18.5.1 分式方程 第一课时 分式方程及其解法 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式方程的概念及解法，通过轮船顺逆流航行时间相等的情境导入，结合旧知回顾一元一次方程解法，以整式方程为学习支架，引导学生类比转化，建立分式方程与整式方程的联系。 其亮点在于“一化二解三检验”的步骤总结，情境导入培养数学眼光（从现实问题抽象数量关系），转化与检验过程发展数学思维（推理意识、运算能力），规范解题步骤强化数学语言（模型意识）。典例与分层练习帮助学生掌握转化思想，教师使用可提升教学系统性和效率。

第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.5 分式方程 第一课时 分式方程及其解法 1 学习目标 1.理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法（去分母化为整式方程），能正确检验分式方程的解. 2. 通过类比整式方程的解法，经历 “转化 — 求解 — 检验” 的过程，提升转化与思辨能力. 3. 体会数学 “化未知为已知” 的思想，培养严谨的解题习惯. 2 旧知回顾 1.什么叫一元一次方程？ 只含有一个未知数(元)，并且未知数的最高次数为1(次)的整式方程叫做一元一次方程. 2.下列方程哪些是一元一次方程？ (1) 3x-5=3；_____ (2) x+2y=5；_____ (3) x2-x=5；_____ (4) _____ √ × × √ 3 旧知回顾 3. 请解上述方程(4) . 解：去分母(方程两边乘12)，得 4(2x-1) = 3(x+2)-12 去括号，得 8x-4 = 3x+6-12 移项，得 8x-3x = 6-12+4 合并同类项，得 5x = -2 化系数为1，得 x = . 4 情境导入 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水流速为多少？ 设江水流速为v km/h，顺流90 km时间为 ​ h，逆流时间60 km为 h， 由此得到方程 . ​ = 这个方程与之前的整式方程有何不同？ 5 新知探究 ​ = ​ = 仔细观察这两个方程，它们有什么不同之处？ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 注：(1)分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知数. (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数. 分母中含有未知数 6 针对练习 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)． 分式方程 整式方程 分式方程 分式方程 分式方程 分式方程 整式方程 整式方程 7 新知探究 思考 如何解分式方程 ​ = . 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数或式，分式的值不变. 将分式方程化成整式方程的关键步骤 . 去分母 分式方程 整式方程 去分母 转化 能否将分式方程转化为整式方程？ 8 新知探究 解分式方程 ​ = . 分式方程中各分母的最简公分母是(30+v)(30-v). 解：方程两边乘(30+v)(30-v)， 得 90(30-v)=60(30+v)，解得 v=6. 检验：将v=6代入原方程，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是原分式方程的解. 由此可知，江水的流速为6 km/h. 9 新知探究 归纳总结：(1) 分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了. (2) 利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子------各分母的最简公分母. 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程 探究 ​ = 你发现了什么问题？ 10 新知探究 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5 = 10， 解得 x = 5. x=5是原分式方程的解吗？ 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程​ = 的解，实际上，这个分式方程无解. 11 新知探究 思考 比较解分式方程 ​ = 和 ​ = 的过程，为什么分式方程​ = 去分母后所得整式方程的解就是 ​ = 的解，而分式方程 去分母后所得整式方程的解却不是 的解呢？ 12 新知探究 ​ = ① ​ = ② 我们再来观察去分母的过程： 两边同乘(30+v)(30-v) 当v=6时(30+v)(30-v)≠0 方程①两边乘了同一个不为0的式子，所得整式方程的解与①的解相同. 方程②两边乘了同一个等于0的式子，所得整式方程的解使②分母为0，这样的解不是②的解. 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时(x+5)(x-5)=0 13 新知探究 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验----必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 14 典例解析 例1 解方程 ​ = . 解：方程两边乘x(x-3)，得 2x=3x-9 解得 x=9 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 15 典例解析 例2 解方程 ​ － 1= . 解：方程两边乘(x－1)(x+2)，得 x(x+2) － (x－1)(x+2) =3 解得 x =1 检验：当x=1时， (x－1)(x+2) = 0.因此x =1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 16 归纳小结 1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解； 4. 得出结论（是解或无解）. 简记为：“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤： 17 归纳小结 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 整式方程 x=m x=m不是分式方程的解 x=m是分式方程的解 去分母 解整式方程 检验 最简公分母不为0 目标 最简公分母为0 18 课堂练习 解下列方程： (1) ​ = ； (2) ​ = ； (3) ​ = ； (4) ​ = +1； (5) ​ = ； (6) ​ － =0. 19 课堂练习 (1) ​ = ； 解：方程两边乘x(x－2)，得 5(x－2) =7x 解得 x = -5 检验：当x = -5时， x(x－2) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为x = -5. 20 课堂练习 (2) ​ = ； 解：方程两边乘(x+3) (x-1) ，得 2(x-1) = x+3 解得 x =5 检验：当x = 5时， (x+3) (x-1) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为x =5. 21 课堂练习 (3) ​ = ； 解：方程两边乘2x(x+3) ，得 x+3 = 4x 解得 x =1 检验：当x = 1时， 2x(x+3) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为x =1. 22 课堂练习 (4) ​ = +1； 解：方程两边乘3(x+1) ，得 3x = 2x +3(x+1) 解得 x = 检验：当x = 时， 3(x+1) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为x = . 23 课堂练习 (5) ​ = ； 解：方程两边乘(x+1)(x-1)，得 2(x+1) = 4 解得 x =1 检验：当x=1时， (x+1)(x-1) = 0.因此 x =1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 24 课堂练习 (6) ​ － =0. 解：方程两边乘 x(x+1)(x-1) ，得 5(x-1) – (x+1)= 0 解得 x = 检验：当x = 时， x(x+1)(x-1) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为x = . 25 课程小结 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 注：(1)分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知数. (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数. 一化：分式方程转化成整式方程； 二解：解整式方程； 三检验：代入最简公分母看是否为0. “去分母法”解分式方程的步骤： 简记为： “一化二解三检验”. 26 课程小结 分式方程 整式方程 x=m x=m不是分式方程的解 x=m是分式方程的解 去分母 解整式方程 检验 最简公分母不为0 目标 最简公分母为0 27 随堂演练 1.下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2.把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（   ） A.1-(1-x)=1 B.1+(1-x)=1 C.1-(1-x)=x-2 D.1+(1-x)=x-2 A D 28 随堂演练 3.解方程时： 小燕认为：方程两边都乘以，得 小红认为：方程两边都乘以，得 小杰认为：方程两边都乘以，得 以上三位同学的理解，错误的是(   ) A．小燕 B．小红 C．小杰 D．没有错误，三位同学都正确 C 29 随堂演练 4.关于x的方程的解为x=1，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．-1 D．-3 5.下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D B 30 随堂演练 6.如果方程，那么（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.当________时，分式与分式互为相反数． B 9 8. 如图在解分式方程的过程中，步骤（2） 的依据是 ， 步骤（4） 的依据是 ． 等式的基本性质2 等式的基本性质1 31 随堂演练 9.对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________． x = 6 32 随堂演练 10.解下列分式方程： (1) ； (2) ． (1) 解：方程两边同时乘以最简公分母得∶ 解得 检验：当 时，， ∴是原方程的的解． 33 随堂演练 10.解下列分式方程： (1) ； (2) ． (2) 方程两边同时乘以最简公分母得 ， ， ，． 检验：当时，， ∴ x =3不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解． 34 第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.5 分式方程 第一课时 分式方程及其解法 35 $