18.5.2 列分式方程解决实际问题-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦列分式方程解决实际问题，涵盖工程、行程、销售、效率调配四大题型。通过复习分式方程解法与整式方程应用题步骤，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已有认知过渡到分式方程应用。 其亮点在于以“满分六步法”规范解题流程，强调双重验根培养推理意识，通过工程问题等实例抽象数量关系发展数学眼光。采用例题精讲与易错点总结，帮助学生建立模型意识，提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 18.5.2 列分式方程解决实际问题 第十八章 分式 18.5.2 列分式方程解决实际问题 总结与练习 一、学习目标 1. 掌握列分式方程解应用题的完整解题步骤，区别于整式方程应用题； 2. 熟练掌握八年级四大必考题型：工程问题、行程问题、销售问题、效率调配问题； 3. 掌握双重验根规则，规避实际问题增根、不合题意解的扣分点。 二、核心解题步骤（满分六步法，必考背诵） 列分式方程解应用题，比普通方程多一步检验，完整标准步骤： 1. 审：审题找等量：梳理已知量、未知量，找准题目核心等量关系； 2. 设：合理设未知数：一般问什么设什么，也可设中间量简化计算，带单位； 3. 列：列分式方程：根据等量关系，列出规范分式方程； 4. 解：解分式方程：去分母化为整式方程，规范求解； 5. 验：双重检验（重中之重）： ① 验是否为增根（代入最简公分母，不为0）； ② 验是否符合实际题意（时间、速度、人数、工作量不能为负、不能为小数不合理值）； 6. 答：规范作答：对应问题作答，齐全单位，语句通顺。 三、四大必考题型核心公式 1. 工程问题（考频最高） 核心关系：$$\text{工作效率}=\dfrac{\text{工作总量}}{\text{工作时间}}$$ 默认工作总量为单位1，多人合作效率相加。 常见等量：原效率用时 - 提速后用时 = 时间差 2. 行程问题 核心关系：$$\text{速度}=\dfrac{\text{路程}}{\text{时间}}$$ 常见场景：匀速行驶、提速/减速、顺水逆水、时间差值题型。 3. 销售单价问题 核心关系：$$\text{单价}=\dfrac{\text{总费用}}{\text{数量}}$$ 常见等量：原价购买数量与优惠价购买数量的数量差、价格差。 4. 调配效率问题 多为人数调配、机器更换，核心是前后工作效率、完成时间相等。 四、经典例题精讲（考试原题模型） 例1 工程问题（基础必考） 题目：一项工程，甲单独完成需要x天，乙单独完成比甲少3天，甲乙合作1天可完成工程的$$\dfrac{3}{10}$$，求甲单独完成的天数。 解：设甲单独完成需要$$x$$天，则乙需要$$(x-3)$$天。 甲效率：$$\dfrac{1}{x}$$，乙效率：$$\dfrac{1}{x-3}$$ 列方程：$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{3}{10}$$ 去分母，两边同乘$$10x(x-3)$$： $$10(x-3)+10x=3x(x-3)$$ 整理得：$$3x^2-29x+30=0$$，解得$$x_1=10，x_2=1$$ 验根：$$x=1$$时，$$x-3=-2$$（时间为负，不合实际，舍去） $$x=10$$是原方程的解且符合题意。 答：甲单独完成需要10天。 例2 行程提速问题（高频） 题目：从甲地到乙地全程120km，新车速度比旧车快20km/h，行驶全程可节省1小时，求旧车行驶速度。 解：设旧车速度为$$x\ \text{km/h}$$，新车速度为$$(x+20)\ \text{km/h}$$ 列方程：$$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+20}=1$$ 解得：$$x=40$$（负根舍去） 验根：解不为增根，速度为正，符合实际。 答：旧车行驶速度为40km/h。 例3 销售价格问题（单元测试压轴） 题目：用300元购买文具，优惠后单价比原价便宜5元，结果多买了10件，求文具原价。 解：设文具原价为$$x$$元，优惠价$$(x-5)$$元。 列方程：$$\dfrac{300}{x-5}-\dfrac{300}{x}=10$$ 解得：$$x=15$$ 验根：符合题意，无增根。 答：文具原价为15元。 五、本节致命易错点（扣分重灾区） 1. 只验方程、不验实际：只判断是否为增根，忽略负数、不合理数值，直接扣分； 2. 等量关系列反：时间差、数量差前后顺序颠倒，方程列错； 3. 单位不统一：题目中分钟、小时，千米、米混用，计算出错； 4. 漏写步骤：不设未知数、不检验、不写答句，步骤残缺扣分； 5. 效率公式混淆：忘记工程问题总量为1，误用整式方程思路列式。 六、课时同步专项练习题 一、填空题 1. 列分式方程解应用题必须进行________检验和________检验。 2. 一项工程甲单独做需8天完成，甲的工作效率为________。 二、解答题（三大必考题型） 3. 【工程问题】某工程队计划整修道路，实际每天比原计划多修路20米，原计划修路600米的时间和实际修路800米的时间相等，求原计划每天修路多少米？ 4. 【行程问题】A、B两地相距90km，骑车提速后速度是原来的1.5倍，从A到B可节省0.5小时，求原来的骑行速度。 5. 【销售问题】学校用120元购买笔记本，打折后单价降低2元，购买数量比原来多5本，求笔记本原来的单价。 七、参考答案与详细解析 一、填空题 1. 方程（增根）；实际题意 2. $$\dfrac{1}{8}$$ 二、解答题 3. 解：设原计划每天修路$$x$$米，实际每天修$$(x+20)$$米。 $$\dfrac{600}{x}=\dfrac{800}{x+20}$$ 解得：$$x=60$$ 验根：是原方程的解，且符合实际意义。 答：原计划每天修路60米。 4. 解：设原来速度为$$x\ \text{km/h}$$，提速后为$$1.5x\ \text{km/h}$$。 $$\dfrac{90}{x}-\dfrac{90}{1.5x}=0.5$$ 解得：$$x=60$$ 验根：符合题意。 答：原来的骑行速度为60km/h。 5. 解：设原单价为$$x$$元，折后单价$$(x-2)$$元。 $$\dfrac{120}{x-2}-\dfrac{120}{x}=5$$ 解得：$$x_1=8，x_2=-6$$（负数舍去） 验根：$$x=8$$符合题意。 答：笔记本原来的单价为8元。 1. 进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程. (重点) 2. 