精品解析：广西南宁市第四中学五象凤凰校区高中部2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

南宁四中五象凤凰校区高中部2025年秋季学期 开学考试题 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若．则 =（　　） A. B. C. D. 2. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 2020-2024年我国居民人均可支配收入（单位：元）分别为32189，35128，36883，39218，41314，则这组数据的75%分位数是（ ） A. 36883 B. 38050.5 C. 39218 D. 41314 4. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 5. 已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则 的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 7. 如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（ ）（其中的值取3） A. 11280cm3 B. 12380cm3 C. 12680cm3 D. 12280cm3 8. 在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ） A. 若实数m，n使，则 B. 平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C. 对于m，，不一定在该平面内 D. 对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 10. 已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则是直角三角形 11. 如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（ ） A. A，C，，四点共面 B. D，E，G，F四点共面 C. A，E，F，四点共面 D. G，E，，四点共面 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为______ 13. 如图，在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于____________． 14. 设，是不重合的两个平面，，是不重合的两条直线，给出下列命题： ①若，，，则与是异面直线； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则； 其中所有正确命题的序号是___________. 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 16. 如图，已知中，，点D是边BC上一点，且． （1）求AD的长； （2）求的面积． 17. 如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面ABCD，，，，M，E分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求点M到平面ADE的距离． 18. 某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立． （1）求产品需要进行第2个过程的概率； （2）求产品不可以出厂的概率． 19. 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． （1）证明：平面平面AMN； （2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； （3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁四中五象凤凰校区高中部2025年秋季学期 开学考试题 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若．则 =（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算，再用复数模公式即可算出的值. 【详解】因为，所以, 所以. 故选：D． 2. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出高三年级学生所占比例，由此可求得答案. 【详解】由题意知高三年级学生所占比例为， 故应在高三年级招募的志愿者数目为. 故选：A 3. 2020-2024年我国居民人均可支配收入（单位：元）分别为32189，35128，36883，39218，41314，则这组数据的75%分位数是（ ） A. 36883 B. 38050.5 C. 39218 D. 41314 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数即可解题. 【详解】因为， 所以这组数据的75%分位数是39218， 故选： 4. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】若使成立，则选项中只有C能保证，故选C [点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意. 5. 已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线定理的推论知，当三点共线时，有，将分别代入，得方程组，即可解得的值. 【详解】由三点共线， 得， 故 解得． 故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的推论，向量的运算，平面向量基本定理，属于中档题. 6. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则 的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积可得，结合余弦定理求得，继而求得，可得答案. 【详解】因为△ABC的面积为，，故， 即， 由于， 故，故 ， 所以， 所以的周长为 ， 故选：C 7. 如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（ ）（其中的值取3） A. 11280cm3 B. 12380cm3 C. 12680cm3 D. 12280cm3 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】由题意得圆柱的高约为（cm）， 则何尊的体积（cm3） 故选：D． 8. 在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接球的半径，即可求出其表面积． 【详解】如图所示，设点G为的外心，则平面， 由， ∴，则三棱锥的外接球的球心O在直线上．设其外接球的半径为R， 由正弦定理得，在中，， 由勾股定理得，即，解得． 正三棱锥外接球的表面积是， 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ） A. 若实数m，n使，则 B. 平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C. 对于m，，不一定在该平面内 D. 对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基底的定义逐项判断即可. 【详解】解：根据基底的定义知AB正确； 对于C，对于m，，在该平面内，故C错误； 对于D，m，n是唯一的，故D错误. 故选:AB. 10. 已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则是直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，诱导公式即可计算可判断AB；利用正弦定理角化边计臬可判断C；取，，，可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，A错误； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，设的外接圆半径为，，可得，即，所以，C正确； 对于D，如在中，，，，符合，但该三角形不是直角三角形，D错误； 故选：BC. 11. 如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（ ） A. A，C，，四点共面 B. D，E，G，F四点共面 C. A，E，F，四点共面 D. G，E，，四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断. 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心， 所以是的中点，所以在平面内，故A正确； 对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥ 因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确； 对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义，数量积的坐标运算和模的坐标表示求解即可. 【详解】已知向量，，所以，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 如图，在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，作的平行线即可找到异面直线是所成角，在三角形中用余弦定理即可解决. 【详解】取的中点，连接，如图所示， 在正方体中，，因为为的中点，所以，所以，则即为异面直线是所成角，设正方体的棱长为2，则，，在中，，在中，，在中，.所以异面直线与所成角的余弦值. 故答案为： 14. 设，是不重合的两个平面，，是不重合的两条直线，给出下列命题： ①若，，，则与是异面直线； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则； 其中所有正确命题的序号是___________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，分别判断选项. 【详解】①若，，，则与没有交点，是异面直线或是平行直线，故错误； ②若，，，则，正确； ③根据面面垂直的判断定理，可知若，，，则，正确； ④若，，，则，正确. 故答案为：②③④ 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】（1） （2） （3）15.3125 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 【小问2详解】 由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． 【小问3详解】 因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 16. 如图，已知中，，点D是边BC上一点，且． （1）求AD的长； （2）求的面积． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理求AD的长； （2）在中，利用余弦定理可得，进而可得面积. 【小问1详解】 在中，可知，，可得， 由正弦定理可得. 【小问2详解】 在中，可知， 由余弦定理可得， 即，可得，解得或， 所以的面积为. 17. 如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面ABCD，，，，M，E分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求点M到平面ADE的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，即可得到，，从而得到四边形为平行四边形，则，又，所以，即可得证． （2）由面面垂直的性质得到平面，则，再由得到平面，从而得到平面，最后根据利用等体积法求出点到平面的距离； 【小问1详解】 证明：如图， 分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE， 则，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又．所以． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 解：因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面ABCD，平面平面， 所以平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，，所以，，平面，所以平面， 因为，所以平面 ． 因为，，所以平面MHPE，所以， 故 设点M到平面ADE的距离为d， 则， 解得． 所以点M到平面ADE的距离为． 18. 某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立． （1）求产品需要进行第2个过程的概率； （2）求产品不可以出厂的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得； 【小问1详解】 解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”． 在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率， 在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率， 故． 【小问2详解】 解：记事件B为“产品不可以出厂”． 在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率， 产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率， 故． 19. 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． （1）证明：平面平面AMN； （2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； （3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 【答案】（1） 因为，且点是的中点， 所以， 因为是等腰直角三角形，，，， 则， 则，得， 因为点分别是的中点，所以，即， ，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂足关系和平行关系，转化为证明平面； （2）首先利用的垂线，利用垂线构造二面角的平面角，再根据几何关系求解的值； （3）利用垂足关系和平行关系，得到，即可化简，并求取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 取的中点，连结， 因为，则，， 所以， 所以为二面角的平面角， ； 【小问3详解】 在线段取点，使得， 从而易得且，，， 另一方面，，，从而， 所以，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，， 所以， 从而， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $