第17章 因式分解【章末复习】课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了因式分解的定义、与整式乘法的互逆关系及提公因式法、公式法等核心方法，通过知识结构图和核心公式梳理，将知识点串联成逻辑网络，帮助学生构建完整的因式分解知识体系。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础判断、直接分解到提升的整体换元、综合复杂分解，结合易错总结培养学生的抽象能力和运算能力。这种设计让学生逐步掌握分解技巧，教师也能精准定位薄弱点，提升复习效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十七章 因式分解 章末复习 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/21 17.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解 专项练习 一、核心知识点梳理 运用完全平方公式因式分解，是完全平方整式乘法公式的逆向变形，是本章核心因式分解方法之一，承接提公因式法、平方差公式因式分解，主要用于分解二次三项式，为后续一元二次方程求解、代数式化简奠定基础。因式分解核心原则依旧为先提公因式，再套公式，分解务必彻底。 完全平方因式分解两组核心公式：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$、$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$。完全平方式结构特征：多项式为二次三项式；首尾两项为平方形式且符号为正；中间项为首尾两项平方根乘积的2倍，符号可正可负。专属口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，同号平方和，异号平方差。 公式中的$$a$$、$$b$$可代表数字、单项式或多项式整体。解题关键：精准识别首尾平方项，验算中间交叉项，杜绝混淆平方差与完全平方结构，避免漏项、错算系数的典型问题。 二、基础专项练习题 1. 判断题（是完全平方式打√，不是打×） （1）$$x^2+4x+4$$（） （2）$$a^2-2ab-b^2$$（） （3）$$4m^2-12m+9$$（） （4）$$x^2+2x+1$$（） 2. 直接利用完全平方公式分解因式 （1）$$x^2+6x+9$$ （2）$$a^2-10a+25$$ （3）$$9x^2-6x+1$$ 3. 先提公因式再套公式分解 （1）$$2x^2-12x+18$$ （2）$$3a^2+12ab+12b^2$$ 三、提升专项练习题 1. 整体型完全平方分解 （1）$$(x+y)^2-4(x+y)+4$$ （2）$$(a-b)^2+6(a-b)+9$$ 2. 综合复杂因式分解 （1）$$-x^2+4xy-4y^2$$ （2）$$x^4-2x^2+1$$ 3. 化简求值 先因式分解化简代数式$$a^2-4ab+4b^2$$，再代入$$a=5，b=2$$求值。 四、参考答案与详细解析 1. 判断题解析 （1）√，符合完全平方和结构；（2）×，尾项符号为负，不满足完全平方式要求；（3）√，首尾平方、中间为两倍乘积；（4）√，标准完全平方式。 2. 基础公式分解解析 （1）原式$$=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2$$；（2）原式$$=a^2-2\cdot a\cdot5+5^2=(a-5)^2$$；（3）原式$$=(3x)^2-2\cdot3x\cdot1+1^2=(3x-1)^2$$。 3. 先提公因式再套公式解析 （1）原式$$=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$$；（2）原式$$=3(a^2+4ab+4b^2)=3(a+2b)^2$$。因式分解必须先提尽公因式，再套用完全平方公式，保证分解彻底。 提升题解析 1. 整体换元分解：（1）将$$x+y$$看作整体，原式$$=(x+y-2)^2$$；（2）将$$a-b$$看作整体，原式$$=(a-b+3)^2$$。 2. 综合复杂分解：（1）首项为负，先提取负号，原式$$=-(x^2-4xy+4y^2)=-(x-2y)^2$$；（2）原式$$=(x^2-1)^2=(x+1)^2(x-1)^2$$，二次分解，分解到不能再分解为止。 3. 化简求值：原式$$=(a-2b)^2$$，代入$$a=5，b=2$$，得$$(5-4)^2=1$$。 五、本节易错总结 1. 误将首尾异号、一正一负的三项式当成完全平方式，混淆结构；2. 计算中间两倍项时漏乘2，是本节课最高频错误；3. 首项为负时未先提取负号，导致公式套用混乱；4. 有公因式不先提取，分解不彻底；5. 高次完全平方式只分解一次，未持续分解至最简整式。 情境导入 知识结构 因式分解 整式乘法 学习目标 2 知识结构图 整式的乘法 乘法公式 (a + b)(a－b) = a2－b2 (a±b)2= a2±2ab + b2 相反变形 因式分解 相反变形 特殊 形式 ①提公因式法 ②公式法 因式分解 把一个多项式化为几个______的____的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 1. 因式分解的定义 整式 积 整式的乘法 因式分解 2. 