17.2.1用平方差公式分解因式 课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式因式分解，系统梳理公式本质、适用条件及“先提公因式再套公式”的解题步骤。通过图形变换（正方形剪拼）和情境问题（99²-1是否为100倍数）导入，衔接整式乘法逆向思维，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以抽象能力（整体看作a、b）、推理意识（严格条件判断）和模型意识（基础型、整体型等四类模型）为核心，结合高频易错点分析与中考链接题，如分解(2x-1)²-(x+2)²培养综合应用能力。学生能夯实分解技能，教师可借助分层练习提升教学效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 17.2.1用平方差公式分解因式 第十七章 因式分解 17.2.1 用平方差公式分解因式 练习题 一、核心知识点（必考） 1. 平方差公式（因式分解版） 公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 口诀：平方差，分解俩，一加一减分上下 本质：乘法公式逆用 2. 公式严格适用条件（重中之重） 多项式必须同时满足三个条件： ① 只有两项； ② 两项符号一正一负（异号）； ③ 两项都能写成平方形式。 不满足直接pass，不能用平方差！ 3. 谁是a、谁是b？ a：前面正的平方项 b：后面负的平方项 例：$$x^2-16=x^2-4^2=(x+4)(x-4)$$ 例：$$9m^2-25n^2=(3m)^2-(5n)^2=(3m+5n)(3m-5n)$$ 二、标准解题步骤 ① 先提公因式（因式分解铁律：有公必先提）； ② 判结构：两项、异号、都是平方； ③ 找a和b：写成平方形式； ④ 套公式：(a+b)(a-b)； ⑤ 查彻底：括号内不能再分解。 三、常见可分解模型 1. 基础型（直接平方差） $$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$$ 2. 系数平方型 $$4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x+5)(2x-5)$$ 3. 整体平方差（难点、必考） 把括号整体看作一个字母： $$(x+1)^2-9^2=[(x+1)+9][(x+1)-9]=(x+10)(x-8)$$ 4. 先提后差（考试最爱考） $$2x^2-50=2(x^2-25)=2(x+5)(x-5)$$ 四、高频易错点（扣分重灾区） 1. 两项同号不能分解：$$x^2+16$$不能用平方差！ 2. 没提干净公因式直接套公式，分解不彻底扣分； 3. 分不清谁是平方：$$3x^2$$不是平方，$$(3x)^2$$才是平方； 4. 整体平方差漏括号：整体因式加减常数必须加括号化简； 5. 分解不彻底：最后结果一定要检查能否再分解。 五、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式能用平方差公式分解的是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2-5$$ C. $$-x^2+9$$ D. $$x^2-2x$$ 2. 分解因式$$x^2-36$$正确的是（） A. $$(x-6)^2$$ B. $$(x+6)(x-6)$$ C. $$(x+36)(x-36)$$ D. $$x(x-36)$$ 3. $$4a^2-1$$分解结果是（） A. $$(4a+1)(4a-1)$$ B. $$(2a-1)^2$$ C.$$(2a+1)(2a-1)$$ D. $$2(a+1)(a-1)$$ 4. 分解$$(x+y)^2-16$$的结果是（） A. $$(x+y+4)(x+y-4)$$ B. $$(x+y-4)^2$$ C. $$(x+4)(y-4)$$ D. $$(x+y+16)(x+y-16)$$ 5. 下列分解正确的是（） A. $$x^2-1=(x-1)^2$$ B. $$9-x^2=(3-x)(3+x)$$ C. $$4x^2-4=4(x^2)$$ D. $$x^2-25=(x-5)^2$$ 六、填空题（每题4分，共20分） 1. 平方差公式分解：$$a^2-b^2=$$________。 2. $$x^2-100=$$________。 3. $$25x^2-4y^2=$$________。 4. $$-m^2+n^2=$$________。 5. $$3a^2-48=$$________。 七、解答题（共60分） 1.（15分）分解因式：$$16x^2-9y^2$$ 2.（15分）分解因式：$$5m^2-20$$ 3.（15分）整体平方差：$$(2x-1)^2-(x+2)^2$$ 4.（15分）综合题型：$$4(x-y)^2-9(x+y)^2$$ 八、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. C 解析：异号两项平方，$$-x^2+9=9-x^2=3^2-x^2$$，满足平方差条件。 2. B 解析：$$x^2-6^2=(x+6)(x-6)$$。 3. C 解析：$$(2a)^2-1^2=(2a+1)(2a-1)$$。 4. A 解析：把$$x+y$$看作整体，原式$$=(x+y)^2-4^2$$。 5. B 解析：A、D混淆完全平方与平方差；C分解错误且不彻底。 （二）填空题 1. $$(a+b)(a-b)$$ 2. $$(x+10)(x-10)$$ 3. $$(5x+2y)(5x-2y)$$ 4. $$(n+m)(n-m)$$ 5. $$3(a+4)(a-4)$$ （三）解答题 1. 解：原式$$=(4x)^2-(3y)^2$$ $$=(4x+3y)(4x-3y)$$ 2. 解：原式$$=5(m^2-4)$$ $$=5(m+2)(m-2)$$ 解析：先提公因式，再套平方差。 3. 解：原式$$=[(2x-1)+(x+2)][(2x-1)-(x+2)]$$ $$=(3x+1)(x-3)$$ 解析：整体a、b为多项式，展开化简括号。 4. 解：原式$$=[2(x-y)]^2-[3(x+y)]^2$$ $$=[2(x-y)+3(x+y)][2(x-y)-3(x+y)]$$ $$=(5x+y)(-x-5y)$$ $$=-(5x+y)(x+5y)$$ 解析：最后整理负号，结果规范化。 九、本节满分总结 1. 平方差公式只认两项、异号、全平方； 2. 做题顺序：先提公因式，再套公式； 3. 可以把括号、式子、整体当作a、b； 4. 结果必须最简、无括号可再分解、负号前置。 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想． 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解． 会利用平方差公式对多项式进行因式分解. a米 b米 b米 a米 (a–b) 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ a2-b2=(a+b)(a-b) 导入新知 情境导入 你能一眼看出 992 – 1 是不是 100 的倍数吗？ 你能想到我们学过的什么内容？ 探究新知 计算： （1）(x + 5)(x – 5) = ________； （2）(3x + y)(3x – y) = _________； （3）(3m + 2n)(3m – 2n) = ___________. x2 – 25 9x2 – y2 9m2 – 4n2 分解因式： （1）x2 – 25 = _______________； （2）9x2 – y2 = _______________； （3）9m2 – 4n2 = ___________________. (x + 5)(x – 5) (3x + y)(3x – y) (3m + 2n)(3m – 2n) 你发现了什么？ 