17.2.1用公式法分解因式 第一课时 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方差公式因式分解，课堂导入先回顾整式乘法平方差公式，通过填一填练习和正方形面积推导，搭建从乘法到因式分解的逆向思维支架，连接旧知与新知。 其亮点在于借助几何直观（正方形面积推导公式）培养数学眼光，通过整体代换（如例2分解(x+p)²-(x+q)²）和分解彻底性训练发展推理意识，实际应用（如例4简化计算、例5整除证明）体现模型与应用意识。采用类比与逆向思维教学，小结明确分解步骤，帮助学生提升思维与应用能力，为教师提供系统案例与分层练习。

第十七章 因式分解 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 17.2 用公式法分解因式 第一课时 1 学习目标 1. 理解平方差公式因式分解的原理，掌握平方差公式的形式，能熟练运用平方差公式对符合条件的多项式进行因式分解. 2. 通过观察、类比整式乘法的平方差公式，经历因式分解平方差公式的推导过程，培养学生的逆向思维能力和类比推理能力. 3. 体会数学知识的内在联系，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生主动探究的学习习惯. 2 课程导入 平方差公式 (a+b) (a-b) = a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2 填一填： (1) (x+5)(x-5)=__________. (2) (3x+y)(-y+3x)=_________. (3) (-3a+1)(-1-3a)=_________. x2-25 9x2-y2 9a2-1 3 课程导入 如图，一块边长为a的正方形，在一角剪去一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是多少？ a a2－b2 ＝ b (a-b) (a+b) (a+b) (a－b) 4 新知探究 思考 多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ a2 － b2 两个数的平方差形式 ＝ (a+b) (a－b) (a+b) (a－b) a2 － b2 ＝ 整式乘法 因式分解 5 新知探究 平方差公式分解因式 a2-b2 =(a+b) (a-b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： (1)一个二项式. (2)每项都可以化成整式的平方. (3)整体来看是两个整式的平方差. 6 典例解析 （1）4x2−9； 分析：4x2=(2x)2，9=32，符合平方差公式的形式a2−b2，其中a=2x，b=3. 解：4x2−9 = (2x)2−32 = (2x+3)(2x−3) 例1 分解因式： 7 典例解析 （2）a2 −25b2. 分析：25b2 = (5b)2，符合平方差公式形式，其中a = a，b = 5b. 解：a2 − 25b2 = a2 − (5b)2 = (a+5b) (a−5b). 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 8 典例解析 例2 分解因式： （1）x2−y4； 分析：y4=(y2)2，先将其转化为平方差形式x2−(y2)2，分解后得到(x+y2)(x−y2)，且x−y2和x+y2不能再分解，保证因式分解的彻底性. 解：x2 − y4 = x2−(y2)2 = (x+y2)(x−y2)； 9 典例解析 （2）(x+p)2−(x+q)2. 分析：把x+p和x+q看作整体，设x+p=a，x+q=b，则原式变为a2−b2，再运用平方差公式分解因式. 解：(x+p)2−(x+q)2 = [(x+p)+(x+q)][(x+p)−(x+q)] = (2x+p+q) (p−q). 10 方法归纳 注意： (1) 若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解； (2) 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式，注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止. 11 针对练习 分解因式： (1) x4－y4； (2) a3b－ab. 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止. 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. ＝(x2)2–(y2)2 ＝(x2+y2)(x2–y2) ＝(x2+y2)(x+y)(x–y)； ＝ab(a2–1) ＝ab(a+1)(a–1). 12 典例解析 例3 已知 x2–y2＝–2，x+y＝1，求x–y，x，y的值． 解：∵x2–y2＝(x+y)(x–y)＝–2， x+y ＝1 ①， ∴ x–y ＝ –2 ②. 联立①②组成二元一次方程组， 解得： 在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 13 典例解析 例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4－46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400； (2)原式＝4×(53.52－46.52) =4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 14 典例解析 例5 求证：当n为整数时，多项式 (3n+2)² – (3n–2)² 一定能被12整除. 