16.3.2完全平方公式-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过多项式乘法计算引导学生发现规律，结合几何图形证明推导公式，形成从具体到抽象的学习支架，衔接整式乘法基础，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于借助几何直观（数学眼光）理解公式本质，通过错误辨析（数学思维）强化推理意识，利用公式变形与应用（数学语言）培养模型意识。采用口诀记忆、典例精析等方法，学生能深化公式理解与应用，教师可提升教学效率和针对性。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 16.3.2完全平方公式 第十六章 整式的乘法 人教版八年级上册16.3.2 完全平方公式同步练习题 知识点核心：完全平方和、完全平方差公式、公式结构特征、口诀记忆、正用逆用、化简求值、易错点区分（完全平方公式与平方差公式混淆、漏中间项、符号错误）。核心公式：(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²、(a－b)²＝a²－2ab＋b²。口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，同号得正异号得负。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 计算(x＋3)²的结果是（） A. x²＋9 B. x²＋3x＋9 C. x²＋6x＋9 D. x²－6x＋9 2. 计算(2x－1)²的结果是（） A. 4x²－1 B. 4x²－4x＋1 C. 2x²－2x＋1 D. 4x²＋4x＋1 3. 下列计算正确的是（） A. (a＋2)²＝a²＋4 B. (a－3)²＝a²－6a＋9 C. (2a＋1)²＝4a²＋2a＋1 D. (a－b)²＝a²－b² 4. 若(x－m)²＝x²－8x＋16，则m的值为（） A. 4 B. －4 C. 8 D. －8 5. 已知a＋b＝5，ab＝6，则a²＋b²的值为（） A. 25 B. 13 C. 37 D. 12 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 完全平方和公式：(a＋b)²＝________。 2. 完全平方差公式：(a－b)²＝________。 3. 计算：(x－4)²＝________。 4. 计算：(3a＋2b)²＝________。 5. 已知(a＋b)²＝9，ab＝2，则a²＋b²＝________。 三、解答题（共60分） 1.（15分）利用完全平方公式计算：（1）(x＋5)² （2）(4x－3)² （3）(2a＋5b)² 2.（15分）简便运算：（1）99² （2）102² 3.（15分）化简：(x＋2)²－(x－1)(x＋1) 4.（15分）先化简，再求值：(2x－1)²－4x(x＋1)，其中x＝3。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 解析：完全平方公式绝对不能漏中间两倍项，区分：平方差是两项、完全平方是三项；中间项符号由原式符号决定，首尾平方恒为正。 二、填空题：1.a²＋2ab＋b² 2.a²－2ab＋b² 3.x²－8x＋16 4.9a²＋12ab＋4b² 5.5 解析：常用变形：a²＋b²＝(a＋b)²－2ab、a²＋b²＝(a－b)²＋2ab，是代数式求值高频考点。 三、解答题： 1. 解：（1）原式＝x²＋10x＋25；（2）原式＝16x²－24x＋9；（3）原式＝4a²＋20ab＋25b²。 2. 解：（1）原式＝(100－1)²＝100²－2×100×1＋1²＝10000－200＋1＝9801；（2）原式＝(100＋2)²＝100²＋2×100×2＋2²＝10000＋400＋4＝10404。 3. 解：原式＝x²＋4x＋4－(x²－1)＝x²＋4x＋4－x²＋1＝4x＋5。 4. 解：原式＝4x²－4x＋1－4x²－4x＝－8x＋1，代入x＝3，原式＝－8×3＋1＝－23。 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = p 2+2p+ 1 ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = m2 －4m+4 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 根据上面的规律，你能直接写出下列式子的运算结果吗？ (a＋b)2 = . a2 + 2ab + b2 (a－b)2 = . a2－2ab + b2 法一：用多项式乘法证明： (a-b)2 =(a-b)(a-b) (a+b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 你还有其它证明方法吗？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 法二：借助几何图形证明： 如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 . 它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和， 所以(a+b)2=a2+2ab+b2 b a a b a2 ab ab b2 即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 . 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 法二：借助几何图形证明： 它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即 如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 . 所以(a-b)2=a2-2ab+b2. (a-b)2 (a-b2) a-b b b a-b ab ab b2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 当堂练习 QING JING YIN RU 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2， 我们把 (a-b)2=a2-2ab+b2. 都叫做完全平方公式. 文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央.” 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题： 1. 说一说积的次数和项数； 2. 两个完全平方式的积有相同的项吗？与 a，b 有什么关系？ 3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a，b 有什么关系？它的符号与什么有关？ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同； 把2x与y分别看成上式的a与b，也就是把它们按下面的方法对应起来，就可以直接得到结果. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 你能利用完全平方公式快速地计算出(2x+y)2吗？ ( 2x + y )2 ( + )2 a b = ( )2 + · ( )· + 2 2x 2 2x y y = 4x2+4xy+y2， = a 2 + 2 · a · b + b 2 . (a+b)2=a2+2ab+b2. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1) (x + y)2 = x2 + y2 (2) (x－y)2 = x2－y2 (3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2 × × × × x2 + 2xy + y2 x2－2xy + y2 x2－2xy + y2 4x2 + 4xy + y2 结果为二次三项式 结果为二次三项式 中间项符号错误 中间项系数错误 对应公式中的b 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 对应公式中的a 填空： (a+b)2=a2+2ab+b2. 1. 给出下列算式： ； ； ； .其中错误的 有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 11 2. 如果,则 的值是( ) A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【点拨】 , , , . D 返回 中考考法 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 关键是要识别公式中的a和b. 解：(3m+n)2 = (3m)2+2 · 3m · n + n2 = 9m2+6mn+n2. 运用完全平方公式计算： (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 运用完全平方公式计算： (3)(-x+1)2 解： (-x+1)2 = (-x)2+2(-x)· 1 + 12 = x2-2x+1 (4)(x-1)2 解： (x-1)2 = (x)2-2·x· 1 + 12 = x2-2x+1 归纳总结 结论1：(a-b)2=(b-a)2. 解释： (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2. 对比两题的计算结果，你有什么发现？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 运用完全平方公式计算： 归纳总结 结论2：(a+b)2=(-a-b)2. 解释： (-a-b)2= [-(a+b)]2=(a+b)2. (5) (-2x-3)2 解： (-2x-3)2 = (-2x)2+2·(-2x)·(-3)+9 = 4x2+12x+9. (6) (2x+3)2 解： (-2x-3)2 =(2x)2+2·(2x)×3+9 = 4x2+12x+9. 对比两题的计算结果，你有什么发现？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 运用完全平方公式计算： = = = 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 (1) 2012； 解： 2012 = (200 + 1)2 = 40000 + 400 + 1 = 40401 (2) 9.82. 解：9.82 = (10 – 0.2)2 = 100 - 4 + 0.04 = 96.04. 运用完全平方公式计算： 运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 利用两个公式可以简化计算 利用乘法公式计算： (1) 20262－2025×2027； (2) 20262－2026×4050＋20252. ＝(2026－2025)2＝1. 解：(1) 原式＝20262－(2026－1)(2026＋1) ＝20262－20262＋1＝1. (2) 原式＝20262－2×2026×2025＋20252 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 利用完全平方公式进行整体代换 已知 x－y＝6，xy＝－8. 求： (1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值. ＝36－16＝20. 解：(1) ∵ x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4. 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按 图（2）那样拼成一个正方形. 图（2） 图（1） 2a 2b （1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是_______； （2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积： 方法一：__________；方法二：_______________. （3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的 等量关系吗？ （4）根据第（3）题中的等量关系解决如下问题： 若 ， ，则 =_______. 28 ( a－b)2 a－b ( a＋b)2－4ab ( a－b)2 =( a＋b)2－4ab 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 从例4和例5中，你能得到什么启发？ 完全平方公式的常见变形 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab= (a - b)2 + 2ab (a + b)2 = (a - b)2 +4ab (a - b)2 = (a + b)2 -4ab ab= (a + b)2 -(a - b)2 ] (a + b)2+(a - b)2 =2( a2+b2) a2+b2= [(a + b)2+(a - b)2 ] 知二 推一 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 去括号与添括号 a + (b + c) = a + b + c； a – (b + c) = a – b – c. a + b + c = a + (b + c)； a – b – c = a – (b + c). 去括号： 把上面两个等式的左右两边反过来， 就得到添括号法则： 三角形应满足以下两个条件 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）. 当堂练习 QING JING YIN RU 将等号左右两边对换，等式仍然成立. a+b+c=a+(b+c) abc=a(b+c) 符号不变 符号不变 添上“+( )”，括号里的各项都不变符号. 符号改变 符号改变 添上“( )”，括号里的各项都改变符号. 将(2m－n)看成整体 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 转化为已知的两项的完全平方公式 计算：(1) (a－b＋c)2； (2) (1－2m＋n)(1＋2m－n)． ＝1－4m2＋4mn－n2. 解：(1) 原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc. (2) 原式＝[1－(2m－n)][1＋(2m－n)] ＝12－(2m－n)2 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 a,b,c之间有何数量关系？ 已知a=2025x+2025,b=2025x+2024, c=2025x+2026, 求a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值． 解：∵a=2025x+2025,b=2025x+2024, c=2025x+2026, ∴a－b=1，b－c=1，c－a=1， ∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc =2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc =a2－2ab＋b2＋c2－2ac＋a2＋b2－2bc == 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 求二次代数式的最值，往往用配方法 已知W=－x2+2x－y2+8y+1,问W有最大值还是最小值？是多少？ 解：W=－x2+2x－y2+8y+1 =－x2+2x－1－y2+8y－16+1+1+16 =－(x－1)2－(y－4)2+18 ∵(x－1)2≥0，(y－4)≥0, ∴－(x－1)2≤0，－(y－4)≤0, ∴－(x－1)2－(y－4)2+18≤18， ∴W有最大值，最大值为18. 3. 如图，可验证的乘法公式是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 27 4.若，则 的值为____. 5.若，则代数式 为______. 6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式 的值是___. 8 返回 中考考法 28 7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 中考考法 29 利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆 成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式： 一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整 千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真 分数的和或差. . . . . . . 返回 中考考法 30 8.（1）解方程： ; 【解】 ， ， ， ， . 中考考法 31 （2）计算： . . 返回 中考考法 32 9. 母题教材P117习题 一个正方形的边长少了 ，它的 面积就减少了 ，那么这个正方形的边长为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 33 10. 母题母题 若，，则 ( ) A. 52 B. 50 C. 45 D. 60 【点拨】, . A 返回 中考考法 11.设，， ，若 ，则 的值是____. 16 【点拨】，，，.又， . 返回 中考考法 35 课堂小结 QING JING YIN RU 法则 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号，变形成符合公式的形式才行 3. 弄清完全平方公式和平方差公式的不同（从公式结构特点及结果两方面） 完全平方 公式 注意 (a±b)2 = a2±2ab + b2 常用结论 a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab； 4ab = (a + b)2 - (a - b)2. $