北京大学附属中学2027届学习调研试题（分班考）高三数学试卷

北大附中2027届学习调研试题 高三数学 2026.07 本试卷共4页，100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分选择题（共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项. (1)己知集合A={x∈Zx<2},B={xx2-2x-3≤0}，则A∩B= (A){1,2,3} (B){2,3 (C){3 (D) (2) 己知复数z满足(1+)z=2-i,则z在复平面上对应点所在象限为 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3) 下列函数中，既是奇函数又在(0，+∞)上单调递增的是 (A)y=x+1 (B)y=x3+x (C)y=e+e* (D)y=x-Inx (4)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，若A,B 两点的横坐标之和为6，则AB= (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 (5)下列说法中，一定成立的是 (A)若a<b,则1} a b B)若君0，p+>4 (C)若0<a<b<c,则log。a<log.b (D)若a+2b=2,则2+4≥4 (6) 已知平面上4：y=2x+m,12:y=2x+n（m,n∈R)均与圆x2+y2-4x=0相交，若 相交的四个点可以构成一个正方形，则-M= (A)4W5 (B)210 (C)4W2 (D)4 (7)函数f(x)=x COSX与g(x)=sinx在(0,2x)上交点的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (8) 己知{a}是无穷等比数列，则“a2<a4<a”是“{a}是递增数列”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为Q(单位： %),经过t小时后，剩余电量Qt)(单位：%)满足函数关系Q)=Q。·2(其中 k>0为电量衰减系数).已知该手机在低电量模式下，从初始电量50%衰减到25% 用时4小时，设初始电量为50%，若用户希望剩余电量不低于10%，则该手机在低 电量模式下最多可使用时间的小时数为 (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 (10)若数列伍.}、{c}均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得 bn∈[cn,CH],则称数列{b}为数列{c,n}的“M数列”.已知数列{a}的前n项和为 S,则下列选项中为假命题的是 (A)存在等差数列{a},使得{a}是{Sn}的“M数列” (B)存在等比数列{a},使得{a}是S}的“M数列” (C)存在等差数列{a},使得S,}是{a}的“M数列” (D)存在等比数列{a},使得{S}是{a}的“M数列” 第二部分非选择题（共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. （11)双曲线4y2-x2=4的渐近线方程是 (12)在（√-x)的展开式中，常数项是 (13)己知e1,e2是两个单位向量，e·e2=0.设a=e,+e2,若=u=l,则a和e1的夹 角为 ;若2+=2，则-e的最小值为 (14)已知函数f(x)的图象是圆心在原点，半径为1的圆的两段弧（如图所示）. 则不等式f(x)<f(仁x)+x的解集为 5函数f四三土·其中aR,给出下列四个结论 ①对任意实数a,f(x)的定义域为R: ②存在实数a,使得f(x)在定义域无零点： ③当a<0时，对任意m>0,存在实数。，使得f(x)>m: ④当a>0时，存在m>0,使得对任意实数x,都有f(x>m. 其中所有正确结论的序号为 三、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程， (16)(本小题13分) 已知椭圆c:+y 。+原=1（a>b>0)的顶点为A(-2,0),B(0,-1). (I)求椭圆C的方程及离心率； (Ⅱ)设P为C上第一象限内的点，直线AP与y轴交于点M,直线BP与x轴交于点N, 若AB MN,求点P的坐标. (17)(本小题13分) 已知函数f(x)定义域为(-1，+o),f'(x)=xn(x+1)+1.曲线C:y=f(x)在x=0处 的切线为：y=x+b· (I)设g(x)=f'(x),求g(x)的最小值： (Ⅱ)讨论f(x)与r+b的关系： ()设t∈(0,1)，记直线x=t与C、1交于点A,B,直线x=-t与C、I交于点C,D.试比 较AB与CD的大小关系. (18)(本小题14分) 已知{a}和b}是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件： ①{a}和n}都是递增数列： ②{a}中任意两个不同的项的和不是{b}中的项. 则称{a}被bn}屏蔽，记作{an}cbn}. (I)若g=2n-1,bn=2n. (i)判断{a}cb}是否成立，并说明理由： (ii)判断bn}c{a}是否成立，并说明理由. (Ⅱ)设b}是首项为正偶数，公差是2的无穷等差数列，判断是否存在数列{a},使得 {a}cb}.如果存在，写出一个符合要求的数列{4}；如果不存在，说明理由： ()设凸n}是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数M,存在正整数f(M), 使得bM-b2M.证明：存在数列{a},使得{a}c}.