17.2.2 用公式法分解因式 第二课时 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式因式分解，课堂导入通过计算完全平方公式练习与图形拼图活动，从整式乘法公式逆向迁移引出新知，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解完全平方式结构及分解方法。 其亮点在于通过几何直观与抽象探究培养数学眼光，用“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”口诀强化数学语言表达，以“一提二套三查”流程训练数学思维，如整体代换分解(a+b)²-12(a+b)+36。学生能发展推理意识与创新能力，教师可依托丰富例题与分层练习提升教学效率。

第十七章 因式分解 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 17.2 用公式法分解因式 第二课时 1 学习目标 1. 学生能理解完全平方式的结构特点，掌握用完全平方公式进行因式分解的方法，能熟练运用公式对符合条件的多项式进行因式分解. 2.经历从具体多项式到抽象公式的探究过程，掌握公式法分解因式的基本步骤，能综合运用提公因式法和公式法分解因式，体会转化与整体的数学思想，发展数学思维能力. 3. 让学生体验数学的严谨性与实用性，激发学习数学的兴趣，增强学习数学的信心. 2 课程导入 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2. 计算下列各式： ① (x+2)2=____________； ② (x-2)2=____________； ③ (2x+3y)2=______________； ④ (2x-3y)2=______________. x2＋4x＋4 x2 - 4x＋4 4x2+12xy＋9y2 4x2-12xy＋9y2 3 课程导入 a a b a a b b b 把下面4个图形拼成一个正方形，并求出拼成图形的面积. 4 课程导入 ab ab b2 a2 a b a b 把下面4个图形拼成一个正方形，并求出拼成图形的面积. (a+b)2 = a2+2ab+b2 a2+2ab+b2 = (a+b)2 将上面的等式两边互换，能得到： 5 新知探究 思考 多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？ （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项、第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同. 中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍. 三项. 6 新知探究 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式. 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式(或可以看成三项的). 2. 有两个同号的平方项. 3. 有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍). 7 课堂练习 1. 下列各多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a2–4a+4；（ ） 理由：a2−4a+4=a2−2⋅a⋅2+22，符合完全平方式 “首平方、尾平方、首尾积的 2 倍在中央” 的结构. (2) 1+4a²； （ ） 理由：因为式子只有 “首平方” 12 和 “尾平方” a2[可看作(2a)2] ，缺少 “首尾积的 2 倍” 这一项，不满足完全平方式的结构. 是 不是 8 课堂练习 1. 下列各多项式是不是完全平方式？为什么？ (3) 4b2+4b–1；（ ） 理由： 4b2+4b−1=(2b)2+2⋅2b⋅1−12，最后一项是−12，而完全平方式的最后一项应为正的平方项，且整体符号不符合，所以不是. (4) a2+ab+b2. （ ） 理由： a2+ab+b2中，中间项是ab，而完全平方式的中间项应为2ab或−2ab，因此不满足. 不是 不是 9 典例解析 本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解． 例1 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9 解析：根据完全平方式的特征，中间项 –6x = 2·x·(–3)， 故可知 N=(–3)2=9. B 10 课堂练习 2. 如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________. 解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8. ±8 11 新知探究 把整式乘法的完全平方公式 (a＋b)2 = a2＋2ab＋b2， (a－b)2 = a2－2ab＋b2 的等号两边互换，就得到： a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2 a2－2ab＋b2 = (a－b)2. 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 12 新知探究 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. + b2 2 a b ± = (a ± b)² a2 首2 + 尾2 ± 2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2 a2－2ab＋b2 = (a－b)2. 13 典例解析 例2 分解因式： (1) x2+4x+4； 分析：其中 x2 是 x 的平方，4 是 2 的平方，中间项 4x=2⋅x⋅2，因此它是完全平方式. 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： x2+4x+4＝( )2+2·( ) ·( )+( )2 ＝ ( )2. x x 2 2 x+2 14 典例解析 例2 分解因式： (2) 16x2-24x+9. 分析： 16x2=(4x)2，9=32，24x = 2⋅4x⋅3，因此它是完全平方式. 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 16x2-24x+9 ＝( )2 + 2·( ) ·( ) + ( )2 ＝ ( )2. 4x 4x 3 3 4x-3 15 典例解析 （1）(a+b)2−12(a+b)+36； 分析：将 a+b 看成一个整体（设为 m），则原式变为 m2−12m+36，符合完全平方式. 解： (a+b)2−12(a+b)+36  = (a+b)2 −2⋅(a+b)⋅6+62 =(a+b−6)2； 例3 分解因式： 16 典例解析 （2）−x2+4xy−4y2. 分析：先通过添括号，将多项式变形为 −(x2−4xy+4y2)，再对括号内的部分用完全平方公式分解. 解：−x2+4xy−4y2 = −(x2−4xy+4y2) = −[x2−2⋅x⋅2y+(2y)2] = −(x−2y)2. 例3 分解因式： 17 新知探究 具有 “a2＋2ab＋b2 或a2－2ab＋b2 特征的多项式能用完全平方公式分解因式. 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解. 18 新知探究 把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2， 和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式： 利用公式把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. a2-b2 = (a-b)(a+b) a2+2ab+b2 = (a+b)2， a2-2ab+b2 = (a-b)2 19 课堂练习 (1) a2+2a+1 =a2+2⋅a⋅1+12 =(a+1)2 3. 分解因式： (2) x2−12x+36 =x2−2⋅x⋅6+62 =(x−6)2 (3) 4x2−4x+1 =(2x)2−2⋅2x⋅1+12 =(2x−1)2 (4) 4p2+12pq+9q2 =(2p)2+2⋅2p⋅3q+(3q)2 =(2p+3q)2 (5) (x+y)2−10(x+y)+25 = (x+y)2−2⋅(x+y)⋅5+52 =(x+y −5)2 (6) −2xy−x2−y2 =−(x2+2xy+y2) =−(x+y)2 20 新知探究 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 对于复杂的因式分解问题，需遵循 “一提、二套、三查” 的流程： 一提：先检查多项式各项是否有公因式，若有则提取公因式； 二套：提取公因式后，若剩余部分符合平方差公式或完全平方公式的结构，再用公式法分解； 三查：检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分为止. 21 典例解析 例4 分解因式： （1）x4−y4 分析：将x4、y4分别看作(x2)2、(y2)2，先利用平方差公式分解，再对可分解的因式继续分解. 解：x4−y4​ =(x2+y2)(x2−y2) =(x2+y2)(x+y)(x−y)​ 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 22 典例解析 例4 分解因式： （2）a3b−ab 分析：先提取公因式ab，再对剩余部分利用平方差公式分解. 解：a3b−ab ​=ab(a2−1) =ab(a+1)(a−1)​. 23 典例解析 例5 分解因式： 分析：先提取公因式，再对剩余部分利用完全平方公式分解. （1）3ax2+6axy+3ay2； （2）−ax2+2a2x−a3. 解：(1) 3ax2+6axy+3ay2 ​=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；​ (2) −ax2+2a2x−a3 ​ = −a(x2−2ax+a2) = −a(x−a)2​. 24 课堂练习 1. 分解因式： （1）x2y−4y 解：先提公因式y，再用平方 差公式： x2y−4y ​=y(x2−4) =y(x+2)(x−2)​​ （2）a3−2a2+a 解：先提公因式a，再用完全 平方公式： a3−2a2+a​ =a(a2−2a+1) =a(a−1)2​ 25 课堂练习 （3）ax2+2a2x+a3 解：先提公因式a，再用 完全平方公式： ax2+2a2x+a3​ =a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2​ （4）−a4+16 解：先变形为平方差形式， 再逐步分解： −a4+16 ​=16−a4 =(4+a2)(4−a2) =(4+a2)(2+a)(2−a)​ 26 课堂练习 （5）3a−6ax+3ax2 解：先提公因式3a，再用 完全平方公式： 3a−6ax+3ax2 ​=3a(1−2x+x2) =3a(x−1)2​ （6）−4bx2+8bxy−4by2 解：先提公因式−4b，再用 完全平方公式： −4bx2+8bxy−4by2​ =−4b(x2−2xy+y2) =−4b(x−y)2​ 27 课堂练习  2. 