15.1.2《线段的垂直平分线》第一课时 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题，通过“饮水台位置”实际问题引导学生动手画图找距离相等的点，类比角平分线研究方法，搭建从具体操作到抽象性质的学习支架。 其亮点在于以实际问题激发数学眼光（几何直观、创新意识），通过类比猜想、严格证明培养数学思维（推理意识），用表格对比角平分线强化知识联系。采用“定义-探究-证明-应用”流程，小结突出互逆定理，助学生构建体系，教师可直接用于课堂提升效率。

第十五章 轴对称 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线（第一课时） 1 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的性质和判定，掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化，培养学生表达能力和推理意识. 2. 掌握证明线段垂直平分线的性质和判定的方法，培养学生类比能力和归纳能力. 3. 了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题；了解互逆定理. 2 课程导入 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 什么是线段的垂直平分线？ A B M N P 如图，MN⊥AB，垂足为P，且AP=BP，则称直线MN是线段AB的垂直平分线. 3 课程导入 学校要在操场边建一个饮水台，要求这个饮水台到操场两端的球门距离相等。你们觉得饮水台应该建在什么位置？如果有多个符合要求的位置，它们会连成怎样的线？ 动手画一画：在纸上标记出两个球门的位置 A 和 B，然后任意找一个到 A、B 距离相等的点 P，再找一个点 Q，同样让 QA=QB. 你发现了什么？ 4 新知探究 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线. 角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 5 新知探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现? 探究 A B l P1 P2 P3 6 新知探究 可以发现 P1A=P1B， P2A=P2B ， P3A=P3B ，… 7 新知探究 如果把线段 AB沿直线l对折，线段P1A与P1B， P2A与P2B ， P3A与P3B …都重合吗？它们都分别相等吗？ 如图，线段P1A与P1B， P2A与P2B ， P3A与P3B …都重合， 因此它们也分别相等. 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 8 新知探究 验证：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. 求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵ l ⊥AB ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 又AC=BC，PC=PC， ∴ △PCA≌△PCB (SAS) ∴ PA=PB. A B C P l 当点P与点C重合时，显然成立. 9 新知探究 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. A B C P l 几何符号语言： ∵ 直线l⊥AB，CA=CB. ∴ PA=PB 10 课堂练习 1.如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？ A B E D C 解：AB = AC = CE，AB + BD = DE. 理由： ∵AD⊥BC，BD = DC， ∴AD 是 BC 的垂直平分线. ∴AB = AC. 又点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴AC = CE. ∴AB = AC = CE. 又 BD = DC， ∴AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE. 11 新知探究 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 12 课堂练习 验证：如图，在△ABP 中 PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. A B P 证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°． 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， ∵PA = PB，PC = PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)． ∴AC = BC． 又 PC⊥AB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． C 13 新知探究 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何符号语言： ∵ PA=PB ∴ 点P在AB的垂直平分线上. A B P C 14 新知探究 从上面两个结论可以看出： 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 【性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【判定】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 15 课堂练习 2. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ A B M C 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 理由：∵AB = AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上. ∵MB = MC， ∴点 M 也在线段 BC 的垂直平分线上， ∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 16 新知探究 名称 角平分线 线段垂直平分线 图示 性质 判定 C A B O D E P A B P C 角平分线上的点到角两边的距离相等 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 角的平分线与线段的垂直平分线 17 新知探究 思考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？ 两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 18 新知探究 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 原命题 逆命题 互逆命题 19 新知探究 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 问题：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假. 1.对顶角相等 2.内错角相等，两直线平行 解：1.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 2.两直线平行，内错角相等. 思考：你发现了什么？ (假命题) (真命题) 20 新知探究 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 线段的垂直平分线的性质与判定 角的平分线的性质与判定 “两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” ······ 21 课堂练习 3. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1) 两直线平行，同位角相等； (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3) 全等三角形的对应角相等 . 解：(1)同位角相等，两直线平行. (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. (3)如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. （成立） （不成立） （不成立） 22 课程小结 线段的垂直平分线 互逆 定理 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 23 随堂演练 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（     ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 C 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为 （　 ） A．41° B．42° C．43° D．44° B C E B A D A B C E D 24 随堂演练 3. 如图，公园里有一块三角形草坪(△ABC)，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC 三个顶点的距离相等，则该树应种在（ ） 三条边的垂直平分线的交点处 三条角平分线的交点处 三条高的交点处 三条中线的交点处 A A B C 25 随堂演练 4. 如图，AD 是 △ABC 的角平分线，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 AE = AF，连接 DE，DF，EF. 求证：AD 垂直平分 EF. 证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD = ∠CAD. 在△ADE 和 △ADF 中， ∴△ADE ≌△ADF (SAS). A B D C F E 26 随堂演练 ∴ DE = DF . ∴点 D 在线段 EF 的垂直平分线上. ∵AE = AF， ∴点 A 在线段 EF 的垂直平分线上. ∴点 A，D 都在线段 EF 的垂直平分线上. ∴AD 是线段 EF 的垂直平分线， 即 AD 垂直平分 EF. A B D C F E 27 随堂演练 5.如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 且BE=CF. (1)求证：AD为∠CAB的角平分线； (2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明. A E B D F C G 28 随堂演练 (1)证明：连接CD，BD，如图所示. ∵DG为BC的垂直平分线， ∴CD = BD. ∵DE⊥AB ，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC (HL)， A E B D F C G 29 随堂演练 A E B D F C G ∴DE= DF. 在Rt△AFD和Rt△AED中， ∴Rt△AFD ≌Rt△AED (HL)， ∴∠FAD=∠EAD， ∴ AD为∠CAB的角平分线. 30 随堂演练 A E B D F C G (2) 解：AB+AC=2AE，理由如下： ∵ Rt △AFD≌Rt △ AED(HL)， ∴ AE = AF. 又∵ BE =CF. ∴ AB-AE=AF-AC. 即AB + AC =AE+ AF =2AE. ∴ AB+ AC=2AE. 31 第十五章 轴对称 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线（第一课时） 32 Lavf57.83.100 $