湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学 命题人：贲腾 审题人：胡雪文唐彬彬 命题研究中心 时量：120分钟满分：150分 得分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的》 1.设全集U={x|0<x<6,x∈Z},集合A={1,2,3},则uA= A.{1,2,3} r B.{4,5,6} C.{4,5}》 D.{xl3<x<6} 最 2.设x,y∈R,则“x<1且y<1”是“x+y<2”的 地 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 长 分 C.充要条件 郑 D.既不充分也不必要条件 杯 3.下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一组基底的是 期 茶 A.a=(3,2),b=(一6，一4) B.a=(-1,2),b=(合，1 C.a=(2,-5),b=(1,-号) D.a=(3,7),b=(一6，一14) 4.已知sin(e+)=,则sin2a= 扯 A-是 B.月 D 5.已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从 甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中 摸到红球的概率为 A号 B器 c D.o 数学试卷(27Q) 第1页（共8页） 6.如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线L为折痕将矩形在其 下方的部分向上翻折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F, 过点F作FP垂直CD交直线L于点P,则点P的轨迹为()的一 部分. A圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7.已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a6,c满足血A血B sin B sin A =4cosC,且c=5,则△ABC面积的最大值为 2 8.已知fx)=e-)+√x-I)(x-2),且f(a)<f(a十1)，则实数a的 取值范围是 A(1,+∞) B.[2,十o∞) C.(-∞，0] D.(-∞，1) 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分） 9,设函数f)=2sim2z-},则下列结论正确的是 Af(x)的最小正周期为π Bf(红)的图象关于直线工=看对称 Cfx)的-个零点为号 D.f(x)的值域为[-1,1] 数学试卷(27Q)第2页（共8页） 10.下列说法正确的是 A两点分布中，p=时，方差最大 B.设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的 均值为0.6 C,用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2X2列联 表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论 n(ad-bc)2 不受任何影响参考公式：t=a十bc十d)a+)(b叶d D.随机变量X满足X~N(1,100),若P(X>2a+1)=P(X≤a-2), 则a=1 11.关于二次曲线C:2+y-mxy一2=0(m∈R),下列说法正确的是 A当m=2时，C的图象为一条直线 B.Ym∈R,C的图象为中心对称图形 C.已知m=1时，C的图象为椭圆，则C上一点到原点的最大距离为2 D.已知m=4时，C的图象为双曲线，则其离心率e=2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 22z+) 的展开式中常数项为 13.函数f八x)=l血x十a与函数g(x)=x2+b在公共点处切线相同，则 b-a= lnx,x≥l, 14.已知函数f(x)三 总存在m∈R,使得关于x的方程 1-<1, f(f八x)十a)=m有四个实数解，则实数a的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分13分) 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD,AP= AB=2、AD=4,E是侧棱PB的中点. (1)求证：AE⊥平面PBC: (2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值. 16.（本小题满分15分) 已知向量m=(cos0,sin0),n=(1,N3),且m·n=1,0∈(0，x). (1)求9的值； (2)在△ABC中，角A,B.C的对边分别为a,bc,若A=9,求的取 值范围。 17.(本小题满分15分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,且an=2an-1+2m-1(n≥2)，a1=1. 2 (1)证明：数列 是等差数列； (2)求数列{an)的前n项和Sn; (3)若2a?<S2k,求正整数k的所有取值 18.（本小题满分17分) 在平面直角坐标系0中，已知点(5,1)在双曲线E:若-卡-1 @>0,b>0上，且E的离心率为9。」 (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于M,N两点，设M关于x轴的对称点为M',N关 于y轴的对称点为N',记直线MN'为'. (i)若的斜率为-，△OMN的面积为27，求L的方程； (i)若l经过点(5,0)，试判断与单位圆x2+y2=1的位置关系， 并说明理由。 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=axsin x十cosx十1，x∈[0，π]. (1)当a=1时，求f(x)的最值； (2)当a<0时，证明：(x)有唯一极值点； (3)讨论f(x)的零点个数.