湖南株洲市第二中学2027届高三上学期入学考试数学试题

株洲市二中2026年下学期高三年级入学考试试卷 数学试题 时量：120分钟　　分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了127盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，顶层有1盏灯笼，问共有（ ）层塔？ A．5 B．6 C．7 D．8 5．的展开式中，的系数为（ ） A．42 B．70 C．84 D． 6．已知为抛物线的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知，，若，，则（ ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A．2 B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D．为定值 10．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A．椭圆的焦距为 B．的最小值为 C．（为原点）是定值 D．的最大值为 11．在中，记，则下列判断正确的是（ ） A．当时，的最大值为 B．给定，任意交换，，的位置，的值不会发生改变 C．当时，为等边三角形 D．存在满足条件的，使得成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，，若，则________． 13．在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游．已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为________． 14．在正四面体中，取棱上一点，使，连接，，三棱锥的内切球的球心为，三棱锥的内切球的球心为，则平面与平面的夹角的正弦值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求的解析式 （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的值域． 16．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，已知，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 17．已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （1）求椭圆的标准方程； （2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．若是与椭圆的交点，求的面积的最小值． 18．已知函数，，． （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间，并求当函数有三个零点时，实数的取值范围； （3）当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19．有编号为，，…，的个空盒子，另有编号为，，…，的个球．现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记号球能放入号盒子的概率为． （1）求； （2）当时，求； （3）求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中2026年下学期高三年级入学考试试卷 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．BC 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．1 13．24 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）由图象知，，所以， 由图象过点，代入函数得， 所以，，因为，则，所以． 5分 （2）令，，解得，， 故函数的单调递增区间为． 9分 （3）因为，所以，当时，即时，取最大值，最大值为， 当时，即时，取最小值，最小值为， 所以的值域为． 13分 16．【详解】（1）取的中点为，连接、． 因为为的中点，所以，， 因为为的中点，底面是正方形，所以，， 所以且，则四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面； 7分 （2）取的中点为，连接， 因为侧面是边长为1的正三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为为的中点，所以， 则． 15分 17．【详解】（1）结合题设，有，解得，， 因此所求椭圆的标准方程为； 5分 （2）当直线的斜率存在且时，则， 联立，得，， 7分 由，解得，， 9分 所以，则，同理， 10分 法一：由 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 14分 法二：因为，又， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是， 14分 当时，，当不存在时，， 综上所述，的面积的最小值为． 15分 18．【详解】（1）函数，所以，得，而， 所以切线方程为，即． 3分 （2）当时，，，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数的单调增区间为和，单调减区间为； 6分 极大值，极小值， 如图所示，函数有三个零点等价于函数的图象与直线有三个交点， 所以函数有三个零点时的取值范围为． 9分 （3）因为，所以 令，得或，解得或， 当或时，，当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有，， 而，， 又不等式对任意恒成立，于是， 设，， 13分 显然，，， 令，，求导得， 则函数在上严格递减，有， 当时，，则有函数在上严格递减，，符合题意； 当时，存在，使得，当时，，当时，， 因此函数在上严格递增，有，不符合题意， 所以实数的取值范围为． 17分 19．【详解】（1）1号球放入1号盒中的概率为，此时2，3号球分别放入2，3号盒中； 1号球放入2号盒中的概率为，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为， 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中， 综上所述：． 4分 （2）1号球放入1号，4号，5号，号盒中的概率为，此时3号球可放入3号盒中； 1号球放入2号盒中的概率为，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，…号盒中，概率为，1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中； 综上所述：． 9分 （3）1号球放入1号，号，号，号，…，号盒中的概率为，此时号球可放入号盒中； 1号球放入号盒中的概率为，此时2号，3号，…，号球都可以放入对应编号的盒中，剩下编号为，，，…，的球和编号为，，，…，的空盒， 此时号盒非空，号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让号球放入号盒中的放法总数等效于将编号为，，…，的球， 按照题设规则放入编号为，，…，的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放入），所以概率为 1号球放入号盒中时，此时号球不能放入号盒中： 所以， 整理得：，① 分别用和替换和，可得：，② 由①②式相减，整理得：，从而， 等于1号球不放在2号盒的概率，即 所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $