18.5.1分式方程及其解法（培优课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程及其解法，涵盖定义、转化思想、五步解题模板及增根等核心知识点。通过轮船顺逆流航行的情境问题导入，引导学生从实际数量关系中抽象出分式方程，搭建整式方程到分式方程的学习支架。 其亮点在于以转化思想为核心，通过五步解题模板培养学生的推理意识，分层练习题和高频易错点总结提升运算能力，中考链接与实际应用问题体现模型意识。例如例题对比有解与无解情况强调检验步骤，帮助学生规范解题，教师可借助系统资源高效教学。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 18.5.1分式方程及其解法 第十八章 分式 18.5.1 分式方程及其解法 同步精讲+习题 一、分式方程的定义（基础考点） 1. 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 区分整式方程与分式方程 整式方程：分母不含未知数（如：$$2x+1=0$$） 分式方程：分母含有未知数（如：$$\dfrac{1}{x+1}=2$$） 3. 核心判断关键 只看分母是否含未知数，和分子是否含未知数无关。 二、解分式方程的核心思想 转化思想：分式方程 → 整式方程 通过去分母，消去分母，转化为我们熟悉的一元一次/一元二次方程求解。 三、解分式方程满分五步模板（必考答题步骤） 步骤1：因式分解——能分解的分母先因式分解 步骤2：确定最简公分母——找到所有分母的最简公分母 步骤3：两边同乘公分母——每一项都要乘，彻底去分母 步骤4：解整式方程——求出未知数的值 步骤5：必须检验（重中之重） 检验方法：将解代入最简公分母 ① 若公分母≠0：解有效，是原分式方程的解； ② 若公分母=0：解无效，是增根，原方程无解。 四、增根（本节最大难点） 1. 什么是增根？ 去分母过程中，人为扩大了未知数取值范围，求出的整式方程的根，使原分式方程分母为0，不是原方程的根，叫做增根。 2. 核心结论 分式方程必须检验！！！（不检验直接扣分） 整式方程无需检验，分式方程必考检验步骤。 五、经典例题精讲（标准答题格式） 例题1：基础分式方程（有解） 解方程：$$\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{x-1}$$ 解：最简公分母为 $$x(x-1)$$ 方程两边同乘 $$x(x-1)$$ 得： $$3(x-1)=2x$$ $$3x-3=2x$$ 解得：$$x=3$$ 检验：当$$x=3$$时，$$x(x-1) eq0$$ ∴ $$x=3$$ 是原分式方程的解。 例题2：无解分式方程（含增根） 解方程：$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$ 解：最简公分母 $$x-2$$ 方程两边同乘 $$x-2$$： $$1+3(x-2)=x-1$$ $$1+3x-6=x-1$$ $$3x-5=x-1$$ $$2x=4$$ 解得：$$x=2$$ 检验：当$$x=2$$时，$$x-2=0$$ ∴ $$x=2$$ 是增根，原分式方程无解。 六、考试高频易错点（扣分重灾区） 1. 忘记检验：分式方程不写检验步骤，考试直接扣一半分； 2. 漏乘常数项：去分母时，整数常数项忘记乘公分母； 3. 括号缺失：分子是多项式时，去分母不加括号，导致符号错误； 4. 混淆无解与增根：求出增根后，忘记写“原方程无解”； 5. 误把整式方程解法套用，忽略分母不能为0的前提。 七、同步练习题（分层训练） 一、选择题 1. 下列方程属于分式方程的是（） A. $$\dfrac{x}{2}+1=0$$ B. $$\dfrac{1}{x}+2=3$$ C. $$2x+3=5$$ D. $$\dfrac{x+1}{3}=2$$ 2. 解方程$$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}$$，解为（） A. $$x=1$$ B. $$x=2$$ C. $$x=-1$$ D. 无解 3. 分式方程$$\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{3}{x}$$的增根是（） A. $$x=0$$ B. $$x=2$$ C. $$x=0或2$$ D. 无增根 二、填空题 1. ________含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 解分式方程最后一步必须________，防止出现增根。 3. 若$$x=2$$是分式方程$$\dfrac{k}{x+1}=1$$的解，则$$k=$$________。 三、解答题（标准解方程题型） 1. $$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$ 2. $$\dfrac{1}{x-3}+2=\dfrac{4-x}{3-x}$$ 3. $$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$ 八、参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：只有B选项分母含有未知数，属于分式方程。 2. B 解析：交叉相乘得$$x=2(x-1)$$，解得$$x=2$$，检验有效。 3. B 解析：公分母为$$x(x-2)$$，$$x=2$$会使公分母为0，是增根。 二、填空题 1. 分母中 2. 检验 3. $$3$$ 解析：代入$$x=2$$，$$\dfrac{k}{3}=1$$，得$$k=3$$。 三、解答题 1. 解：最简公分母$$x(x+1)$$ $$2(x+1)=3x$$ $$2x+2=3x$$ 解得：$$x=2$$ 检验：$$x=2$$时，公分母≠0，∴ $$x=2$$是方程的解。 2. 解：最简公分母$$x-3$$ 原式变形：$$\dfrac{1}{x-3}+2=\dfrac{x-4}{x-3}$$ $$1+2(x-3)=x-4$$ $$1+2x-6=x-4$$ 解得：$$x=1$$ 检验：$$x=1$$时，公分母≠0，∴ $$x=1$$是方程的解。 3. 解：最简公分母$$(x-1)(x+2)$$ $$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$ $$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$$ $$x+2=3$$ 解得：$$x=1$$ 检验：$$x=1$$时，公分母=0，是增根，∴ 原方程无解。 九、本节满分总结 1. 分式方程判定：分母含未知数； 2. 解题核心：去分母化整式方程，逐项都要乘； 3. 绝对准则：分式方程必须检验，不检验不得满分； 4. 算出使分母为0的根 → 即为增根 → 原方程无解。 了解分式方程的概念． 会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想． 了解解分式方程时解需要进行检验的原因． 情境导入 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ 等量关系 v顺流 = v静水 + v水流 v逆流 = v静水 – v水流 如果设江水的流速为 v km / h： 速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式 顺流 逆流 30 + v 30 – v 90 60 仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？ 知识点1 分式方程的概念 探究新知 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 这些方程有什么共同特征？ *我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. （1）是方程——含有未知数的等式； （2）是分式——分母中含有未知数. 提炼 分式方程必须满足的条件： 知识点2 分式方程的解法 如何解方程 ？ 思 考 （1）如何把它转化为整式方程？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ 整式方程 转化 各个分母的最简公分母 等式的性质2 去分母 方程两边同乘各分母的最简公分母：(30 + v)(30 – v) 得 解得 v = 6 检验：将 v = 6 代入原方程中，左边 = 2.5 = 右边，因此 v=6 是原方程的解. 90(30 – v) = 60(30 + v) 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 结 小 纳 归 解：在方程两边乘最简公分母_____________， 去分母，得 x + 5 = 10 解得 x = 5 (x – 5)(x + 5) x = 5是①的解吗？ 检验：将 x = 5 代入①，分母 x – 5 和 x2 – 25 的值都为 0，相应的分式无意义. 因此 x = 5 虽然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解. 此分式方程无解. 运用“去分母化为整式方程”的方法解方程 探 究 ① ② 比较解上面两个分式方程的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 思 考 最简公分母 解 结论 (x – 5)(x + 5) (30 + v)(30 – v) x = 5 v = 6 所得整式方程的解不是②的解 所得整式方程的解与①的解相同 回代结果≠0 回代结果= 0 x = 5 是分式方程的增根 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验: 归纳 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 解：方程两边乘 x(x – 3)，得 2x = 3x – 9 解得 x = 9 检验： 当 x = 9时， x(x – 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. 例1 解方程 例2 解方程 解：方程两边乘 (x – 1)(x + 2)，得 x(x + 2) – (x – 1)(x + 2) = 3 解得 x = 1 检验： 当x = 1时，(x – 1)(x + 2) = 0 所以，原分式方程无解. 因此， x = 1不是原分式方程的解. 1.分式方程 的解是（　　） A．3 B．2 C． D． D 2.若分式方程 的解为正整数，则整数m的值 为 . 链接中考 解析：方程两边乘x-1，得x=3(x-1)+mx. 解得x=. ∵方程的解为正整数， ∴2+m=1或3. 解得m=-1或m=1(舍去，会使分式无意义) m=-1 随堂练习 1.若关于x的分式方程 的解为x=2，则m的值 为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 B 基础巩固题 课堂检测 随堂练习 2.方程的解为（　　） A．x = –1 B．x = 0 C．x = D．x = D 课堂检测 随堂练习 解：方程两边乘3x(x-1)，得3x+3–(x–1)=x2+kx， 整理，得x2+(k–2)x–4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程，得–4=0，所以x=0不是分式方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,分式方程有增根x=1. 已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值. 能力提升题 课堂检测 随堂练习 解方程: 拓广探索题 课堂检测 随堂练习 解：方程可化为： 课堂检测 整理，得 解得x = –3. 经检验：x = –3是原方程的解. 随堂练习 1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后 比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造 前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 ( ) B A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 返回 考试考法 22 2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的 投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有 三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ， 剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的 工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③ 中被墨水污染的部分应该是( ) 考试考法 23 A. 甲、乙两队合作了4天 B. 甲队先做了4天 C. 甲队先做了工程的 D. 甲、乙两队合作了工程的 √ 返回 考试考法 24 3. 教材P169习题 某物流仓储公司用， 两种型号 的机器人搬运物品，已知型机器人比 型机器人每小时多搬 运，型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运 所用时间相等，则型机器人每小时搬运物品____ . 80 返回 考试考法 25 4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某 校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比 乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包 120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各 包多少个粽子. 考试考法 26 【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均 每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得 .经检验，是原方程的解， .; 答： 甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包 80个粽子. 返回 考试考法 27 5. 已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组 单独工作半天后，乙组加人，两组合作2天后，甲组又单独 工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的 天数比甲组( ) B A. 少6天 B. 少8天 C. 多3天 D. 多6天 考试考法 28 课堂小结 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 2. 分式方程的解法： 分式方程 去分母 整式方程 求解 x = m x = m 是分式方程的解 目标 最简公分母不为0 检验 $