16.3.2完全平方公式课件 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，从回顾多项式乘法和平方差公式切入，通过计算具体多项式的积引发规律猜想，逐步推导公式，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式的形成过程。 其亮点在于运用数形结合（几何图形面积证明）和多项式乘法法则双重推导公式，体现数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理能力。采用“首平方，尾平方，首尾2倍放中央”口诀辅助记忆，结合错题辨析、变式练习及简便计算实例（如102²、99²），学生能提升抽象能力和运算能力，教师可借助系统流程和丰富实例高效教学。

第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 学习目标 1.能推导完全平方公式，记住完全平方公式的特征。 2.能运用完全平方公式进行简单的运算。 3.体会数形结合的数学思想。 2 回顾旧知 1. 多项式与多项式相乘 (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 2. 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 3 探究与应用 计算下列多项式的积: (1)(p+1)2=　　　　　　;(2)(m+2)2=　　　　　　;  (3)(p-1)2=　　　　　　;(4)(m-2)2=　　　　　　.  活动1　理解、探究完全平方公式,并利用完全平方公式计算 问题情境 p2+2p+1 m2+4m+4 p2-2p+1 m2-4m+4 问题1　通过上面的计算,你能发现什么规律?   问题2　根据上面的规律,猜想一下(a+b)2,(a-b)2的结果分别是多少?  问题3　你能将完全平方公式用文字语言表述吗? 解:都是完全平方的形式,结果中都有三项,并且有两个数的平方和. 解:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2. 解:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍. 引发思考 探究完全平方公式 利用乘方的意义、多项式乘多项式的法则以及合并同类项 新课讲授 (p+1)2 =(p+1)(p+1)= ____________; (m+2)2 =(m+2)(m+2)= ____________; (p-1)2 =(p-1)(p-1)=_____________; (m-2)2 =(m-2)(m-2)=_____________; p2+2p+1 p2-2p+1 m2-4m+4 m2+4m+4 你能继续完成下列计算么？ 思考：观察上面的结果，你发现了什么规律？ （1） （2） p2+1+2p p2+1-2p 4m2+4+4m 4m2+4-4m 新课讲授 知识点 完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 9 完全平方公式:两个数的　　　　的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的　　　　.  即(a+b)2=　　　　　　　;(a-b)2=　　　　　　　.  概括新知 和(或差) 2倍 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 (教材典题)运用完全平方公式计算: (1)(4m+n)2; 　　　　 (2) （y-） 2. 解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2. 理解应用 例 1 (2)(y-)2=y2-2·y·+()2=y2-y+. 探究 能否将发现的规律用式子表示出来？ 猜想 (a+b)2=a2+2ab+b2 (p+1)2= = ； (m+2)2= = . p2+2p+1 m2+4m+4 (p+1)(p+1) (m+2)(m+2) m2+2·m·2+22 p2+2·p·1+12 一级标题：黑体， 12 你能对发现的规律进行推导吗？ 探究 猜想 小组合作 1.独立思考，完成验证； 2.两人一组，交流思路，完善过程. (a+b)2=a2+2ab+b2 一级标题：黑体， 13 (1) 用多项式乘法法则证明 (a-b)2 =(a-b)(a-b) (a+b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 公式证明 14 (2) 借助几何图形证明 如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 . 它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和， 所以(a+b)2=a2+2ab+b2 b a a b a2 ab ab b2 即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 . 15 首平方,尾平方, 首尾2倍放中央; 和平方,积为正, 差平方,积为负. 得 锦囊 计算: (1)(-x+3y)2; 　　　 (2)(-4y-)2. 解:(1)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-2·(3y)·x+x2=9y2-6xy+x2. 变式 (2)(-4y-)2=(4y+)2=(4y)2+2·(4y)·+()2=16y2+2y+. 例题精讲 　　例 1　运用完全平方公式计算： 　　（1）(4m＋n)2； （2） 　　解：（1）(4m＋n)2＝(4m)2＋2 • (4m) • n＋n2 　　　　　　　　　　 ＝16m2＋8mn＋n2； 　　　　（2）　　　　 ＝y2－2 • y • ＋ 　　　　　　　　　　 ＝y2－y＋　． 归纳做题过程 第一步：选择公式． 第二步：准确代入公式． 第三步：化简． 例题精讲 　　例 2　运用完全平方公式计算： 　　（1）1022；　　　　　　　　　　（2）992. 　　　 （2）992 ＝(100－1)2 　　分析：（1）1022 ＝(100＋2)2 ＝1002＋2×100×2＋22 ＝1002－2×100×1＋12 ( a ＋b )2 ＝a2＋2ab＋b2 ( a － b)2 ＝a2－2ab＋b2 完全平方公式 （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的2倍放中间” 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 20 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 (2) (x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 练一练 21 运用完全平方公式计算: (1)99992; 　　　　 (2)1012+992. 变式 解:(1)99992=(10000-1)2=100002-2×10000×1+12=99980001. (2)1012+992=(100+1)2+(100-1)2=1002+2×100×1+12+1002-2×100×1+12=20002. 学 方法 根据数的特征,将底数化成两个数的和或差的形式,再利用完全平方公式展开计算.  活动3： 你能根据图形中的面积说明完全平方公式吗? 探究新知 (1)计算(x+2y-3)(x-2y+3)时，先将整式变形为 ； (2)计算(a+b+c)2时可将 当作完全平方式中的a，把 当作完全平方式中的b. ［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］ 例　运用乘法公式计算： c a+b (1) (x+2y-3)(x-2y+3)； (2) (a+b+c)2. 解:（1）(x+2y-3)(x-2y+3) =［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］ =x2-(2y-3)2 =x2-(4y2-12y+9) =x2-4y2+12y-9； 例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36－16＝20； 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4. 添括号时，如果括号前面是_____，括到括号里的各项都_________； 添括号法则 正号 不变符号 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号. 改变 定义总结 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | $