18.4.1负整数指数幂（培优课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦负整数指数幂，通过正整数指数幂回顾及问题导入（如计算\(a^5\div a^3\)的两种方法），搭建从正整数到负整数指数幂的学习支架，明确定义及与已有知识的联系。 其亮点在于结合“指数变号底数颠倒”口诀、分层训练和易错点辨析，通过推导（如\(a^3\div a^5\)的两种算法）培养推理意识，科学记数法应用体现模型意识。帮助学生巩固运算能力，教师可利用系统资源提升教学效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 18.4.1负整数指数幂 第十八章 分式 18.4.1 负整数指数幂 同步精讲+习题 一、正整数指数幂回顾（前置基础） 我们之前学过：$$a^n$$（$$n$$为正整数）表示$$n$$个$$a$$相乘。 五大基础运算公式（全部适用于负指数幂）： 1. 同底数幂相乘：$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ 2. 同底数幂相除：$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$ 3. 幂的乘方：$$(a^m)^n = a^{mn}$$ 4. 积的乘方：$$(ab)^n = a^nb^n$$ 5. 商的乘方：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$ 零指数幂：$$a^0=1\ \ (a eq0)$$ 二、负整数指数幂核心定义（必考） 1. 定义公式 任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数。 公式：$$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}\ \ (a eq0，p为正整数)$$ 重要红线：$$0$$的负指数幂无意义！ 2. 倒数变形口诀（超级好用） 指数变号，底数颠倒 $$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}，\dfrac{1}{a^{-p}}=a^p$$ 拓展分式型：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-p}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^p$$ 3. 基础举例秒懂 $$2^{-1}=\dfrac{1}{2^1}=\dfrac{1}{2}$$ $$3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$$ $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4$$ 三、指数幂范围扩展 整数指数幂包含：正整数指数、零指数、负整数指数 所有整数指数幂，均满足之前的5条幂运算公式！ 四、整数指数幂混合运算（重难点） 1. 通用解题步骤 ① 先处理负指数：底数取倒数，指数变正数； ② 套用幂的运算法则计算； ③ 结果绝不留负指数，必须化为正指数形式。 2. 经典例题精讲 例1：计算 $$a^2 \cdot a^{-5}$$ 解：原式$$=a^{2-5}=a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}$$ 例2：计算 $$(2x^{-2}y^3)^{-3}$$ 解：原式$$=2^{-3}\cdot x^{6}\cdot y^{-9}=\dfrac{1}{8}x^6\cdot \dfrac{1}{y^9}=\dfrac{x^6}{8y^9}$$ 例3：计算 $$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$$ 解：原式$$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$$ 五、考试高频易错点 1. 负指数≠负数：负指数是取倒数，不是结果为负； ❌ 错误：$$2^{-2}=-4$$ ✅ 正确：$$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$$ 2. 0的负指数幂无意义，绝对不能计算； 3. 结果必须消去所有负指数，题目默认只接受正指数答案； 4. 系数与字母指数混淆，系数也要参与负指数运算。 六、科学记数法（负指数必考应用） 1. 表示极小小数 小于1的正数：$$a\times10^{-n}$$（$$1\leqslant a<10$$） $$n$$ = 小数点后至第一个非0数字前的0的个数 2. 举例 $$0.000025=2.5\times10^{-5}$$ 七、同步练习题（分层训练） 一、选择题 1. $$2^{-3}$$ 的值是（） A. -6 B. -8 C. $$\dfrac{1}{8}$$ D. $$-\dfrac{1}{8}$$ 2. 下列运算正确的是（） A. $$a^{-2}=-a^2$$ B. $$a^0=1$$ C. $$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=-2$$ D. $$a^{-3}=-a^3$$ 3. $$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$$ 的结果是（） A. $$\dfrac{9}{16}$$ B. $$\dfrac{16}{9}$$ C. $$-\dfrac{9}{16}$$ D. $$-\dfrac{16}{9}$$ 二、填空题 1. 负指数幂公式：$$a^{-p}=$$________（$$a eq0$$）。 2. 计算：$$5^{-2}=$$________，$$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=$$________。 3. 用科学记数法表示：$$0.000036=$$________。 三、解答题（计算，结果保留正指数） 1. $$x^3 \cdot x^{-7}$$ 2. $$(-3a^{-2}b)^2$$ 3. $$\left(2x^{-3}y^{-2}\right)^{-2}$$ 八、参考答案与详细解析 一、选择题 1. C 解析：$$2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$$。 2. C 解析：A、D负指数不是负数；B缺少$$a eq0$$条件，不严谨；C正确。 3. B 解析：倒底数变正指数，$$\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{16}{9}$$。 二、填空题 1. $$\dfrac{1}{a^p}$$ 2. $$\dfrac{1}{25}$$，$$3$$ 3. $$3.6\times10^{-5}$$ 三、解答题 1. 解：原式$$=x^{3-7}=x^{-4}=\dfrac{1}{x^4}$$ 2. 解：原式$$=9a^{-4}b^2=\dfrac{9b^2}{a^4}$$ 3. 解：原式$$=2^{-2}x^{6}y^{4}=\dfrac{1}{4}x^6y^4$$ 九、本节满分总结 1. 