17.1用提公因式法分解因式 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦提公因式法分解因式，通过跳水比赛得分计算（pa+pb+pc与p(a+b+c)变形）导入，关联整式乘法逆向思维，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解因式分解概念及与整式乘法的关系。 其亮点在于以生活情境激发兴趣，通过对比整式乘法与因式分解培养推理意识，结合“定系数、定字母、定指数”三步骤提升抽象能力，典例与练习层次递进强化模型意识。学生能提升代数变形与逻辑推理能力，教师可借助结构化小结和丰富例题提高教学效率。

第十七章 因式分解 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 17.1 用提公因式法分解因式 1 学习目标 1. 通过对比整式乘法与因式分解的关系，理解因式分解的概念，能辨别因式分解与整式乘法的区别与联系，发展逆向思维能力. 2. 经历观察、归纳、总结的过程，掌握确定多项式各项公因式的方法（系数、字母、指数三要素），能运用提公因式法将多项式分解因式，提升代数变形能力. 3. 体会因式分解在简化运算中的作用，感受数学与生活的联系，培养严谨的逻辑推理习惯和应用意识. 2 课程导入 在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积. 如33分解成3×11，42分解成2×3×7. 既然整数可以分解成几个因数的乘积，那我们初中学习的整式，是否也能像整数这样，分解成几个因式的乘积呢？ 3 课程导入 跳水动作代码 307C 是国际跳水竞赛规则中标准化的动作标识，核心含义为 反身翻腾三周半（抱膝），是跳台跳水项目中兼具难度与观赏性的经典高难动作，常见于世界杯、世锦赛等顶级赛事。其代码每一位数字和字母都有明确界定，具体拆解如下： 一、代码拆解：数字 + 字母的精准含义 1. 第一位数字 “3”：动作组别（起跳与运动方向） 代表 第 3 组动作 —— 反身跳水。 2. 第二位数字 “0”：飞身动作标识 “0” 表示 无飞身动作。 3. 第三位数字 “7”：翻腾周数 代表 翻腾三周半。 4. 末尾字母 “C”：空中身体姿势 代表 抱膝姿势。 难度系数：通常为 3.4-3.5（不同赛事、器械高度略有微调），属于 “高难度动作”，是世界大赛中男子 10 米台争冠选手的必备难度储备动作。 本视频难度系数取3.24 4 课程导入 同学们，大家在观看跳水比赛时，有没有注意到裁判是如何给运动员评分的？又是如何计算最终得分的呢？ 5 课程导入 跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的. 某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分有两种计算方法: pa+pb+pc 和 p(a+b+c) 6 课程导入 这两个公式在数学上有什么联系？从pa+pb+pc到p(a+b+c)的变形，我们称为什么？这与我们之前学过的整式乘法有什么关系呢？ 从整式乘法p(a+b+c)=pa+pb+pc的角度看，是一种展开的过程； 而从pa+pb+pc=p(a+b+c)的角度看，相当于把一个多项式写成两个整式的乘积，是一种分解的过程. 今天，我们就来学习一种与整式乘法密切相关的代数变形方法——提公因式法分解因式. 7 新知探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： 探究 (1) x2+x = ； (2) x2－1 = ； (3) x2+2x+1 = . (1) x2+x = ； (2) x2－1 = ； (3) x2+2x+1 = . 根据整式的乘法，可以得到： x( x+1) ( x+1) ( x－1) ( x+1)2 8 新知探究 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即： 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. pa+pb+pc p(a+b+c) 因式分解 整式乘法 因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式，因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式. 9 针对练习 判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解：  (1) a(b+c) = ab + ac；  (2) x² - 1 = (x+1)(x-1)；  (3) x² + 2x + 1 = (x+1)²；  (4) x² - 3x + 2 = x(x-3) + 2； 解：(1) 不是因式分解. 属于整式乘法； (2) 是因式分解； (3) 是因式分解； (4) 不符合 “转化为几个整式的积”，不是因式分解； 10 新知探究 因式分解： 明确对象：因式分解的操作对象必须是多项式（由若干个单项式相加组成的代数式），单项式或常数不存在因式分解的概念. 形式要求：变形的结果必须是几个整式的乘积形式（整式包括单项式和多项式），若结果是 “整式的和”，则不属于因式分解. 恒等性：等式两边必须相等，即分解前后的代数式经化简后完全相同（可通过整式乘法反向验证）. 彻底性：每个因式都要分解到不能再分解为止，确保分解的最终性. 11 新知探究 观察下列多项式有何共同特点？ ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b. 它们各项都有一个公共的因式，这个因式叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是 p. 说出下列各多项式的公因式： (1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____ (3) 5y3+20y2；_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____ m 4k 5y2 ab a x b a x b b 12 新知探究 正确找出多项式的公因式的步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2. 定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 一看系数　 二看字母　 三看指数 最大公约数　 相同字母　 最低指数 13 典例解析 例1 (1) 多项式15a3b3+5a2b − 20a2b3中各项的公因式是( ) A.a3b3 B. a²b C.5a2b D.5a3b3 【分析】在多项式15a3b3+5a2b-20a2b3中，各系数的最大公因式为5，相同字母的最低次幂为a2b，则各项的公因式是5a2b. (2) 式子15a³b³(a − b)，5a2b(b − a)，-120a3b3(a2 − b2)中的公因式是( ) A.5a2b(b − a) B.5a2b2(b − a) C.5ab(b − a) D.120a3b3(b2 − a2) 【分析】因为5a2b(b−a)＝−5a2b(a−b)，−120a3b3(a2−b2)＝−120a3b3(a＋b)(a−b)，所以式子15a3b3(a−b)，5a2b(b−a)，−120a3b3(a2−b2)中的公因式是5a2b(b−a)． C A 14 针对练习 1.4a2b3与2ab4c的公因式为( ) A. ab B. 2ab C.2ab3 D. 2abc 2.多项式2a(x+y)3 − 6a2(x+y)的公因式是( ) 2a2(x+ y)2 B. 6a(x+ y) C.2a(x+y) D. − 2a 3．多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn(m，n均为大于1的整数)各项的公因式是( ) A．4xm-1yn-1 B．2xm-1yn-1 C．2xmyn D．4xmyn C C B 15 新知探究 pa + pb + pc = p (a+b+c) 公因式p与(a+b+c)的乘积. 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 公因式 16 典例解析 例2 分解因式： (1) mx2+my2； (2) 3x2 － 4xy2+x. 解：(1) mx2+my2 = m(x2+y2)； (2) 3x2 －4xy2 + x = x·3x－x·4y2+x·1 = x(3x － 4y2+1). 将x提出后，括号内的第三项为 1. 17 课堂练习 1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 4a(a+2b)=4a2+8ab； (2) a2-4=(a+2)(a-2)； (3) x2-3x+2=x(x-3)+2. 解：(1) 不是因式分解. 理由：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而该式子是把两个整式的积化为一个多项式，属于整式乘法，不是因式分解. (2) 是因式分解. (3) 不是因式分解. 理由：式子右边x(x−3)+2不是几个整式积的形式，而是整式的积与一个数的和，所以不是因式分解. 18 课堂练习 2.分解因式： (1) ax-ay； (2) a2-2a； (3) a²+ab； (4) xy − y2+yz. 解：（1）ax−ay = a(x − y)； （2）a2−2a = a(a − 2)； （3）a2+ab = a(a+b)； （4）xy − y2+yz = y(x − y+z). 19 课堂练习 3.利用因式分解计算： (1) 1.992+1.99×0.01； (2) 49×20.22+52×20.22 − 20.22；(3) 5×34+4×34+9×32. 解：(1) 1.992+1.99×0.01​ =1.99×(1.99+0.01) =1.99×2 =3.98​ 20 课堂练习 3.利用因式分解计算： (1) 1.992+1.99×0.01； (2) 49×20.22+52×20.22 − 20.22；(3) 5×34+4×34+9×32. (2) 49×20.22+52×20.22−20.22 = 20.22×(49+52−1) = 20.22×100=2022；​ (3) 5×34+4×34+9×32 = ​ 5×34+4×34+32×32 = 34×(5+4+1)= 81×10 = 810​. 21 典例解析 例3 把8a3b2 + 12ab3c分解因式. 分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___； a的最低指数___，b的最低指数___；公因式是_____. 解：8a3b2+12ab3c = 4ab2·2a2+4ab2·3bc = 4ab2(2a2+3bc) 4 a b 1 2 4ab2 一般地，当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数最低 的. 22 典例解析 例4 把下列各式分解因式： (1) 2a(b+c) - 3(b+c)； (2) 4(a-b)3+8(b-a)2. 提公因式法步骤（分两步） 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，将多项式化为两个因式的乘积.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.可用整式乘法来检验因式分解是否正确. 23 典例解析 例4 把下列各式分解因式： (1) 2a(b+c) - 3(b+c)； (2) 4(a-b)3+8(b-a)2. 解：(1) 2a(b+c)-3(b+c) = (b+c)(2a-3) (2) 4(a-b)3+8(b-a)2 = 4(a-b)2 · (a-b) +4(b-a)2 ·2 = 4(a-b)2 (a-b+2) . 分析：在(1)中，b+c是2a(b+c)和-3(b+c)的公因式，可以用提公因式法分解因式； 在(2)中，因为(b-a)2 = (a-b)2，所以各项含有公因式4(a-b)2，也可以用提公因式法分解因式. 24 课堂练习 1. 分解因式： （1）8m2n+2mn： 公因式为2mn，分解得2mn(4m+1). （2）4a2b+10ab−ab2： 公因式为ab，分解得ab(4a+10−b). （3）p(a2+b2)−q(a2+b2)： 公因式为(a2+b2)，分解得(a2+b2)(p−q). （4）2a(y−z)3−4b(z−y)3： 将(z−y)3转化为−(y−z)3 ，公因式为2 (y−z)3 ，分解得2(y−z)3(a+2b). 25 课堂练习 2. 先分解因式，再求值： 4a2(x+7)−3(x+7)，其中a=−5，x=3. 解：对4a2(x+7)−3(x+7)分解因式，提取公因式(x+7)， 得到：(x+7)(4a2−3) 当a =−5，x =3时，代入可得： (x+7)(4a2−3) = (3+7)×[4×(−5)2−3]=10×97=970. 26 课程小结 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即： 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. pa+pb+pc p(a+b+c) 因式分解 整式乘法 27 课程小结 多项式各项都有一个公共的因式，这个因式叫做这个多项式各项 的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是 p. 正确找出多项式的公因式的步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2. 定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 28 课程小结 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. pa + pb + pc = p (a+b+c) 公因式p与(a+b+c)的乘积. 公因式 29 随堂演练 1.下列因式分解结果正确的是( ) A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xy) B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+ 2). C. -x²+xy-xz=-x(x+y-z) D.3b2+5ab+b=b(3a+5b) 2. 多项式4ab2+16a2b2-12a3b2c的公因式是( ) A.4ab2c B. ab2 C.4ab2 D.4a3b2c 3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m，n的值分别为( ) A.m=l，n=-2 B.m=-1， n=-2 C.m=2，n=-2 D.m=-2，n=-2 B C B 30 随堂演练 4. 把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b)，则另一个因式是( ) A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5 5. 计算32×2021+42×2021+72×2021的结果为( ) A.2021 B.20210 C.202100 D.2021000 6. 相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则a2b+ab2的值为( ) A. 480 B.240 C.120 D.100 A C B 31 随堂演练 7. 一个两位数，将它的十位数字与个位数字对换，这两个两位数的和一定被 整除. 8. 已知方程3x-y=5，则代数式-6x+2y的值是 . 9. 已知ab=-7，a+b=2，则多项式a2b+ab2+2021的值为 . 10. 若x2+x-2=0，则x3+2x2-x+2016 等于 . 11 -10 2017 2018 32 随堂演练 11. 因式分解： (2) (2x+1)(3x-2)-(2x+ 1)2. 解：(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2 = (2x+1)(3x-2-2x-1) = (2x+1)(x-3) (1) 4a(x-y)-2b(y-x)； 解：4a(x-y)-2b(y-x) = 4a(x-y)+ 2b(x-y) = 2(x-y)(2a+b). 33 随堂演练 12. 已知6x-3y-1=0，xy = 2，求2x4y3-x3y4的值. 解：∵ 6x-3y-1=0，xy = 2， ∴ 2x-y = ， ∴ 当2x-y = ，xy =2时， 原式 = (xy)3 ·(2x-y) =23 × = . 34 随堂演练 13．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3 (1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次. (2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是_______. (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数)的结果是 . 提公因式法 2 2004 (x+1)2005 (x+1)n+1 35 第十七章 因式分解 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 17.1 用提公因式法分解因式 36 $