证明：原式=[(3n+2)+(3n-2)][(3n+2)-(3n-2)] = 6n·4= 24n， ∵ n为整数， ∴ 24n被12整除， 即多项式(3n+2)² – (3n–2)²一定能被12整除． 解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 15 课堂练习 1. 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ (1) x2+y2 ( )____________________； (2) x2-y2 ( )____________________； (3) -x2+y2 ( )____________________； (4) -x2-y2 ( )____________________. 不能 能 能 不能 这是平方和 x2-y2=(x+y)(x-y) -x2+y2=(y+x)(y-x) 这是平方和的相反数 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：( )2-( )2的形式. 简单说成“两数是平方，减号在中央.” 16 课堂练习  2. 分解因式： (2) 49n2−1 = (7n)2−12 = (7n+1)(7n−1) (4) 81a2−16b4 = (9a)2−(4b2)2 = (9a+4b2)(9a−4b2) (1) 36−m2 = 62−m2 = (6+m)(6−m) (3) a2−​b2 = a2− (​ b)2 = (a + ​b)(a − ​b) 17 课堂练习 (5) 4b2−(b+c)2 =(2b)2 − (b+c)2 =[2b+(b+c)][2b−(b+c)] =(3b+c)(b−c) (6) (m+2n)2−(m−2n)2 =[(m+2n)+(m−2n)][(m+2n)−(m−2n)] =(2m)(4n) =8mn 18 课程小结 平方差公式分解因式 a2-b2 =(a+b) (a-b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 因式分解的关键是先观察多项式结构，优先考虑提取公因式，再判断是否符合平方差公式（或其他公式），同时要注意分解彻底，直到每个因式不能再分解为止. 19 随堂演练 1．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（  ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 2．分解因式的结果为（  ） A． B． C． D． 3．已知，那么的值为（  ） A．5 B．4 C．9 D．20 C D D 20 随堂演练 4. 当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（  ） A． B． C． D． 5. 因式分解：__________________． 6. 分解因式：_______________． 7. 若_____. 8. 若，则______． 9. 若a、b、c分别是三角形的3条边的长，请判断代数式的值_______0（填“大于”、“小于”或“等于”） D (7x+3y)(3x+7y) －10 -2 小于 (2m+3)(2m-3) 21 随堂演练 10．因式分解． (1) ； (2)； (3) (4)． 解：(1) 16x2−81y2 ​= (4x)2−(9y)2 = (4x+9y)(4x−9y)​； (2) 3m2−27​ = 3(m2−9) = 3(m2−32) = 3(m+3)(m−3)； (3) a2(x−y)+4(y−x) ​= a2(x−y)−4(x−y) = (x−y)(a2−4) = (x−y)(a−2)(a+2)​； (4) (3a−2b)2−(2a+3b)2 ​= (3a−2b+2a+3b)(3a−2b−2a − 3b) = (5a+b)(a−5b).​ 22 随堂演练 11．计算：12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + · · · + 992 - 1002. 解：原式 = (1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+ · · ·+(99-100)(99+100) = －(1+2+3+ · · · +99+100) = － 101 ×50 = － 5050. 23 随堂演练 12.(1) 观察下列式子的因式分解做法： ① x2-1 = ； ② x3-1 = x3-x+x-1=x(x2-1)+(x-1)=(x-1)(x2+x+1) ③ x4-1 = x4-x+x-1=x(x3-1)+(x-1)=(x-1)(x3+x2+x+1) ...... (2)模仿以上做法，尝试对x5-1进行因式分解； (3)观察以上结果，猜想 xn-1 = ；（n为正整数，直接写结果，不用验证） (4)根据以上结论，试求75+74+73+72+7+1的值． (x+1)(x-1) 24 随堂演练 (2)模仿以上做法，尝试对x5-1进行因式分解； 解：x5-1 = x5-x+x-1 = x(x4-1)+x-1 = x(x-1)(x3+x2+x+1)+(x-1) = (x-1)[x(x3+x2+x+1)+1] = (x-1)(x4+x3+x2+x+1)； 25 随堂演练 (3)观察以上结果，猜想 xn-1 = ；（n为正整数，直接写结果，不用验证） (4)根据以上结论，试求75+74+73+72+7+1的值． (3) xn - 1 = (x-1) (xn-1 + xn-2 + ... + x2 + x + 1)； (4) 75+74+73+72+7+1 = (7-1)(75+74+73+72+7+1) × = (76-1) × = . 26 第十七章 因式分解 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 17.2 用公式法分解因式 第一课时 27 $