核心口诀：指数变号，底数颠倒，负指数变倒数； 2. 负指数只改变形式，不改变正负符号； 3. 所有整数指数幂，通用一套幂运算法则； 4. 最终结果禁止残留负指数，必须化为正指数分式形式。 知道负整数指数幂的意义及表示法. 能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义. 能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义. 复习导入 问题1 你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？ 正整数指数幂： 当n是正整数时，an = a·a·…·a. n个 正整数指数幂有以下运算性质： (1) (m，n是正整数) (2) (m，n是正整数) (3) (n是正整数) (4) (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n) (5) (n是正整数) 此外，还学过 0 指数幂，即a0 = 1(a ≠ 0) 如果指数是负整数该如何计算呢？ 问题2 你能使用两种不同的方法计算a5÷a3 吗？ a5÷a3 = a5 – 3 = a2 分式的约分 am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n) 设想导入 溯源——幂的符号的演变 3 世纪 丢番图 Δγ，Kγ， ΔγΔ Aq，Acu，Aqq 韦达(Vietè) 16 世纪 17 世纪 哈里奥特(Harriot) aa，aaa，aaaa a2，a3，a4 笛卡尔 1637年 an 简明 利于运算 有助于幂的运算的推广 知识点1 负整数指数幂 你认为牛顿的这个设想合理吗？ 思 考 因为数学家将 aa，aaa，aaaa，···写成 a2，a3，a4，···，所以我将 ， ， ，···写成 a-1，a-2，a-3，···. 如果 am 中的 m 可以是负整数，那么负整数指数幂 am 表示什么？ 探究新知 你能使用两种不同的方法计算 a3÷a5 吗？ a3÷a5 = a3 – 5 = a–2 分式的约分 am÷an = am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n) 一般地，当n 是正整数时， 这就是说， a–n (a ≠ 0) 是 an 的倒数.　　　 数学中规定： 试说说当 m 分别是正整数、0、负整数时，am 各表示什么意义？ 当 m 是正整数时，am 表示 m 个 a 相乘； 当 m 是 0 时，am 即为 a0，值为 1； 当 m 是负整数时，am 即为 a –m 的倒数. 归纳 如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0. 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数. 知识点2 整数指数幂及其运算 引入负整数指数和 0 指数后，正整数指数幂的运算性质能否推广到 m，n 是任意整数的情形？ 思 考 ① am·an = am+n (m，n是正整数) ② (am)n = amn (m，n是正整数) ③ (ab)n = anbn (n是正整数) ④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n) ⑤ (n是正整数) 例如： a3·a–5 a–3·a–5 a0·a–5 = a–2 = a3+(–5) = a–8 = a(–3) +(–5) = a–5 = a0 +(–5) am·an = am+n (1)当m，n分别为正整数和负整数时， (2)当m，n均为负整数时， (3)当m，n分别为零和负整数时， 对于m，n是任意整数的情形仍然适用. 探 究 类似地，用负整数指数幂或 0 指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试. 例如： (a–3)2 = a–6 = a(–3)×2 (ab)–3 = a–3 · a–3 a–2÷a –4 = a2 = a(–2) – (–4) 即，整数指数幂有以下运算性质： ① am·an = am+n (m，n是整数) ② (am)n = amn (m，n是整数) ③ (ab)n = anbn (n是整数) ④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数) ⑤ (n是整数) 归纳 例1 计算：(1) a–2÷a5； (3) (a–1b2)3； (4) a–2b2·(a2b–2)–3. 解：(1) a–2÷a5 = a–2 – 5 = a–7 (3) (a–1b2)3 = a–3b6 (4) a–2b2·(a2b–2)–3 = a–2b2·a–6b6 = a–8b8 整式指数幂的运算结果一般用正整数指数幂来表示. 由于负整数指数的出现，使得： 方法 am÷an = am·a–n = am–n 除法 乘法 转化 同底数幂的： 商的乘方 积的乘方 转化 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为： (1) am·an = am+n (m，n是整数) (2) (am)n = amn (m，n是整数) (3) (ab)n = anbn (n是整数) 1.下列计算正确的是(　　) A．x2·x3=x6 B．(x-1)2=x2-1 C．(xy2)2=x2y4 D．(﹣)-2=﹣4 2.下列计算正确的是(　　) A．2a3·a2=2a6 B． C．(a3+a2+a)÷a=a2＋a D．3a-2= C D 链接中考 1.下列计算正确的是( ) A.30=0 B.-|-3|=-3 C.3-1=-3 D.=±3 2.下列计算不正确的是( ) A. B. C. D. 基础巩固题 B B 课堂检测 3.若0<x<1，则x-1，x，x2的大小关系是( ) A.x-1<x<x2 B.x<x2<x-1 C.x2<x<x-1 D.x2<x-1<x C 课堂检测 计算: 课堂检测 能力提升题 若 ，试求 的值. 拓广探索题 课堂检测 1. 下列结果正确的是( ) A A. B. C. D. 2. 母题教材P162习题 若 有意义， 则 的取值范围是( ) C A. B. C. 且 D. 或 返回 考试考法 22 3. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 4. 若，则 等于( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 23 5.已知,,，,则,, , 的大小关系为______________.（用“ ”号连接起来） 【点拨】,,, , , . 返回 考试考法 6.［2025郴州期中］计算： . 【解】 返回 考试考法 25 7. 有下列四个运算结果：； ； ； ，其中正确的结果为( ) C A. ①② B. ②③ C. ①②③④ D. ①②③ 返回 考试考法 26 8. 定义一种新的运算：如果 ，则有 ,那么 的值是( ) B A. B. 5 C. D. 【点拨】, . 返回 考试考法 27 课堂小结 负整数指数幂 整数指数幂的运算性质 一般地，当 n 是正整数时， (1) am·an = am+n (m，n是整数) (2) (am)n = amn (m，n是整数) (3) (ab)n = anbn (n是整数) $