北京市日坛中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

2026北京日坛中学高三（上)开学考 数 学 2026.8 命题人：高三数学备课组时间：120分钟 一、选择共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. (1)已知集合A={xy=x-2,B={xx2-x-6<0,则AnB= A.（-2,3) B.[2,3) C.[2,6] D.(2,+o) (2)下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为 A B.y=2-2 C.y=sinx D.y=I5+x “5-x (3)下列两个函数f(x)和g(),8(x)的图象不可以由f(x)的图象经过平移得到的是 A.f(x)=Inx,g(x)=In 2x B.f(x)=3,g(x)=9.3 C.f(x)=3,8x)=3-x D.f(x)=sinx,g(x)=cos(x) (4)设a=n2,b=cos2,c=22,则 A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c (5)已知函数f9=x-si血x,a=f(2,.b=f宁，c=f(字，则 A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b (6)下列函数中，图象存在与x轴平行的切线的是 A.y=x3+2.xB.y=√ C.y=x-Inx D.y=cosx+2x (7)在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，P(-l,2)为u终边上一点，则tan2a= a B青 c (8)若角α与角B的终边关于y轴对称，则必有 A.a+B=90 B.a+B=k.360°+90°(k∈Z) C.a+B=k360°(k∈Z) D.a+B=(2k+)180°(k∈Z) (9)定义在R上的函数()满足f(x+)=f(x-),且当xe(0,2]时f(y)=18x,0<x≤L 4,1<x≤2， 则() A B.2 C.2 D.-2 (10)如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”， 如图是会徽的几何图形，设弧AD长L,弧BC长I2, 几何图形ABCD面积为S,扇形BOC面积为S2, 19th Asian Came -3，则 Hangzhou 2022 第1页/共11页 A.8 B.7 C.6 D.5 (11)已知函数f(x)的定义域为区间(a,b),其导函数f'(x)的图象如图所示， '(x)的3个零点分别是x,x2,x3·下列结论中正确的是 A.f(x)在区间(a,x)上单调递增 B.f(x)在x=x处取得极大值 C.f(x)有3个极值点 D.f(x)<f(x) (12)已知a,B∈R,则sina+sinB=0”是“B=a+k,k∈Z”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (13)当0<x<π时，方程2sin2x=cosx的解的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 (14)某工厂的产量Q(单位：件)与资本投入K(单位：万元)、劳动投入L(单位：人)满足柯布-道 格拉斯生产函数Q=A·K“·L(其中A,,B为常数).在劳动投入不变的前提下，要使该工厂 的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数“约为 (参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48) A.0.3 B.0.4 c.0.5 D.0. (15)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，若对于x∈R,均有f(x)>'(x),则有 A.e226f(-2026)>f(0),f(2026)>e2026f(0) B.e226f(-2026)>f(0),f(2026)<e226f(0) c.e226f(-2026)<f(0),f(2026)>e226f(0) D.e226f(-2026)<f(0),f(2026)<e226f(0) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 16)西数四=己+e红+习的定义波为 (17)已知a>0,b>0,且a+b=3,则2+2的最小值为 (18)已知函数f)=5 sinxco-cos2x化为/()=sn(or+)-@>0,例<， 则0= 0= (19)已知a,B∈(0，π)，且sina-cosB=0,sinB+cosa=0.写出满足条件的一组a,B的值a= ,B= (20)已知点2x,4X≥0,0分别在函数)=e-,86)=的图象上，若P0/轴， 则Pg的最小值为 ，此时x2= 1-2x-3引，1≤x≤2 。x>2，则下列说法中所有正确的序号是 第2页/共11页 ①f(1024)=0: ②若函数y=f(x)-x有4个零点，则实数k的取值范围为 711 246月 ③当x∈[21,2](n∈N)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1： ④对于实数x∈[1，+o),不等式2xf(x)-3≤0恒成立. 三、解答题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (22)(本小题13分) 己知函数f(x)=(2x2-6x+2)e*. (I)求曲线y=(x)在点(0，f(O)处的切线方程： (Ⅱ)当x∈(-∽，3]时，求f(x)的单调区间，并求其最大值与最小值. (23)(本小题13分) 在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点Pm,2 .3 连接圆心O和P得到射线OP,将射线OP绕 点0控遮时针方向旋转0后与单位圆相交于友8，记友B们族坐标为f(),共中9[子 (I)求锐角x的值； )若/0+】-求m20的 (Ⅲ)求函数f(8)的最值. (24)（本小题15分) +=a>b>0)的离心率e=5,点迈， 已知椭圆E+y 2 在E上，直线y=x+m(m≠0)与椭圆 2 E交于M,N两点. (I)求椭圆E的标准方程： (II)当k为何值时，OM'+ON为定值. (25)(本小题15分) 己知函数f(x)=ae2x+(a-2)e-x(aeR). (I)当a=0时，求f(x)在(0，f(0)处的切线方程： (Ⅱ)讨论f(x)的单调性： (Ⅲ)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. (26)(本小题4分) 已知数集A={a,a2,a,…,an}1=a1<a2<.<an,n≥2），若对任意的k(2≤k≤m), i,j1≤i≤j≤n),使得a=a,+a成立，则称数集A具有性质P. (I)分别判断数集{L,3,5}与{L,2,3,6是否具有性质P. 第3页/共11页 参考答案 题号 1 2 3 6 9 10 11 12 13 1415 答案 C A A D D A D 0 B 1.B 【详解】要使根式y=√x-2有意义，需x-2≥0，解得x≥2，因此A=[2,+∞). 不等式x2-x-6<0,因式分解得(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3,即B=(-2,3) 因此AnB={x|2≤x<3}=[2,3). 2.D 【详解1A◇f=eR,则中因.数为偶函数，箭炭。 C,令g(x)=sinx,xeR,函数为奇函数，但在定义域上不单调，故错误； 方法一： B,令s(x)=2-2,x∈R,则s(-x)=2-2=-s(x),函数为奇函数， s'(x)=-2ln2-2hn2<0,函数单调递减，故错误； D,令(-h经白>0，解得5<x<5, t(x)=n(5+x)-ln(5-x),则(-x)=n(5-x)-n(5+x)=-(x),函数为奇函数， 写55仁对”>0，甲数在定义说上放正院 法二： B,令s(x)=2-2,x∈R,则s(-x)=2-2=-s(x),函数为奇函数， y=2和y=-2是减函数，函数s(x)=2-2单调递减，故错误： D.(-h经白0.解得-5<<5 t(x)=n(5+x)-ln(5-x),t(-x)=ln(5-x)-n(5+x)=-t(x),函数为奇函数， :y=ln(5+x)和y=-ln(5-x)均是增函数，则t(x)为增函数， 函数∫)=血十在定义减内单调递增，故正确 3.c 【详解】A.因为g(x)=ln2x=lnx+ln2,所以g(x)的图象可以由f(x)的图象向上平移ln2个单位得 到，A不适合题意： B.因为g(x)=93=32.3=3*+2,所以g(x)的图象可以由f(x)的图象向左平移2个单位得到，B不适 合题意： C.因为g(x)=3=3,所以f(x)=3先关于y轴对称得到y=3‘,再向右平移1个单位得到g(x) 的图象，C适合题意： 第4页/共11页 D因为g)=cos(子+=-sinx=sin(x+列，所以g()的图象可以由f)的一下向左平移元个单位 得到，D不适合题意。 4.A 【详解】nl<ln2<ne,0<a<l,c=2>2”=1,<2<元b=cos2<0,所以b<a<c 5.c 【详解】f(x)定义域为R,f'(x)=1-cosx≥0，当且仅当x=2km,k∈Z时等号成立， 以f网在R上猫，又好2.所[得付)：e<<a 6.c 7.A 2 =-2,所以am2a=-ama1-(23 2tana2(-2）4 【详解】由题意知P(-l,2)为a终边上一点，故tana=- -1 8.D 【详解】角a与角B的终边关于y轴对称，所以a-(90°+360°×k)=90°+360×k2-B,k,k2∈Z, α+B=90°+360×k2+90°+360°×k=360°(k+k)+180°，k,k2∈Z 即a+B=360°×k+180°=(2k+1)180°，k∈Z, 9.D 【详解】fx+-fx-小，放f)的-个周期为2，所以()（子+2目=68(2 10.A 【年1反0C=a.吃-283，所 0A=3 OB.a 所以S=2ao4-2 OB04-1oB91oB-oB=8 2a-0B OB OB 11.D 【详解】x∈(a,),f'(x)<0，f(x)在区间(a,x)上单调递减，选项A错误： x=x时，f'(x)=0,当x<x时，∫'(x)<0,当x>x时，f'(x)<0,所以x=x不是极值点，选项 B错误； f'(x)的3个零点x,x2,x3, 当x<x时，f'(x)<0,当x>x时，f'(x)<0,x=x不是极值点， 当x<x时，f'(x)<0,当x>x2时，f'(x)>0,x=x2是极小值点， 当x<x3时，f'(x)>0,当x>x时，f'(x)<0,x=x3是极大值点， f(x)有2个极值点，选项C错误： x∈(x2,x3),∫'(x)>0,f(x)在区间(x2,3)上单调递增，f(x2)<f(x3),选项D正确. 12.D 【详解】充分性分析： 第5页/共11页 a+n0=0.ma=0,m[22）r≥[〔2生222 2\mm:2）-mmfa9m2 生mr(-0.n-0或mr-0, .sin 当sin a+E）=0时，a+B=kkeZ,即，B=-a+2ka,keZ, 2 2 os&,0时gA.4kEZ,即B=a-+2eZ 22 综上可得，当sina+sinB=0时，B=-a+2km,k∈Z或B=a-(I+2k)π，k∈Z, 不能得到B=a+km,k∈Z,∴充分性不成立； 必要性分析： B=a+km,k∈Z,∴.sinB=sin(a+km), 当k=2n,neZ时，∴.sinB=sin(a+2m)=sina,不一定有sina+sinB=0成立， 当k=2n+l,n∈Z时，∴.sinB=sin(a+2m+π)=-sina,则有sina+sinB=0成立， 综上，由B=a+kπ，k∈Z不一定得到sinB=sin(a+km),故必要性不成立， 13.D 【详解】4 sinxcosx=cosx,得cosx(4sinx-1)=0,cosx=0有一个解，4sinx-1=0有两解 14.B 【详解】由题意可得(1+20%)0=4[(60%+1)K]L,又9=A,·KL, 两式相除可得1.2=1.6，两边取对数可得g1.2=αlg1.6, 所以lg12-1=a(g16-1）,所以w=g12--2g2+l1g3-1_2x0.3+0.48-12 lg16-141g2-1 4×0.3-15 15.B 【详解】因为对任意x∈R,均有f(x)>f'(x),所以f(x)-f(x)<0, 速数g因-.则g国-I因e-f/四<0， (e*)2 e 因此g'(x)<0在R上恒成立，即g(x)是R上的单调递减函数 因为-2026<0，由单调性得g(-2026)>g(0,即f(-2026>f e2026 o 2,化简得e2sf-2026>f0) 因为2026>0，由单调性得g(2026)<g(0),即2026<f e2026 2,化简得f(2026<e2026f0) 因此e2026f(-2026>f(0),f(2026)<e2026f(0) 16.（-3,1)【详解】由 1-x>0.x<1 x+3>0x>-39-3<x<1 17.4V2 【详解】因为a+b=3,所以2°+2°≥2√2°×2=2√2=2V2=4V2, 第6页/共11页 当且仅当2=2，即a=b=3时，等号成立，所以2”+2的最小值为4N2 2 18.2:- 6 【i详解】依题意，f()=V5 sin xcos-cos2x=5s1 3sin2x-1+cos2x-sim2x 2 621 π 而w>0,p<π，于是得0=2，p=- 6 19. 3弧，亚（答案不唯一） 4；4 cag股0期ae经0引且a=受B均可 sina=cosB>0 【详解】由题设} 20.1:1 【详解】因为P四∥x第，所以y=为，印。-=x(6之0) P阳=与-写=e--,设a(=e--xx≥0).则Pg最小准为（到的最小值， h'(x)=e*-x-1,%g(x)=e*-x-1,g'(x)=e*-1, 当x≥0时，g(x)≥0，因此h(x)在[0，+∞)上单调递增，又h(0)=e°-0-1=0， 所以x≥0时，h(x)≥0，因此h(x)在[0，+oo)上单调递增， 故h)的最小值为h0)=l,即Pg的最小值为1：此时x=0,x=e-】0=1 2 21.①②④ 【详解】先分析函数f(x)的基本性质： 2x-2,1sx≤3 当1≤x≤2时，f(x)=1-2x-3|,即f(x)= 4-2x, s2 图像为顶点在 端点为1,0)，(2,0)的三角形. 当x>2时， f)即对任意nEN,xe2,2]时，c2.故)=f司) 图像为前一区间图像横向拉伸为原来的2倍，纵向压缩为原来的号，区间[2”，2”+门内的最高点为 逐一判断各结论： ①1024=20，f0024)= 29 又：f②)=114-30，”f0024)=9×0=0,故①正确 ②函数y=f(x)-有4个零点，等价于x≥1时f(x)=x有4个不同实根，即直线y=x与f(x)的图像 有4个交点 第7页/共11页 1 直线过原点，过)在卫，4的最高点32 时，斜率=号石 1 2=1,此时直线与2,4]段的图像仅交于最高 点，共3个交点 1) f)在[4,8]的最高点6，时，斜率=4=1，此时直线与[4,8段的图像交于最高点，共5不 4 1 0.8 0.6 64 0.4 y=x) 0.2 24681012 小当(4时，直线与的图候有4个交点，回同数有1个零点，故@正路 国当xe[2,2]meN)时，f)的图像为三角形，底长为2-2-2，高为是， 人与轴围成的面积5-分24克-1，放@错联 ④对任意x∈l,+),设x∈[2”，2"]，neN,f的最大值为2点，对应x=32, 此时2V)=2×3.2×点=3，其余点处f均小于该最大值，放2y0)≤3恒成立，即2y国-3s0 恒成立，故④正确 1 0.8 0.6 0.4 x) 0.2 24681012x 22(1)已知fx)=(2x2-6x+2)e,所以f(0)=2, f'(x)=(4x-6)e+(2x2-6x+2)e*=(2x2-2x-4)e,切线斜率k=f'(0)=4, 则曲线f(x)在点(0，f0)处的切线方程为y-2=(-4)×(x-0),即4x+y-2=0. (2)因为f"(x)=(2x2-2x-4)e=2(x-2)(x+1)e,令f'(x)=0,解得x=-1或x=2, (-o0,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 f'(x) 0 0 f(x) 极大值10 极小值-2e2 2e3 所以f(x)的单调递增区间为(-o,1)和(2,3)，单调递减区间为(-1,2)， 第8页/共11页 又因为20>10所以f)的最大值为2c,最小值为-2e e 23(1)由于锐角的终边与单位圆相交于点Pm, 2 因此sina= 2 又因为a为锐角，所以= 3 2)由)知，a=行微由概点，o-@0+) 3 因为0：）a0}m0-4m04 1 所以n20=2sin6cos0=2xx(Vi5-V5 4 4 8 a由a)知，0ma引[ 因为7s6≤元，所以57s6+开s切 2 6 33 0+亚=元即0=2买时，f(8)m=-1; 3 3 0专58=时了o-月 33 (5知o=mo-到河成 2 3元 上单调递增， f(a)=cos 4π）1 3 2n (⊙)在兮处取得最小值-1：在不处取得最大值一 c_ 24(1)依题意知， 口=+心，解得a2=4,B=1,所以椭圆E的方程为 +y2=1: 4 21 a+261 2)联立4+y=1 ,可得(4k2+1）x2+8kmr+4m-4=0, y=kx+m 由△=16(4k2+1-m2)>0,设M(x,乃)，N(x2y2) 则x+为= 8km 4m2-4 42+7'5= 4k2+1 8km） 买+=（压+x}-2x6-气42+1 -2x4m2-4_84k2m-m2+42+ 4k2+1 (4k2+1月 第9页/共11页 MN为)在等+21上 手+1=1草等经+听=对=1至 44 4 OM+ow=++后+g=+1-至+写+1-至-2+3+ 4 384m㎡-m2+4城+_264张m-㎡+4+-2+6m(4w-+64+ =2+ =2+ (42+1 (4k2+1) (4k2+10月 若OM+ON为定值，则OM+ON与m无关， 故需使4秋2-1=0，解得k=±号，此时OM+ON=5. 25(1)当a=0时，函数f(x)=-2e-x,f(0)=-2, 又f'(x)=-2e-1,则f'(0)=-2-1=-3 所以f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=-3x-2. (2)由题意知，f(x)的定义域为(-n,+o), f'(x)=2ae2x+(a-2)e-1=(2e+1)(ae-1),显然2e+1>0恒成立， ①若a≤0，则f'(x)<0,此时f(x)在(-o,+o)上单调递减： ②若a>0,令f'(x)=0,解得x=-lna. 当x∈(-o,-lna时，f'(x)<0,当x∈(-lna,+o)时，f'(x)>0; 所以∫(x)在(-o,-ha)上单调递减，在(-lna,+o)上单调递增 综上，当a≤0时，f(x)在(-n,+o)上单调递减： 当a>0时，f(x)在(-o,-lna)上单调递减，在(-na,+o）上单调递增. (3)若a≤0，由(2)知，f(x)至多有一个零点： 若a>0,由(2)知，当x=-na时，f(x)取得最小值为f(-lna)=l-1+na 设-1，则8)0 1化 故g(x)=1-+r在(0，+m)上单调递增，又g)=0, (当ac[Lo）时，f(-hm)-1-合ha≥0，故此时/(e)没有两个零点： (i)当a∈(0,1)时，f(a)=1-L+a<0, 第10页/共11页 又f(-2)=ae4+(a-2)e2+2>-2e2+2>0, 故f(x)在(-o,-ha)上有一个零点： 当x>h3,由e>c号可得e>即ae>3,得am-3>0,则ae+a-3>0 故e(ae+a-3)>0,即ae2x+ae-3e>0,又易知e>x, 则ae2x+ae-3e*+e-x>0,即ae2x+(a-2)e-x>0, 因此f(x)在(-lna,+o)上也有一个零点 综上，若f(x)有两个零点，实数a的取值范围为(0,1)： 26(1)3≠1+1，∴{L,3,5}不具有性质P: 2=1+1,3=1+2,6=3+3,{L,2,3,6具有性质P: 第11页/共11页