分解因式： （1）(a−b)2+4ab 解：先展开合并同类项，再用完全平方公式： (a−b)2+4ab ​=a2−2ab+b2+4ab =a2+2ab+b2 =(a+b)2​ （2）(p−4)(p+1)+3p 解：先展开合并同类项，再用 平方差公式： (p−4)(p+1)+3p​ =p2+p−4p−4+3p =p2−4 =(p+2)(p−2)​ 28 课程小结 完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的) 2.有两个同号的平方项 3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍) 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式. 29 课程小结 运用完全平方公式分解因式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 30 课程小结 把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2， 和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式： 利用公式把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. a2-b2 = (a-b)(a+b) a2+2ab+b2 = (a+b)2， a2-2ab+b2 = (a-b)2 31 随堂演练 1.下列式子为完全平方式的是( ) A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1. 2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( ) A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2 3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( ) A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2 D C A 32 随堂演练 4. 下列分解因式错误的是( ) A. x²-y2= (x+y) (x-y) B. x²+6x+9= (x+3)2 C. x²+xy=x (x+y) D. x²+y2= (x+y)2 5. 若x2-2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( ) A. 1或-3 B.-1或3 C.+1 D.±3 6. 已知a=b+2，则代数式3a2-6ab+3b2+2022的值为( ) A.2020 B.2024 C.2021 D.2034 D A D 33 随堂演练 分解因式：2a2−8a+8= ​． 因式分解：(m+n)2−6(m+n)+9= ​． 分解因式a2+4ab+4b2−1= ． 若x2−8x+m2=(x−4)2，那么m= ​． 若x2+(3−m)x+9可以用完全平方式来分解因式，则m的值 为 或 ​． 2(a−2)2 (m+n−3)2 (a+2b+1)(a+2b−1)​ ±4 －3 9 34 随堂演练 12．分解因式： (2) m3n−10m2n+25mn； (1) a−2a2+a3； = a(1-2a+a2) = a(a-1)2； = mn(m2 -10m+25) = mn(m-5)2； (3) (x2−5)2+8(5−x2)+16； (4) (a2+b2−c2)2−4a2b2． = (x2 -5)2-8(x2 -5)+16 = (x2 -5-4)2 = (x2 -9)2 = (x+3)2(x-3)2； = (a2 +b2-c2+2ab)(a2 +b2-c2-2ab) = [(a+b)2 – c2][(a-b)2 –c2] = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c) (a-b-c) . 35 随堂演练 解：(1) 3.142+6.28×6.86+6.862 ​= 3.142+2×3.14×6.86+6.862 = (3.14+6.86)2 = 102 = 100. (1) 3.142+6.28×6.86+6.862； (2) 20222−2022×4042+20212． 13．计算： (2)  20222−2022×4042+20212 ​= 20222−2×2022×2021+20212 = (2022−2021)2 = 12 = 1.​ 36 随堂演练 14.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50. 37 随堂演练 15．已知△ABC 的三边长a、b、c都是正整数，且满足：a2+2b2−4a−20b+54=0，求△ABC 的周长． 解：∵ a2+2b2−4a−20b+54=0， ∴ a2−4a+4+2b2−20b+50=0， ∴ (a−2)2+2(b−5)2=0， ∴ a−2=0，b−5=0， 解得 a=2，b=5． ∵ △ABC 的三边长a、b、c都是正整数，根据三角形三边关系： 38 随堂演练 5−2<c<5+2， ∴ 3<c<7， ∴ c的正整数值为4、5、6． 当c=4时， △ABC周长为2+5+4=11； 当c=5时， △ABC周长为2+5+5=12； 当c=6时， △ABC周长为2+5+6=13． 综上，△ABC 的周长为11​或12​或13​． 39 第十七章 因式分解 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 17.2 用公式法分解因式 第二课时 40 $