多项式 a2 – b2 有什么特点？ 思考 你能将它分解因式吗？ 是两个数的平方差的形式. 整式乘法 因式分解 (a + b)(a – b) = a2 – b2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 6 例1　分解因式：　 (1) 4x2 – 9； (2) a2 – 25b2 . 解：(1) 4x2 – 9 = (2x)2 – 32 分析：(1) a = ____，b = _____ (2) a = ____，b = _____ 2x a (2) a2 – 25b2 = a2 – (5b)2 = (a + 5b)(a – 5b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) 3 5b = (2x + 3)(2x – 3) 例2　分解因式：　 解：(1) x2 – y4 = (x)2 – (y2)2 分析：(1) a = ____，b = _____ (2) a = ____，b = _____ x x + p (2) (x + p)2 – (x + q)2 = [(x + p) + (x + q)][(x + p) – (x + q)] = (2x + p + q)(p – q) y2 x + q = (x + y2)(x – y2) 整体思想 (1) x2 – y4； (2) (x + p)2 – (x + q)2 . 利用平方差公式分解因式，应注意： 1. 公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即 a），另一项互为相反数（即 b 和 –b）. 2. 公式左边是这两项的平方差. 3. 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式. a2 – b2 = (a + b)(a – b) 若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式 a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状. 解：∵a2–2bc=c2–2ab， ∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0. ∴(a–c)(a+c+2b)=0. ∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c， ∴这个三角形是等腰三角形. 巩固练习 分析：已知等式变形后，利用提公因式法和平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状. 随堂练习 1. 分解因式：x2-4=　 　． 2. 若a2–b2=12，且a-b=﹣2，则a+b的值为　 　． 解析：∵a2–b2=12，∴(a+b)(a-b)=12. ∵a-b=﹣2，∴-2(a+b)=12. 解得(a+b)=-6 ﹣6 链接中考 (x+2)(x-2) 随堂练习 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mn C．–x2–y2 D．–x2＋9 D 2. 将多项式x–x3因式分解正确的是(　　) A．x(x2–1) B．x(1–x2) C．x(x+1)(x–1) D．x(1+x)(1–x) D 3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(　　) A．–21 B．21 C．–10 D．10 A 课堂检测 基础巩固题 随堂练习 4.把下列各式分解因式： (1)16a2–9b2=_________________; (2)(a+b)2–(a–b)2=_________________; (3) 因式分解：2x2–8=_________________; (4) –a4+16=_________________. (4a+3b)(4a–3b) 4ab (4+a2)(2+a)(2–a) 5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________. 4 2(x+2)(x–2) 课堂检测 随堂练习 1. 已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值． 原式= – 40×5= –200． 解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n) =(4m+n)(3n – 2m) = –(4m+n)(2m – 3n)， 当4m+n=40，2m–3n=5时， 能力提升题 课堂检测 随堂练习 2.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积． 解：根据题意，得 6.82–4×1.62 ＝6.82– (2×1.6)2 ＝6.82–3.22 ＝(6.8＋3.2)×(6.8 – 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2) 答：剩余部分的面积为36 cm2. 课堂检测 随堂练习 15 (1)992–1能否被100整除吗？ 解：(1)因为 992–1=(99+1)×(99–1)=100×98， 所以，(2n+1)2–25能被4整除. (2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？ 所以992–1能被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5) =(2n+6)(2n–4) =2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2). 拓广探索题 课堂检测 随堂练习 1. 母题教材P128例1 分解因式： ( ) A A. B. C. D. 2. 将“ ？”因式分解得到 ，则“？”是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 17 3. 课堂上老师在黑板上布置了以下题目： 用平方差公式分解因式： （1）； （2） ； （3）； （4） . 涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( ) B A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 返回 考试考法 18 4. 下列分解因式错误的是( ) D A. B. C. D. 5.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形 的长为_______. 6.若，，则 的值为___. 4 返回 考试考法 19 7.母题教材P129练习 分解因式： （1） ; 【解】 . （2） . . 考试考法 20 （3） . . 返回 考试考法 课堂小结 利用平方差公式分解因式： a2 – b2 = (a + b)(a – b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. * 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式 $