天完成4500米长的高架桥铺设任务的？ 工程师：是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍． (1)通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度． (2)请求出该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？ 25 随堂演练 （1）解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该建筑集团原来每天铺设高架桥250米； （2）解：， 答：该建筑集团提前8天完成铺设任务． 26 随堂演练 8.在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项改造工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成． (1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； (2)若两队合做这项工程，求完成工程所需的天数． (3)若甲队的费用每天1200元，乙队每天850元，可以有哪些施工方案？怎样施工费用最低？ 27 随堂演练 （1）设乙单独完成该工程需要x天， 依题意得：， 解得：x=60， 经检验，x=60是原方程的解， 答：乙单独完成该工程需要60天； （2）两队合作需要时间：， 即两队合作需要24天； 28 随堂演练 （3）共有三种施工方案： ①由甲单独完成，需40天， 施工费用：40×1200=48000元；    ②由乙单独完成，需60天， 施工费用：60×850=51000元； ③由甲乙合作完成，需24天， 施工费用：24×（1200+850）=49200元. ∴ 由甲单独完成施工费用最低． 29 第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.5 分式方程 第二课时 列分式方程解决实际问题 30 $