专题2.2 有理数的乘法与除法 专题训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为主线，系统覆盖有理数乘除9类题型，注重从基础运算到综合应用的层级递进，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两个有理数乘法|多题递进|基础运算，含符号法则|概念引入，奠定运算基础| |多个有理数乘法|多题变式|符号判断与数值计算|深化乘法法则，培养运算能力| |倒数|选择辨析|概念理解与辨析|连接乘除的桥梁，强化概念认知| |乘法运算律|判断与计算|运算律应用与简便计算|提升运算效率，培养推理意识| |除法运算|基础计算|除法法则与转化|除法转化为乘法，完善运算体系| |乘除混合|综合运算|运算顺序与符号处理|整合乘除法则，强化运算逻辑| |乘除简便运算|技巧应用|凑整与分配律运用|优化运算过程，发展数学思维| |四则混合运算|多层级计算|运算顺序与步骤规范|综合法则应用，提升综合能力| |实际应用|生活情境题|数据处理与模型构建|体现数学语言，培养应用意识|

专题2.2 有理数的乘法与除法（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型·1…两个有理数的乘法运算 1 题型·2·多个有理数的乘法运算 4 题型·3·倒数 8 题型·4·有理数乘法运算律 9 题型·5·有理数的除法运算 13 题型·6·有理数乘除混合运算 15 题型·7·有理数乘除中的简便运算 17 题型·8·有理数四则混合运算 19 题型·9·有理数四则混合运算的实际应用 24 题型·1…两个有理数的乘法运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘法法则逐个计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)60 (2) (3)2 (4)0 (5) (6)1 【分析】（1）同号相乘，结果为正，并把绝对值相乘； （2）异号相乘，结果为负，并把绝对值相乘； （3）先把带分数化成假分数再去计算结果； （4）任何数与0相乘结果仍为0； （5）异号相乘，结果为负，并把绝对值相乘； （6）互为倒数的两数相乘结果是1． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 题型·2·多个有理数的乘法运算 5．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数乘法法则先确定乘积符号，再计算绝对值，混合运算按照先算乘法再算减法的顺序计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据有理数的乘法规则，多个有理数相乘，先确定乘积符号，再利用乘法交换律、结合律简化计算，最后计算绝对值得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．计算． 【答案】46 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算括号里的加法，将原式转化为分数的连乘形式，再通过约分进行化简计算即可． 【详解】解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型·3·倒数 10．下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可； 【详解】解：； 11．的倒数是（   ） A． B．0.2 C．5 D． 【答案】A 【详解】解：，则的倒数为． 12．若a的倒数是，那么a是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义计算a的值即可得到答案． 【详解】解：∵a的倒数是， ∴． 13．下面（   ）组中的两个数互为倒数 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，计算各选项中两个数的乘积即可做出判断． 【详解】解：∵ 乘积为1的两个数互为倒数， ∴ 对各选项计算如下： 选项A：，不互为倒数； 选项B：，互为倒数； 选项C：，不互为倒数； 选项D：，不互为倒数． 故选：B． 14．下面（    ）组中的两个数互为倒数． A．和 B．和 C．1.5和 【答案】B 【分析】此题考查了倒数的定义，根据倒数的定义进行解答即可． 根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，计算各选项的乘积即可判断． 【详解】解：∵ 倒数的定义：两数乘积为1则互为倒数． 对于A：，不互为倒数； 对于B：，互为倒数； 对于C：，不互为倒数． 故选：B． 题型·4·有理数乘法运算律 15．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 16．在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 17．张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法运算律（结合律、分配律）的灵活应用，熟练掌握运算律对算式进行等价变形是解题的关键． 将原式通过运算律（乘法结合律、分配律）变形，避开数字“9”，逐一验证选项是否与原式等价． 【详解】解：原式：， 选项A：， ； 选项B：， ； 选项C：， ； 选项D：，， ； 故选：B． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的四则运算法则，算式中有括号要先计算括号里面的值，再计算括号外面的乘法的值，即可得到答案． （2）根据有理数的四则运算法则，算式中有括号要先计算括号里面的值，再计算括号外面的乘法的值，即可得到答案． （3）式子中数字较大，将改写成，再根据有理数的乘法运算律进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 19．简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．简算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（含逆运算）是解题的关键． （1）将998转化为，利用乘法分配律简化计算； （2）提取公因数23，利用乘法分配律的逆运算，先计算括号内的分数运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律： （1）利用乘法分配律计算，即可求解； （2）利用乘法分配律计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 题型·5·有理数的除法运算 22．计算：___________． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，再根据分数除法法则计算，约分后得到结果． 【详解】解：原式 23．计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 24．如果是有理数，且，那么的值为___________． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的性质与分类讨论思想，解题的关键是根据、的正负性分情况计算． 根据、的正负性（同正、同负、一正一负）分类讨论，结合绝对值的性质计算式子的值． 【详解】解：因为，所以且， 分以下四种情况讨论： ①当时， ， 原式； ②当时， ， 原式； ③当时， ， 原式； ④当时， ， 原式， 综上，式子的值为3或． 故答案为：3或． 题型·6·有理数乘除混合运算 25．计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可﹒ 【详解】解：﹒ 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 27．计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】解：． 28．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 29．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （4）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 题型·7·有理数乘除中的简便运算 30．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 31．用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 32．计算 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 题型·8·有理数四则混合运算 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的四则运算，注意运算顺序，先算乘除，再算加减，有括号的要先算括号里的． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 34．计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 35．计算： (1)； (2) 【答案】(1)1.6 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．计算下面各题，能简算的要用简便方法计算并写出计算过程． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先计算小括号，再根据有理数的除法，进行计算，即可； （2）把化简为，再根据有理数的加减，进行计算，即可； （3）先化除为乘，再根据有理数的乘法运算，即可； （4）根据有理数的乘法，进行简便计算，即可； （5）先计算小括号，化除为乘，然后根据有理数的乘法，计算； （6）应先计算小括号内的加法，再计算中括号内的除法，最后计算括号外的乘法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 题型·9·有理数四则混合运算的实际应用 38．蒲城水盆羊肉是蒲城县的传统名吃．某小吃店计划每天卖出100碗水盆羊肉，但由于各种原因，实际每天卖出的碗数与计划量相比有差异，超过100碗的部分记作正数，不足100碗的部分记作负数，该小吃店将连续10天卖出的水盆羊肉记录如下： 与计划量的差值（碗） 0 天数（天） 1 3 3 2 1 (1)这10天中，该小吃店最多一天卖出_____碗水盆羊肉，刚好卖出100碗的有_____天； (2)若该小吃店水盆羊肉的价格为30元/碗，求该小吃店这10天卖出水盆羊肉的总收入． 【答案】(1)105；3 (2)30030元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，直接得出答案即可； （2）根据表格先求出总碗数，然后根据30元/碗，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，这10天中，该小吃店最多一天卖出水盆羊肉的碗数为： （碗）， 刚好卖出100碗的有3天； （2）解： （碗）， （元）， 答：该小吃店这10天卖出水盆羊肉的总收入是30030元． 39．某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从地出发到收工时行走记录（单位：）：，，，，，，，，，，，求： (1)收工时检修小组在地的哪一边，距地多远． (2)若汽车耗油升/千米，开工时储存升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油． 【答案】(1)收工时在 地的东边，距 地 (2)需要，升 【分析】本题考查了有理数加减、乘法运算及绝对值的实际应用，关键是将实际问题转换成合适的运算； （1）将所给记录相加即可判断； （2）先求绝对值的和，再乘以每千米耗油量，即可判断，最后作差． 【详解】（1）根据题意可得：向东走为“”，向西走为“”； 则收工时距离为： ． 故收工时在地的东边，距地． （2）从地出发到收工时， 汽车共走了： ， 从地出发到收工时耗油量为（升）， 故到收工时中途需要加油，加油量为（升）． 40．某公司4天内货品进出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，． (1)经过这4天，仓库里的货品是增加了还是减少了？请计算说明． (2)经过这4天，仓库管理员结算时发现库里还存217吨货物，那么4天前仓库里存货多少吨？ (3)如果进出库的货品装卸费都是每吨15元，那么这4天要支付多少元装卸费？ 【答案】(1) 解： ， ∵ ∴经过这4天，仓库里的货品是减少了； (2)吨 (3)元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用． （1）将所给数据相加，判断正负即可； （2）结合（1）中结论，结算时库存的货物加上这4天减少的量即可求解； （3）所给数据的绝对值相加，乘以单价即可． 【详解】（1）略 （2）（吨， 答：4天前仓库里存货258吨； （3） （元， 答：这4天要支付多少元装卸费4155元． 41．近日市场上一种“果冻橙”比较畅销．现有8箱这种橙子，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数（单位：千克），称后的记录如图所示，回答下列问题． (1)第6箱橙子重8千克，应记为_____千克；最接近标准质量的是第_____箱；最重的一箱比最轻的一箱重多少？ (2)在（1）的条件下，求这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？ 【答案】(1)；4，最重的一箱比最轻的一箱重4.5千克 (2)这8箱“果冻橙”的总质量是74.5千克 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用． （1）根据正数和负数及绝对值的实际意义即可求得答案； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：第6箱橙子重8千克，（千克） 所以，应记为千克； ∵表中各数的绝对值分别为1．