广西柳州市柳州地区民族高级中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

2028届数学暑期状态回暖练习 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若从集合、中各取一个数、，则为整数的概率为（ ） A． B． C． D． 3．若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的侧面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（ ） A．3 B．5 C． D． 5．设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A．， B．， C．， D．，，， 7．记的内角，，所对的边分别为，，．若的面积为，且，则（ ） A． B． C． D． 8．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列命题为真命题的有（ ） A．的虚部为 B． C． D．若是关于的方程的一个根，则 10．下列命题中，正确的是（ ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 11．已知圆锥（是圆锥底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3．若，为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆锥的侧面积为 B．面积的最大值为 C．三棱锥体积的最大值为 D．圆锥的内切球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．高一年级有男生500人，女生400人，张华想估计高一学生的平均身高，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，抽取的样本容量为90，则在男生中需抽取_______人． 13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_______． 14．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知向量，． （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 16．（本小题满分15分）某校高一年级进行数学单元测试（满分120分），随机抽取了50名学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这50名学生成绩的中位数； （2）从这两组成绩中分别选2名和4名学生，再从这6名学生中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都在这组的概率． 17．（本小题满分15分）已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）若，，求的值． 18．（本小题满分17分）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且的面积为，求的周长 19．（本小题满分17分）如图所示正四棱台，其中，． （1）当时，求和平面所成角； （2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $