精品解析：北京市海淀区中关村中学2022届高三上学期开学测试数学试题

2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高三（上）开学测试数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知函数，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 点是边长为2的正六边形内或边界上一动点，则的最大值与最小值之差为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.请将正确答案填写在答题纸的相应位置. 11. 若的二项展开式中各项的二项式系数的和是8，则展开式中常数项为___________，各项的系数的和为___________.(用数字作答) 12. 为了解某校学生的视力情况，现采用《晓观数学》公众号随机抽样的方式从该校的，两班中各抽4名学生进行视力检测.检测的数据如下： 班：4.1，4.6，4.4，4.9；班：4.9，4.6，4.2，4.5. （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，___________班的4名学生视力较好； （2）___________班4名学生视力方差较大. 13. 已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为___________. 14. 笛卡尔､牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数.其中不正确的是___________. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使函数为奇函数； ②对任意实数，函数既无最大值也无最小值； ③对任意实数和，函数总存零点； ④对于任意给定正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________. 三、解答题：本题共有6道小题，共85分，请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置. 16. 在△ABC中，，，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求c的值及△ABC的面积． 条件①：；条件②：；条件③：csinA=3． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 18. 某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分．从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照，，，，分组，绘成频率分布直方图如图： （1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数； （2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望； （3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由． 19. 已知函数. (I)求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)当时，求证：函数存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数的零点个数． 20. 已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点. （1）求抛物