5，3，2，0.5，1，2，2，2.5， ∴最接近标准质量的是第4箱； （千克）， 即最重的一箱比最轻的一箱重5千克； 故答案为：；4； 最重的是第1箱，重量为（千克），最轻的是第2箱，重量为（千克）， 所以，最重的一箱比最轻的一箱重（千克） （2）解： （千克）， 即这8箱“果冻橙”的总质量是74.5千克． 42．气候变暖导致全球大部分地区极端强降水事件增多，由此引发的洪涝等灾害风险已倍受各界广泛关注．为揭示气候变暖背景下极端降水的变化规律，查阅山东省气象信息中心1961——2020年降水量资料发现，夏季出现极端降水次数最多． (1)若设定100次为标准次数，试完成表1： 地区 济南 潍坊 青岛 日照 淄博 菏泽 次数 100 96 102 95 88 与标准次数的差值 0 表1  1961——2020年极端降水出现次数 (2)极端降水出现次数最多的地区与最少的地区相差______次； (3)以上地区出现极端降水的平均次数是多少？ 【答案】(1)； (2)31 (3)100次 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数与负数，根据对相应的运算法则解题即可． （1）根据正数与负数的定义，结合题意进行求解即可； （2）根据表格中的数据找出最多与最少的次数相减即可； （3）根据平均数的求解方法进行运算即可． 【详解】（1）解∶ 日照的降水次数为∶ (次)， 潍坊的降水次数与标准次数为∶ (次)， 完成表一如下： 地区 济南 潍坊 青岛 日照 淄博 菏泽 次数 100 96 102 119 95 88 与标准次数的差值 0 （2）极端降水出现次数最多的地区与最少的地区相差∶ （3） 故平均次数为：， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 有理数的乘法与除法（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型·1…两个有理数的乘法运算 1 题型·2·多个有理数的乘法运算 2 题型·3·倒数 3 题型·4·有理数乘法运算律 4 题型·5·有理数的除法运算 5 题型·6·有理数乘除混合运算 5 题型·7·有理数乘除中的简便运算 6 题型·8·有理数四则混合运算 6 题型·9·有理数四则混合运算的实际应用 8 题型·1…两个有理数的乘法运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型·2·多个有理数的乘法运算 5．计算： (1)； (2) 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．计算． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型·3·倒数 10．下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 11．的倒数是（   ） A． B．0.2 C．5 D． 12．若a的倒数是，那么a是（   ） A． B． C． D． 13．下面（   ）组中的两个数互为倒数 A．和 B．和 C．和 D．和 14．下面（    ）组中的两个数互为倒数． A．和 B．和 C．1.5和 题型·4·有理数乘法运算律 15．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 16．在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 17．张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19．简便运算． (1)； (2)． 20．简算： (1) (2) 21．简便计算： (1)； (2)． 题型·5·有理数的除法运算 22．计算：___________． 23．计算： __________． 24．如果是有理数，且，那么的值为___________． 题型·6·有理数乘除混合运算 25．计算：． 26．计算： (1)； (2)． 27．计算：． 28．计算： (1)； (2)； (3)． 29．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型·7·有理数乘除中的简便运算 30．用简便方法计算： (1)； (2)． 31．用运算律简便运算 (1) (2) 32． 计算 题型·8·有理数四则混合运算 33．计算： (1)； (2)． 34．计算． (1) (2) (3) (4) 35．计算： (1)； (2) 36．计算： (1) (2) (3) (4) 37． 计算下面各题，能简算的要用简便方法计算并写出计算过程． (1) (2) (2) (4) (5) (6) 题型·9·有理数四则混合运算的实际应用 38．蒲城水盆羊肉是蒲城县的传统名吃．某小吃店计划每天卖出100碗水盆羊肉，但由于各种原因，实际每天卖出的碗数与计划量相比有差异，超过100碗的部分记作正数，不足100碗的部分记作负数，该小吃店将连续10天卖出的水盆羊肉记录如下： 与计划量的差值（碗） 0 天数（天） 1 3 3 2 1 (1)这10天中，该小吃店最多一天卖出_____碗水盆羊肉，刚好卖出100碗的有_____天； (2)若该小吃店水盆羊肉的价格为30元/碗，求该小吃店这10天卖出水盆羊肉的总收入． 39．某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从地出发到收工时行走记录（单位：）：，，，，，，，，，，，求： (1)收工时检修小组在地的哪一边，距地多远． (2)若汽车耗油升/千米，开工时储存升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油． 40．某公司4天内货品进出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，． (1)经过这4天，仓库里的货品是增加了还是减少了？请计算说明． (2)经过这4天，仓库管理员结算时发现库里还存217吨货物，那么4天前仓库里存货多少吨？ (3)如果进出库的货品装卸费都是每吨15元，那么这4天要支付多少元装卸费？ 41．近日市场上一种“果冻橙”比较畅销．现有8箱这种橙子，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数（单位：千克），称后的记录如图所示，回答下列问题． (1)第6箱橙子重8千克，应记为_____千克；最接近标准质量的是第_____箱；最重的一箱比最轻的一箱重多少？ (2)在（1）的条件下，求这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？ 42．气候变暖导致全球大部分地区极端强降水事件增多，由此引发的洪涝等灾害风险已倍受各界广泛关注．为揭示气候变暖背景下极端降水的变化规律，查阅山东省气象信息中心1961——2020年降水量资料发现，夏季出现极端降水次数最多． (1)若设定100次为标准次数，试完成表1： 地区 济南 潍坊 青岛 日照 淄博 菏泽 次数 100 96 102 95 88 与标准次数的差值 0 表1  1961——2020年极端降水出现次数 (2)极端降水出现次数最多的地区与最少的地区相差______次； (3)以上地区出现极端降水的平均次数是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $