广西柳州市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

答案第 1页，共 4页 柳州二中 2023 级高二上学期开学考数学 参考答案 1．D 2. C 3．C 4.A 5．D【详解】取MD的中点 F ，连接 ,EF AF，由 E为 CD的中点，得 / /EF MC， 1 2 2 EF MC  ， 则 AEF 是异面直线 CM与 AE所成的角或其补角， 正方形 ABCD中， 2 2 5AE AD DE   ，在△MAD中， 4MD MA  ， 1 12cos 4 AD ADF MD    ， 2 2 12 2 2 2 2 6 4 AF        ， 于是 2 2 2 5 4 6 3 5cos 2 202 5 2 AE EF AFAEF AE EF           ， 所以异面直线 CM与 AE所成的角的余弦值为 3 5 20 .故选：D 6．D【详解】对于选项 A，可得   5π 5π π 3πcos 2 cos 2 sin26 6 6 2g x f x x x x                           ，故 A错误； 对 B，令  π π2 π 2 2 π Z 2 2 k x k k      ，  π ππ π Z 4 4 k x k k       ， 则  g x 在 π π, 4 4     上单调递增，故 B错误； 对于 C，因为 π0, 3 x      ，所以 2π2 0, 3 x      ，故  sin 2 0,1x ，  g x 在 π0, 3      上的最小值为 0，故 C错误； 对于 D，函数   sin2g x x 的对称轴方程为  π2 π+ Z 2 x k k  ，化简可得  π π+ Z 2 4 kx k  ， 取 0k  ，可得 π 4 x  ，所以 π 4 x  是  g x 图象的一条对称轴，故 D正确. 故选：D. 7．C【详解】因为 D是 BC边上靠近点C的三等分点，E是 AD的中点， 所以    1 1 1 1 1 1 1 12 2 6 2 6 2 6 3DE DA DC CA BC AC AB AC AC AB AC                       ， 所以 1 1 6 3 AE AB AC DE AB AC             ，因为 ,AB AC   不共线，所以 1 1, 6 3    ，所以 1 2    . 8．B【详解】根据题意，由正弦定理角化边为： 2 2 2a c b ab   ， 再由余弦定理得： 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab     ，因为0 πC  ，所以 π 3 C  ，又 3c  ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   ，即 2 29 a b ab   ， 因为 2 2 2a b ab  ，所以9 2ab ab  ，即 9ab  ，当且仅当 3a b  时等号成立， 故 ABCV 的面积 1 1 π 1 3 9 3sin sin 9 2 2 3 2 2 4 S ab C ab      ， 所以 ABCV 面积的最大值为 9 3 4 .故选：B. 答案第 2页，共 4页 9．AC 10．BC【详解】对于 A：可得  1,2a b     ，且  2 2 1 1    ，所以 a b   与 c  不共线，故 A错误； 对于选项 B：若 5 2 5, 5 5 c          ，则 5 2 52 1 0 5 5 a c                ，所以 a c   ，故 B正确； 对于选项 C：因为  5,0a b    ，则   10a a b  r r r ， 5, 5a a b  r r r ， 所以 a  与 a b   的夹角余弦值为   10 2 5 55 5 a a b a a b       r r r r r r ，故 C正确； 对于选项 D：由题意可知： 5, 10a b b    r r r ，因为 e  是与b  同向的单位向量， 所以向量 a  在向量b  上的投影向量为 10 2 a b e e b           r r r r r ，故 D错误； 11．BD【详解】解：因为OA，OB，OC两两互相垂直，OB OC O ， AO 平面OBC， 故 ABO 为直线 AB与平面OBC所成的角，又 1OA OB OC   ，所以 45ABO  ， 故直线 AB与平面OBC所成的角为 45，故 A错误； 取 BC中点为D，连接 ,OD AD， 因为 1OA OB OC   ，OA，OB，OC两两互相垂直，所以 2AB AC BC   ， , ,OD BC AD BC  因为OD AD D ，所以 BC 平面 AOD，故 ODA 为二面角O BC A  的平面角， 则 tan 2 OAODA OD    ，故二面角O BC A  的正切值为 2，故 B项正确； 因为 2AB AC BC   ，所以 6 2 AD  ，设O到面 ABC的距离为 h， 则 1 1 1 1 61 1 1 2 3 2 3 2 2A OBC O ABC V V h            ，解得 3 3 h  ，故 C项错误； 因为 2AB AC BC   ，故 ABCV 为等边三角形， 因为OM 平面 ABC，则M 点为O点在平面 ABC上的投影，又 1OA OB OC   ， 即O点到 ABCV 顶点 , ,A B C 的距离相等，即M 点到 ABCV 顶点 , ,A B C 的距离相等， 故M 为 ABCV 的重心，故 D项正确.故选：BD. 12．1【详解】由已知可得 2m   ， 2 1 2 1 4 1 2 y y mk x x m        ，解得 1m  ，故答案为：1 . 13． 33 49 【详解】 2 2π 2 2 33sin2 cos 2 1 2cos 1 2 2 4 7 49 π                            故答案为： 33 49 . 14．0.75或 3 4 【详解】事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有 907，966，569，556，989共 5个，故三只豚鼠都没被感染的概率 答案第 3页，共 4页 为 5 0.25 20  ，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1 0.25 0.75  .故答案为：0.75 . 15．【详解】（1）在 ABC 中，由正弦定理得 2 2sin sin2 sin sin 2sin sin cos sin sin , 7 7 B A A B B A A A B     因为 sin 0,sin 0B A  ，所以 1cos 7  A ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，代入 2 264 49 2 , 2 15 0b b b b       ， 解得 3b  或 5b   （舍） （2）由余弦定理推论得 2 2 2 64 9 49 1cos 2 2 8 3 2 a b cC ab          ， 因为 0 πC  ，所以角 π 3 C  ； 因此 ABC 的面积为 1 1 3sin 8 3 6 3 2 2 2 ab C      . 16．【详解】（1）由  0.005 0.01 0.035 0.030 10 1x      ，解得 0.02x  . （2）这组数据的平均数为55 0.05 65 0.2 75 0.35 85 0.3 95 0.1 77          . 中位数设为m，则  0.05 0.2 70 0.035 0.5m     ，解得 540 7 m  . （3）满意度评分值在  50,60 内有100 0.005 10 5   人，其中男生 3人，女生 2人.记为 1 2 3 1 2, , , ,A A A B B ， 记“满意度评分值为 50,60 的人中随机抽取 2人进行座谈，恰有 1名女生”为事件A， 从 5人中抽取 2人有： 1 2A A ， 1 3A A， 1 1AB ， 1 2A B ， 2 3A A ， 2 1A B ， 2 2A B ， 3 1A B ， 3 2A B ， 1 2B B 所以总基本事件个数为 10个，A包含的基本事件个数为 3个， 所以   3 10 P A  . 17．【详解】（1）由题意知，在 ACD 中， π 2 CDA    ， 由正弦定理，得 sin 16 3 cos sin ADAC CDA ACD      . 在 ABCV 中，由正弦定理， 得 sin 32cos sin sin ACAB h ACB ABC        ， π π 6 4   . （2）在 ABCV 中，由正弦定理，得 πsin 32cos sin sin 3 ACBC BAC ABC           ， 故 π π32cos sin 32cos sin 16cos 2 8 3 3 6 AB BC                      ， 由于 π π 6 4   ，故 π π π2 6 6 3    ， 所以当 π 4   时， AB BC 取得最小值8 8 3 21.86  米. 答案第 4页，共 4页 18．【详解】（1）取 AD的中点O，连接 ,PO CO， 因为 PAD△ 为等边三角形，所以PO AD ， 又因为平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD ，PO 平面 PAD，所以 PO 平面 ABCD， 因为 AB 平面 ABCD，所以 AB PO ， 又 , , ,PD AB PD PO P PD PO   平面 PAD，所以 AB 平面 PAD， 因为DM  平面 PAD，所以 AB DM ，因为M 是 PA的中点，所以DM PA ， 因为 ,AB PA 平面 PAB，且 AB PA A ，所以DM 平面 PAB . （2）因为 2, 1AD BC  ，由（1）知四边形 ABCO为矩形，则 //AB OC， 又 AB 平面 PAD，所以CO 平面 PAD，以O为坐标原点， 分别以 , ,OC OD OP所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，则          1 30,0, 3 , 0, , , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,1, 3 , 1,1,02 2P M C D PD CD              ， 取平面 PAB的法向量为 3 30, , 2 2 DM          ， 设平面 PCD的法向量为  , ,m x y z ， 则 0 0 m PD m CD         ，即 3 0 0 y z x y        ，令 1z  ，则 3, 3x y  ，所以  3, 3,1m  . 3 7cos , 73 7 m DM m DM m DM         ，所以平面 PCD与平面 PAB夹角的余弦值为 7 7 . 19．【详解】（1）设事件A为甲恰好答对一道题，事件 B为乙恰好答对两道题   3 2 3 2 51 1 4 3 4 3 12 P A                  ， 2 1 1( ) 3 2 3 P B    ， 5 1 5( ) 12 3 36 P AB    ， 所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为 5 36 ． （2）设事件C为“冲锋队”最终得 6分，事件D为“冲锋队”最终得 5分， 3 2 2 1 1 1 1( ) 4 3 3 2 2 3 6 P C        ， 3 2 2 1 3 2 2 1 5( ) 1 1 4 3 3 2 4 3 3 2 36 P D                      ， 1 5 251 ( ) ( ) 1 6 36 36 P C P D     ， 所以“冲锋队”最终得分不超过 4分的概率为 25 36 ． 高二上学期开学考数学试题 第 1页，共 4页 柳州二中 2023 级高二上学期开学考数学科试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：粟丽妮 审题人：王磊 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一、单选题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．已知集合 { 2 3}A x x   ∣ ，  2 5 0,B x x x x   N∣ ，则 A B  （ ） A．{ 0 3}x x ∣ B．{ 2 5}x x  ∣ C．{0,1,2} D．{1,2} 2．已知复数 5i 1 2i z   （ i为虚数单位），则 z的共轭复数对应的点位于复平面的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比 例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是 2020年的 2倍，其中5种系列产品 的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ） A． 2022年甲系列产品收入比 2020年的多 B．2022年乙和丙系列产品收入之和比 2020年的企业年总收入还多 C．2022年丁系列产品收入是 2020年丁系列产品收入的 1 3 D． 2022年戊系列产品收入是 2020年戊系列产品收入的 2倍 4．如图，在直角梯形 ABCD中，AB CD∥ ，AB BC ，且 1AB  ， 3BC  ， 2DC  . 将直角梯形 ABCD绕BC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ） A．11π B． 3π 5π C．2 6π 5π D．6 3π 5π 5．如图，已知四棱锥M ABCD ，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧棱长相等 且为 4，E为 CD的中点，则异面直线 CM与 AE所成的角的余弦值为（ ） A． 3 5 B． 9 5 40 C． 5 15 D． 3 5 20 高二上学期开学考数学试题 第 2页，共 4页 6．将函数   πcos 2 6 f x x      图象上的所有点向左平移 5π 6 个单位长度，得到函数  g x 的图象，则（ ） A．   2πcos 2 3 g x x      B．  g x 在 π π,3 3     上单调递增 C．  g x 在 π0, 3      上的最小值为 3 2 D．直线 π 4 x  是  g x 图象的一条对称轴 7．在 ABC 中，D是 BC边上靠近点C的三等分点，E是 AD的中点，若 AE AB AC      ，则   （ ） A．0 B． 1 9 C． 1 2 D．1 8．在 ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，若 BABCA sinsinsinsinsin 222  ，且 3c ， 则 ABC 面积的最大值为（ ） A． 3 B． 9 3 4 C． 3 3 4 D．2 3 二、多项选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6分，共 18 分，全部选对的得 6 分，部分选对 的得部分分，有选错的得 0分） 9．某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市 随机抽取了 1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调 查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（ ） A．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为 8.6小时 B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为 8小时 C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的 60%分位数为 9.2小时 D．这 1000名高中学生每天的平均学习时间为6 8 小时的人数有 100人 10．已知向量 )1,2(a ，  3,1b    ， e  是与b  同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A．  a b a    ∥ B．若 5 2 5, 5 5 c          ，则 a c   C． a  与a b   的夹角余弦值为 2 5 5 D．向量 a  在向量b  上的投影向量为 1 2 e  11．在如图所示的三棱锥O ABC 中， 1OA OB OC   ，OA，OB，OC两两互相垂直，下列结论正确的 为（ ） A．直线 AB与平面OBC所成的角为30 B．二面角O BC A  的正切值为 2 C．O到面 ABC的距离为 3 D．作OM 平面 ABC，垂足为M ，则M 为 ABC 的重心 高二上学期开学考数学试题 第 3页，共 4页 第 II 卷（非选择题） 三、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分) 12．若过点 ( 2, )M m ， ( , 4)N m 的直线的斜率等于 1，则 m的值为 ． 13．若 2 2cos 4 7 π      ，则 sin2  . 14．在一个实验中，某种豚鼠被感染 A病毒的概率均为 40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染 的概率：先由计算机产生出  0,9 之间整数值的随机数，指定 1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0 表示没有被感染.经随机模拟产生了如下 20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 . 四、解答题(本大题共 5 个小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．（13分）在 ABC 中， 2sin2 sin , 8, 7 7 b A a B a c    (1)求b值； (2)求角C和 ABC 的面积. 16．（15分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强 监管，随机选取了 100人就该城市共享单车的推行情况 进行问卷调查，并将问卷中的这 100人根据其满意度评 分值（百分制）按照      50,60 , 60,70 , , 90,100 分成 5 组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中 x的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在  50,60 内的男生数与女生数的比为 3：2，若在满意度评分值为 50,60 的人中 随机抽取 2人进行座谈，求 2人均为男生的概率. 高二上学期开学考数学试题 第 4页，共 4页 17．（15分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB与地面垂直，灯杆 BC与灯柱 AB所在 的平面与道路垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC的部分截面如图中阴影部分所示.已知 2π 3 ABC  ， π 3 ACD  ，路宽 24AD  米，设 π π 6 4 BCA          . (1)求灯柱 AB的高 h（用 表示）； (2)此公司应该如何设置 的值，才能使制造路灯灯柱 AB与灯杆 BC所用材 料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到 0.01米） 18．（17分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD， PAD△ 为等边三角形，PD AB ， //AD BC， 2, 1,AD AB BC M   为 PA的中点. (1)证明：DM 平面 PAB； (2)求平面 PCD与平面 PAB夹角的余弦值. 19．（17分）为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队 2人，甲、乙两人组成“冲 锋队”参加比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每 答对一道题给该队加 1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随 机抽取一道题作答，每答对一道题给该队加 2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题 库中题目的概率为 3 4 ，答对“应急救援”题库中题目的概率为 2 3 ．乙答对“健康安全”题库中题目的概率 为 2 3 ，答对“应急救援”题库中题目的概率为 1 2 ，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率； (2)求“冲锋队”最终得分不超过 4分的概率. 答案第 1页，共 1页