1.1 集合的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的概念，涵盖元素与集合关系、确定性互异性、常用数集记法及列举法描述法。通过图书馆教材、方程根、不等式解情境导入，引导学生从对象与整体角度概括，构建集合概念学习支架。 特色在于以情境抽象培养数学眼光，通过明确与模糊标准对比判断集合发展数学思维，规范符号与表示方法强化数学语言。例1选表示方法、例2方程根讨论等实例体现问题驱动，助学生提升抽象表达能力，为教师提供清晰教学流程与重难点突破策略。

1.1 集合的概念 教学设计-2026-2027学年 数学 人教A版 必修第一册 高一 教学目标 教学目标 目标描述 语言维度 （1）能正确理解集合的概念，准确表述元素与集合的属于关系并规范使用a∈A与a∉A等符号。 语言维度 （2）能识别常用数集N、N*、Z、Q、R，并选用列举法或描述法正确表示具体集合。 能力维度 （3）能运用集合元素的确定性与互异性判断对象能否构成集合并解决元素重复问题。（4）能依据共同特征P(x)写出描述法表示并选择恰当方法表示集合。 教学重难点 教学重点：体会集合是刻画一类事物的数学模型，掌握集合与元素的概念、元素确定性与互异性、属于与不属于符号及常用数集记法，学会用列举法与描述法表示集合。 教学难点：描述法中共同特征P(x)的理解与书写，以及集合表示方法的合理选择。 教学准备 教师准备多媒体课件与常用数集记法对照表，学生复习初中学过的数与式分类知识并预习教材相关段落。 教学流程设计 一 创设情境，引入概念 教师活动：教师展示三个情境——(1)图书馆里所有高一年级数学教材；(2)方程x²−9=0的所有实数根；(3)不等式2x−1<3的实数解。提问：这三个情境有什么共同特点？引导学生从"对象"与"整体"角度概括。 学生活动：学生观察发现每个情境都涉及一组确定的对象组成的整体，初步感知"把一些对象看作整体"的思维方式。 教师追问：情境(2)中0是不是方程x²−9=0的实数根？学生回答：不是，因为0²−9=−9≠0，所以0不属于这个整体。教师借此引出元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 二 探究特性，建立表示 教师活动：教师给出三个实例让学生判断能否构成集合：(1)高一(1)班身高超过170cm的同学；(2)高一(1)班个子比较高的同学；(3)方程x²−4=0的所有实数根。提问：哪些能构成集合？为什么？ 学生活动：学生讨论后发现(1)和(3)能构成集合，因为"身高超过170cm"和"满足x²−4=0"标准明确，任一对象要么符合要么不符合；(2)不能构成集合，因为"比较高"标准不明确。教师归纳：给定的集合，它的元素必须是确定的。 教师追问：方程x²−4=0的根是2和−2，能说这个集合的元素是2、2吗？学生回答：不能，同一个元素不重复出现。教师归纳：一个给定集合中的元素是互不相同（不重复出现）的。教师进一步指出：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 教师活动：教师介绍表示方法。集合用大写拉丁字母A、B、C…表示，元素用小写拉丁字母a、b、c…表示。若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A。教师板书常用数集记法：非负整数集（自然数集）记作N；正整数集记作N*或N+；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R。 教师活动：教师讲解列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 教师活动：教师讲解描述法。一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}。以不等式2x−1<3为例，解得x<2，所以实数解集为{x∈R|x<2}。教师说明：若从上下文看x∈R是明确的，可省略只写{x|x<2}。 三 变式思考，解决问题 教师活动：教师给出例题。例1 用适当方法表示下列集合：(1)大于−2且小于3的整数；(2)平面直角坐标系中第二象限的所有点；(3)函数y=x²图象上的所有点。 学生活动：学生独立思考后回答。(1)大于−2且小于3的整数为−1、0、1、2，元素个数有限，用列举法表示为{−1，0，1，2}。(2)第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，元素有无穷多个，用描述法表示为{(x，y)|x<0，y>0}。(3)函数y=x²图象上的点满足纵坐标等于横坐标的平方，用描述法表示为{(x，y)|y=x²}。 教师追问：集合{(x，y)|y=x²}与集合{x|y=x²}是否相同？学生回答：不同。前者元素是点(x，y)，后者元素是实数x，二者元素类型不同。教师强调：使用描述法时必须明确代表元素是什么。 教师活动：教师给出例2。已知集合A={x|ax²−2x+1=0，x∈R}，若A中只有一个元素，求实数a的值。 学生活动：学生分析方程ax²−2x+1=0实数根的个数。(1)当a=0时，方程化为−2x+1=0，解得x=，只有一个实数根，符合题意。(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，只有一个实数根等价于判别式Δ=0，即(−2)²−4a·1=0，解得a=1。综上，a=0或a=1。答案：a=0或a=1。 四 巩固练习，延伸拓展 教师活动：教师布置课堂练习。练习1 判断下列对象能否构成集合：(1)全体面积大于1的三角形；(2)高一(1)班性格开朗的同学。 学生活动：(1)能构成集合，"面积大于1"标准确定。(2)不能构成集合，"性格开朗"标准不明确，无法判断任一同学是否属于。答案：(1)能；(2)不能。 教师活动：练习2 用适当方法表示下列集合：(1)方程x²−5x+6=0的所有实数根；(2)所有奇数组成的集合。 学生活动：(1)解方程x²−5x+6=0，因式分解得(x−2)(x−3)=0，根为x=2和x=3，元素有限，用列举法表示为{2，3}。(2)奇数有无穷多个，共同特征为x=2k+1(k∈Z)，用描述法表示为{x|x=2k+1，k∈Z}。答案：(1){2，3}；(2){x|x=2k+1，k∈Z}。 五 课堂小结，布置作业 教师活动：教师引导学生回顾本节课内容。提问：本节课学习了哪些知识？学生回答：学习了元素与集合的概念、元素的确定性与互异性、属于与不属于符号a∈A和a∉A、常用数集N、N*、Z、Q、R，以及列举法和描述法两种表示方法。 教师补充：描述法的关键是找准代表元素和共同特征P(x)，列举法适用于元素较少的集合，描述法适用于无限集或元素较多的集合。 教师活动：布置课后作业：教材课后练习第1、2、3题，补充题 补充题解答：由互异性知1≠a，1≠a²，a≠a²。由1≠a得a≠1；由1≠a²得a²≠1即a≠1且a≠−1；由a≠a²得a(1−a)≠0即a≠0且a≠1。三个条件取交集，得a≠0且a≠1且a≠−1。答案：a≠0且a≠1且a≠−1。 学科网（北京）股份有限公司 $