18.5.1分式方程及其解法（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程及其解法，涵盖定义、五步解法、增根及易错点等核心知识，通过轮船顺逆流航行情境导入，引导学生从实际问题抽象方程，衔接整式方程知识，搭建转化思想学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境抽象方程，通过五步解法和检验步骤培养推理意识，用解题口诀规范数学语言表达。中考题与基础题结合，学生能巩固知识提升应用能力，教师可系统教学提高效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 18.5.1分式方程及其解法 第十八章 分式 18.5.1 分式方程及其解法 同步知识点+练习题 【核心知识点精讲】 一、分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 区分关键：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 例：$$\dfrac{1}{x}+2=3$$ 是分式方程；$$\dfrac{x}{2}+1=0$$ 是整式方程。 二、解分式方程的核心思想 转化思想：将分式方程通过去分母，转化为整式方程求解，必须检验（分式方程独有步骤）。 三、解分式方程标准五步解法（考试满分步骤） 步骤1：因式分解：把所有分母多项式因式分解，找准最简公分母； 步骤2：去分母：方程两边同时乘最简公分母，消去所有分母，化为整式方程； 步骤3：解整式方程：按一元一次方程解法求出未知数的值； 步骤4：检验（重中之重）：将解代入最简公分母； 步骤5：下结论：公分母≠0，是原方程的解；公分母=0，是增根，原方程无解。 四、增根知识点（本节重难点） 增根定义：去分母过程中产生的、不适合原分式方程的根。 产生原因：去分母时乘了含未知数的式子，默认分母不为0，扩大了未知数取值范围。 判定方法：使原方程分母为0的根，一定是增根。 五、高频易错点（必考扣分点） 1. 忘记检验：解分式方程不检验直接扣分； 2. 去分母时，常数项漏乘公分母； 3. 分子是多项式时，去分母后忘记加括号，符号出错； 4. 混淆增根与无解：有增根不一定无解，全部根都是增根才无解； 5. 找错最简公分母，分母未先因式分解。 六、解题口诀 分母有元分式方程，先分解再去分母；整式方程求根后，代入分母验真假，为0增根不为解 --- 【同步基础练习题】 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程是分式方程的是（） A. $$\dfrac{x}{2}+3=5$$ B. $$\dfrac{1}{x-1}=2$$ C. $$2x+1=0$$ D. $$\dfrac{x+1}{3}=x$$ 2. 解分式方程必须进行的步骤是（） A. 去括号 B. 移项 C. 检验 D. 合并同类项 3. 方程$$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{x}$$的增根可能是（） A. $$x=0$$ B. $$x=2$$ C. $$x=3$$ D. $$x=1$$ 4. 解分式方程的核心是（） A. 化为整式方程 B. 直接约分 C. 直接移项 D. 通分即可 5. 若分式方程$$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{m}{x-1}$$有增根，则增根为（） A. $$x=0$$ B. $$x=1$$ C. $$x=-1$$ D. 任意数 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 分母中含有________的方程叫做分式方程。 2. 解分式方程最后必须________。 3. 使分式方程分母为0的根叫做________。 4. 解方程$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+1}$$，最简公分母是________。 5. 分式方程求解的思想是将分式方程转化为________方程。 三、解答题（共60分，每题必须写检验步骤） 1.（20分）基础分式方程： （1）$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$ （2）$$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{4}{x}$$ 2.（20分）含常数项分式方程： （1）$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$ （2）$$\dfrac{2}{x}+1=\dfrac{3}{x}$$ 3.（20分）含增根、无解题型： （1）$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$ （2）$$\dfrac{3}{x^2-9}+\dfrac{x}{x-3}=1$$ --- 【参考答案与详细解析】 一、选择题答案 1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 二、填空题答案 1. 未知数 2. 检验 3. 增根 4. $$x(x+1)$$ 5. 整式 三、解答题解析（标准满分步骤） 1.（1）解：方程两边同乘$$x(x+1)$$ $$2(x+1)=3x$$，$$2x+2=3x$$，解得 $$x=2$$ 检验：当$$x=2$$时，$$x(x+1) eq0$$，$$x=2$$∴原方程的解为 （2）解：两边同乘$$x(x-1)$$ $$x=4(x-1)$$，$$x=4x-4$$，解得 $$x=\dfrac{4}{3}$$ 检验：当$$x=\dfrac{4}{3}$$时，$$x(x-1) eq0$$，$$x=\dfrac{4}{3}$$∴原方程的解为 2.（1）解：两边同乘$$x-2$$ $$1+3(x-2)=x-1$$，$$1+3x-6=x-1$$ $$3x-5=x-1$$，解得 $$x=2$$ 检验：当$$x=2$$时，$$x-2=0$$，$$x=2$$∴是增根，原方程无解 （2）解：两边同乘$$x$$ $$2+x=3$$，解得 $$x=1$$ 检验：当$$x=1$$时，$$x eq0$$，$$x=1$$∴原方程的解为 3.（1）解：两边同乘$$(x-1)(x+2)$$ $$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$ $$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$$，$$x+2=3$$，$$x=1$$ 检验：$$x=1$$时分母为0，是增根，原方程无解 （2）解：原式整理$$\dfrac{3}{(x+3)(x-3)}+\dfrac{x}{x-3}=1$$ 两边同乘$$(x+3)(x-3)$$ $$3+x(x+3)=(x+3)(x-3)$$ $$3+x^2+3x=x^2-9$$，$$3x=-12$$，$$x=-4$$ 检验：$$x=-4$$时分母不为0，$$x=-4$$∴原方程解为 【本节满分总结】 1. 分式方程判定：分母含未知数； 2. 解法核心：去分母化整式方程，检验是必写步骤； 3. 去分母切记：每一项都要乘公分母，常数项不能漏； 4. 解后看分母，为0是增根，原方程无解，不为0是有效解。 能从实际情境中抽象出分式方程，了解分式方程的概念，并会正确识别分式方程. 经历解分式方程基本思路的探究过程，了解需要对分式方程的解进行检验的原因 能解可化为一元一次方程的分式方程，体会转化和化归思想. 情境导入 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ 等量关系 v顺流 = v静水 + v水流 v逆流 = v静水 – v水流 如果设江水的流速为 v km / h： 速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式 顺流 逆流 30 + v 30 – v 90 60 仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？ 分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 分式方程必须满足的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 三者缺一不可. 例1 下列式子： ；；；； ； . 其中是关于x的分式方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 混淆未知数与字母的区别致错 分母中含有字母的方程不一定是分式方程.如关于x的方程=x(a≠0）,分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程. 思考 如何解分式方程呢？ 解分式方程的基本思路： 去分母 分式方程 整式方程 转化 .① 分式方程①中各分母的最简公分母是 (30+v)(30-v). 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得 (30+v)(30-v)(30+v)(30-v). 90(30-v)=60(30+v) 解得 v=6. 检验：把v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是方程①的解. 由此可得，江水的流速为6 km/h. 探究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程. ② 你发现了什么问题？ 类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，去分母得整式方程 (x-5)(x+5) · ·(x-5)(x+5) x+5=10 解得 x=5. 探究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程. ② 你发现了什么问题？ 将x=5代入②，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解， 但不是分式方程的解. 实际上，这个分式方程无解. 思考 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ . ① ② 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）.方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，最简公分母(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. . ① ② 方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5.当x=5时，最简公分母(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解. . ① ② 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 解：方程两边乘x(x–3)，得 2x=3x–9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x–3)≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 例1 解方程 . 例2 . 解：方程两边同乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 x2+2x-(x2+x-2)=3 x2+2x-x2-x+2=3 x+2=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 归纳 解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.得到整式方程的解后，要对其进行检验. 解分式方程的一般过程如下： 分式方程 整式方程 x=m x=m是分式方程的解 最简公分母不为0 x=m不是分式方程的解 最简公分母为0 去分母 解整式方程 检验 目标 教材延伸 分式方程的增根 将分式方程转化成整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 产生增根的原因 在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是一个含未知数的式子，这个式子有可能为0.如果为0，那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解. 跟踪训练 解下列方程：（1）   1方程两边同乘x(x+2)，得 . 解得 =8 跟踪训练 解下列方程：（1）   2对原方程两边同时取倒数，得 关于x的形如的方程，通过取倒数，可直接将分式方程转化为整式方程进行求解，但要注意最后仍需检验. 跟踪训练 解下列方程：. 解：方程两边乘(x+1)(x-1)，得 . . 检验：当x=-1时， (x+1)(x-1)=0， 所以x=-1不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解. 含字母的分式方程的解法 1.含字母的分式方程：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程. 2.含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同. 需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件， 例3 解关于x的分式方程（ a≠0 ）. 解：方程两边乘(x-1)，得 a=x-1. 解得 x=a+1. 检验：当x=a+1时，x-1=a+1-1=a≠0. 所以原分式方程的解为x=a+1. 1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后 比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造 前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 ( ) B A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 返回 中考考法 24 2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的 投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有 三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ， 剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的 工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③ 中被墨水污染的部分应该是( ) 中考考法 25 A. 甲、乙两队合作了4天 B. 甲队先做了4天 C. 甲队先做了工程的 D. 甲、乙两队合作了工程的 √ 返回 中考考法 26 3. 教材P169习题 某物流仓储公司用， 两种型号 的机器人搬运物品，已知型机器人比 型机器人每小时多搬 运，型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运 所用时间相等，则型机器人每小时搬运物品____ . 80 返回 中考考法 27 4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某 校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比 乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包 120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各 包多少个粽子. 中考考法 28 【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均 每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得 .经检验，是原方程的解， .; 答： 甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包 80个粽子. 返回 中考考法 29 5. 已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组 单独工作半天后，乙组加人，两组合作2天后，甲组又单独 工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的 天数比甲组( ) B A. 少6天 B. 少8天 C. 多3天 D. 多6天 中考考法 30 6.［2025沧州月考］为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府 计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已 知甲队修路与乙队修路 所用时间相等，乙队每 天比甲队多修 .求甲队每天修路的长度. 中考考法 31 （1）填表（在表格中横线处填写相应的代数式）： 方法一：设甲队每天修路的长度为 ，完成表格： 工作效率/天 工作总量 工作时间（天） 甲队 400 _____________________ 乙队 _______ 600 _ ____ 中考考法 32 方法二：设甲队修路需要用 天，完成表格： 工作效率/天 工作总量 工作时间（天） 甲队 _ ___ 400 乙队 _ ___ 600 ______________________ 中考考法 33 （2）请选择一种方法，写出完整的解答过程. 【解】方法一：，解得 . 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意. 故甲队每天修路的长度为 . 中考考法 34 方法二：，解得 . 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意. . 故甲队每天修路的长度为 . （两种方法任选一种即可） 返回 中考考法 35 分式方程 定义 分母中含未知数的方程 解法 去分母，转化为整式方程 解整式方程 检验 代入原方程 代入最简公分母 $