18.4.1 整数指数幂 第一课时 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“整数指数幂”核心内容，通过旧知回顾（正整数指数幂运算性质、零指数幂）衔接情境导入，结合牛顿幂符号演变历史，引导学生从正整数指数幂自然过渡到负整数指数幂的探究，搭建完整的知识学习支架。 其亮点在于以“类比、推广”的数学思想为主线，通过具体例子推导负整数指数幂定义，结合运算性质的推广过程培养学生的推理意识与抽象能力。练习设计层次分明，从针对练习到综合应用，助力学生巩固知识，教师可借助此资料高效开展逻辑推理与严谨思维的教学。

第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.4 整数指数幂 第一课时 1 学习目标 1.理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，能正确进行整数指数幂的运算. 2.通过从正整数指数幂到负整数指数幂的推广过程，体会 “类比、推广” 的数学思想，提升逻辑推理能力. 3. 结合幂的符号演变历史，体会数学概念推广的逻辑性与严谨性，培养抽象概括能力和严谨的数学思维，感受数学符号的简洁美与工具性价值. 2 旧知回顾 算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质． (1) a3·a4= ； a7 (2) (x4)3 = ； x12 (3) (xy)3 = ； x3y3 同底数幂的乘法： . am ·an=am+n （m，n是正整数） 幂的乘方： . (am)n=amn（m，n是正整数） 积的乘方： . (a·b)n=anbn（n是正整数） 3 旧知回顾 (4) a4÷a3= ； a (5) ( )3 = ； (6) x4÷x4 = ； 1 同底数幂的除法： . am ÷an=am-n （a≠0，m，n是正整数且m＞n） 分式的乘方： . ( )n = （b≠0 ，n是正整数） a0=1（ a≠0 ） 4 情境导入 随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广. 例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围. 同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？下面，我们从追溯幂的符号的演变开始. 5 6 新知探究 an 这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广. 1676年，牛顿(Newton，1643-1727)提出了一个设想. 因为数学家将aa，aaa，aaaa，···写成a2，a3，a4，···，所以我将 ， ， ，···写成a -l，a -2，a -3， ···. 7 新知探究 思考 你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么? 根据分式的约分，当a≠0时，如何计算 a3÷a5？ a3÷a5 = = = 8 新知探究 思考 你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么? 如果把正整数指数幂的运算性质am ÷an=am-n （a≠0，m，n是正整数且m＞n）中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5也能使用，如何计算 a3÷a5？ a3÷a5 = a 3-5 = a -2. 9 新知探究 a3÷a5 = = = a3÷a5 = a 3-5 = a -2. a ≠ 0 a -2 = 数学中规定：一般地，当n是正整数时，a -n = (a ≠ 0 ) 这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数. 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数. 10 针对练习 1. 填空： (1) 30 = ，3－2 = ； (2) (－3)0 = ，(－3) －2 = ； (3) b0 = ，b－2 = (b≠0). 1 1 1 11 新知探究 思考 引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质 am • an =am+n (m，n是正整数) 能否推广到m，n任意整数的情形？ a3 • a -5 = a 3+(-5)， a -2 = 即 a3 • a5 =a 3+(-5)； a -3 • a -5 = a (-3)+(-5)， a -8 = 即 a -3 • a -5 = a (-3)+(-5) ； a 0• a -5 = 1• = = a -5 = a 0+(-5)， 即 a 0• a -5 = a 0+(-5) ； 一般地，am·an=am+n 这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用. 12 新知探究 类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用. 探究 (2) (am)n=amn (m，n是正整数)； (3) (ab)n=anbn (n是正整数)； (4) am÷an=am-n (a≠0，m，n是正整数， m＞n)； (5) ( )n = （n是正整数） 13 新知探究 归纳总结 整数指数幂有以下运算性质： (1) am·an=am+n (m，n是整数)； (2) (am)n=amn (m，n是整数)； (3) (ab)n=anbn (n是整数)； (4) am÷an=am-n (m，n是整数)； (5) ( )n = （n是整数） 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数.这些运算性质也推广到整数指数幂. 14 典例解析 例1 计算： (1) a －2÷a5； (2) () －2； (3) (a －1b2)3； (4) a －2b2 • (a 2b－2) －3 . 解：(1) a －2÷a5＝ a －2 －5 ＝ a －7 ＝ ； (2) () －2 ＝ ＝ a4b －6 ＝ ； (3) (a －1b2)3 ＝ a －3b6 ＝ ； (4) a －2b2 • (a 2b－2) －3 ＝ a －2b2 • a － 6b6 ＝ a － 8b8 ＝ . 15 针对练习 2. 计算： (1) x2y－3 • (x－1y)3 ； (2) (2ab2c－3)－2 ÷ (a－2b)3. 解：(1) x2y－3 • (x－1y)3 ＝ x2y－3 • x－3y3 ＝ x2－3 • y－3+3 ＝ x－1 ＝ ； (2) (2ab2c－3)－2 ÷ (a－2b)3 ＝ a－2b －4c6 • a6b－3 ＝ a4b －7c6 ＝ . 16 新知探究 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， am÷an=am－n， am •a－n = am+(－n) = am－n， 因此 am÷an = am •a－n， 即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法am •a－n. 特别地， ＝ a÷b＝a •b－1， 所以()n=(a • b－1)n， 即商的乘方()n可以转化为积的乘方(a •b－1)n. 17 新知探究 (1) am • an=am+n (m，n是整数)； (2) (am)n=amn(m，n是整数)； (3) (ab)n=anbn(n 是整数). 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为： 18 归纳小结 运算性质类型 正整数指数幂（m,n为正整数） 整数指数幂（m，n为整数） 同底数幂的乘法 am⋅an=am+n am⋅an=a m+n 幂的乘方 (am)n=a mn (am)n=amn 积的乘方 (ab)n=anbn (ab)n=anbn 同底数幂的除法 am÷an=am−n（需满足m>n） am÷an=am−n（无m>n限制） 分式的乘方 ( )n = （b≠0 ） ( )n = （b≠0 ） 零指数幂 无 a0=1（ a≠0 ） 负指数幂 无 a−n= （n为正整数） 正整数指数幂 vs 整数指数幂运算性质 19 课程小结 一般地，当n是正整数时，a -n = (a ≠ 0 ) 这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数. (1) am • an = am+n (m，n是整数)； (2) (am)n = amn (m，n是整数)； (3) (ab)n = anbn (n 是整数). 整数指数幂的运算性质 20 随堂演练 1．下列计算正确的是（   ） A. B. C. D. 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． C D B 21 随堂演练 4．计算a－2b2•(a2b－2) －2正确的结果是（   ） A． B． C．a6b6 D． 5．已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． B B 22 随堂演练 6．______． 7．计算：__________． 8．若，则的值为________． 9．已知，则=___________. 10．计算：的结果为_____． 11.观察下列单项式: x，-3-1x2，3-2x3，-3-3x4，3-4x5，···，认真思考其中的 规律，则第n个单项式为____________. 8b 7 (-3)1-nxn 23 随堂演练 12．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂． （1）； （2）． 解：(1) ． (2) ． 24 随堂演练 13．计算： (1) ； (2) 解： (1) = = = = (2) = = = = 25 随堂演练 14.计算． (1)； (2). 解：（1）原式 ； （2）原式= . 26 第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.4 整数指数幂 第一课时 27 $