因式分解的方法 (1) 提公因式法： (2) 公式法 ① 平方差公式： ② 完全平方公式： pa + pb + pc = p( a + b + c ) a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2±2ab + b2 = (a±b)2 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = ( a + 2 )( a - 2 ) + 3a； (2) ( a + 2 )( a - 5 ) = a2 - 3a - 10； (3) x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2； (4) 3x2 - 2xy + x = x( 3x - 2y )2. 不是 不是 是 不是 不是积的形式 是整式乘法 不是恒等变形 考点讲练 考点二 提公因式法因式分解 例2 分解因式： (1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b + c) - 3(b + c)； (3) (a + b)(a - b) - a - b. 解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2 + 3bc). (2) 原式 ＝ (b + c)(2a - 3). (3) 原式 ＝ (a + b)(a - b - 1)． 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91)＝13×20＝260. (2) 29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14 ＝20.22×(29＋72＋13－14)＝2022. 考点四 平方差公式因式分解 例4 分解因式： (1) ( a ＋ b )2 － 4a2； (2) 9( m ＋ n )2 － ( m － n )2. 解：(1) 原式 ＝ ( a ＋ b ＋ 2a )( a＋b－2a ) ＝ ( 3a＋b )( b －a ). (2) 原式 ＝ ( 3m ＋ 3n ＋ m － n )( 3m ＋ 3n － m ＋ n) ＝ ( 4m ＋ 2n )( 2m ＋ 4n ) ＝ 4( 2m ＋ n )( m ＋ 2n ). 考点五 完全平方公式因式分解 例5 因式分解： (1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2)( a2 + 4 )2 - 16a2. 解：(1) 原式 ＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 ) ＝ - 3a2( x - 4 )2. (2) 原式 ＝ ( a2 + 4 )2 - ( 4a )2 ＝ (a2 + 4 + 4a)( a2 + 4 - 4a ) ＝ ( a + 2 )2( a - 2 )2. 核心考点巩固 考点1 因式分解的基本概念 1.下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2.多项式与多项式 的公因式为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 12 3.对于下列两个自左向右的变形： 甲： ； 乙： . 下列说法正确的是( ) B A.甲、乙均是因式分解 B.甲、乙均不是因式分解 C.甲是因式分解，乙是整式乘法 D.甲是整式乘法，乙是因式分解 返回 举一反三 13 4.若可以分解为，则 的值为( ) D A. B.1 C. D.0 返回 举一反三 14 考点2 因式分解的方法 5.把 分解因式时，提出公因式后，另一个因式是 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 15 6.［2025廊坊月考］把 分解因式，正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 16 7.［2025保定期末］若多项式 在有理数范围内能利用平方差公 式进行因式分解，则 的值不可能是( ) B A.1 B.5 C.9 D.16 返回 举一反三 17 8.对分解因式，嘉嘉的结果为 ；琪琪的结果为 ，下列判断正确的是( ) A A.只有嘉嘉的结果对 B.只有琪琪的结果对 C.两人的结果都对 D.两人的结果都不对 返回 举一反三 18 9.分解因式： ________________. 返回 举一反三 19 10.已知多项式 . （1）当时，分解因式： _________； （2）若可以用完全平方公式进行因式分解，则 的值是____. 返回 举一反三 20 11.把下列各式分解因式. （1） ； 解：原式 . 举一反三 21 （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 举一反三 （4） ； 解：原式 . （5） ； 解：原式 . （6） . 解：令 , 则原式 将代入，得原式 . 返回 举一反三 23 考点3 因式分解的应用 12.已知，则 的值是( ) C A.2 B.6 C.4 D.8 返回 举一反三 24 13.对于任意自然数，关于代数式 的值，下列说法 错误的是( ) D A.总能被3整除 B.总能被4整除 C.总能被6整除 D.总能被7整除 返回 举一反三 25 （第14题） 14.如图，某养鸡场老板准备用 的篱笆围成 一个长和宽分别为， 的长方形场地，已 知 ，则这个长方形场地的面 积为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 26 15.若，则 的值为( ) B A.2 025 B.2 031 C.2 026 D.2 018 返回 举一反三 27 16.如图是由六块纸板拼成的一块大长方形纸板，其中一块是边长为 的 大正方形，两块是边长为的小正方形，三块是长为、宽为 的小长方 形.观察图形，发现多项式 可分解为___________ ______. （第16题） 返回 举一反三 28 17.计算： . 解：原式 . 返回 举一反三 29 谢谢观看 THANKS $