运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程. (难点) 3. 通过分式方程的应用过程，培养数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力. 学习目标 1 2 3 4 问题1：解分式方程的基本步骤是什么及需要注意的问题？ 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程 解这个整式方程 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原式方程的解，否则必需舍去 写出原方程的解 问题2： 应用整式方程解实际问题的步骤是什么？ 实际问题 审题 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 那么如何运用分式方程解决实际问题呢？ 找等量关系 知识点1：列分式方程解决工程问题 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 分析：审题 → 找等量关系 工作总量＝工作效率×工作时间 各部分工作量之和＝工作总量 思考： 在工程问题里，存在着哪些等量关系呢？ 思考： 设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 . 那么甲队半个月完成总工程的 ， 乙队半个月完成总工程的 ， 问题中的等量关系可以列方程为 ＋两队共同工作半个月完成的总工程量＝1 . 知识点1：列分式方程解决工程问题 解：设乙单独施工 1 个月能完成总工程的 . 记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快. 方程两边乘 6x，得 2x + x + 3 = 6x. 知识点1：列分式方程解决工程问题 审 设 列 解 验 答 设：_______ 未知数 解：_______ 列：_________ 检验:1.__________________； 2.______________. 【归纳总结】分式方程解决实际问题的基本过程： 分式方程 分式方程 是否是分式方程的解 是否符合题意 知识点1：列分式方程解决工程问题 【针对训练】1. 张明 3 小时清点完一批图书的一半，李强清点另一半图书的工作，两人合作 小时清点完另一半图书. 如果李强单独清点这批图书需要几个小时？ 解得 x = 4. 经检验 x = 4 是原方程的解. 答：李强单独清点完这批图书需要 4 个小时. 解：设李强单独清点完这批图书需要 x 个小时，张明的工作效率是 . 知识点1：列分式方程解决工程问题 例2 某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 知识点2：列分式方程解决行程问题 思考： 在行程问题里，存在着什么等量关系呢？ 路程＝速度 × 时间 分析：这里的字母 v，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 x km/h. 用表格梳理数据如下： 路程(km) 速度(km/h) 时间(h) 提速前 提速后 s x s + 50 x + v 提速后的行驶时间 = 提速前的行驶时间 等量关系： 【合作探究】 分析：这里的字母 v，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 x km/h. 用表格梳理数据如下： 解：设提速前列车的平均速度为 x km/h，则提速前它行驶 s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，提速后它行驶 (s + 50) km 所用时间 h. 方程两边乘 x(x + v)，得 s(x + v)＝x(s + 50). 检验：因为 v，s 都是正数，所以当 时，x(x + v)≠0. 所以，原分式方程的解是 答：提速前列车的平均速度为 km/h. 根据行驶时间的相等关系，得 【针对训练】2. 已知从 A 地到某市的高铁行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的 1.3 倍，若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求普通列车和高铁的平均速度. 解：设普通列车平均速度是 x 千米/小时，则高铁平均速度是 2.5x 千米/小时，根据题意，得 ，解得 x = 120. 经检验 x = 120 是原方程的根，且符合题意， 答：普通列车的平均速度是 120 千米/小时，高铁的平均速度为 300 千米/小时. 2.5x = 120×2.5 = 300 千米/小时 1. 一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺 流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所 用时间相等，则江水的流速为( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 15 2.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相 关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最 高时速运行时相应所用的时间比约少 ，那么区间设 计最高时速 _____ . 区间段 区间近似里 程 区间设计最高时 速 相应所用时间 48 88 320 返回 中考考法 16 3.某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知 地到地的路程为，乘坐型车比乘坐 型车少用2小 时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求 型车 的平均速度. 中考考法 17 【解】设型车的平均速度是，则 型车的平均速度 是 ， 根据题意,得，解得 ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 答：型车的平均速度是 . 返回 中考考法 4. “行人守法，安全过街”不仅体现了对生命的尊重， 也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度. 如图，某森林公 园路口的斑马线为横穿双向行驶车道，其中 ， 在绿灯亮时，小官共用通过路段，其中通过 路段时的速度是 通过路段时速度的1.6倍，则小官通过 路段时的速度是( ) B A. B. C. D. 中考考法 19 分式方程 整式方程 整式方程的解 分式方程的解 实际问题的解 实际问题 列方程 去分母 解整式方程 检验 目标 目标 课堂小结 $