14.3《角的平分线》第二课时 角的平分线的判定 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的判定定理，通过复习角平分线性质，交换题设与结论提出猜想，经严谨证明得出判定定理，构建性质与判定的互逆知识支架，帮助学生形成完整知识脉络。 其亮点在于以“猜想-证明-应用”为主线，发展推理能力（数学思维），规范几何语言表述（数学语言），通过三角形角平分线交点等典例及对比表格小结，强化应用意识。学生能提升逻辑推理与解题能力，教师可借助清晰流程和丰富例题提高教学效率。

第十四章 全等三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 14.3 角的平分线 第二课时 角的平分线的判定 1 学习目标 1. 探索并证明角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力. 2. 熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用. 3. 在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识，增强学生解决问题的信心. 2 复习导入 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE. A O B C D E P 3 新知探究 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗?也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗? P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 A O B C D E P 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 4 新知探究 已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ∴∠POD=∠POE，即点P在∠AOB的平分线上. A D O E P C 5 新知探究 角的平分线的判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： 如图，∵点P为∠AOB内部一点， PD⊥OA，PE⊥OB. 且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上， 即OP平分∠AOB. A O B C D E P 位置关系 数量关系 6 新知探究 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线. 7 典例解析 例 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等. （2）△ABC的三条角平分线交于一点. A B C N M 分析：(1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等； P 8 典例解析 证明：（1）过点P作PD⊥AB ，PE⊥BC ，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离 相等. A B C N M D E F P 9 典例解析 例 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等. （2）△ABC的三条角平分线交于一点. A B C N M 分析： (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A 的平分线上. P 10 典例解析 A B C N M D E F （2）由（1）得，点P到边AB ， CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上， ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 归纳：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. P 11 新知探究 思考：到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？ 三角形三个内角的平分线的交点P1； 三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点P2 ，P3 ，P4. P1 P2 P3 P4 4个 12 课堂练习 1.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF. 求证：FD平分∠BFE. A F C B D E 证明：∵ AB⊥CD，CE⊥AD， ∴ ∠ABD= ∠CED=90°. 在△ABD和△CED中， 13 课堂练习 1.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF. 求证：FD平分∠BFE. A F C B D E ∴ △ABD≌△CED， ∴ BD= ED. 又AB⊥CD，CE⊥AD， ∴ FD平分∠BFE. 14 课堂练习 2.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P，求证： （1）点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等； （2）点P 在∠A 的平分线上. E C A B D P G F 15 课堂练习 证明：(1)如图，过点P分别作PJ，PI，PH垂直于三边AB，BC，AC所在的直线，垂足分别为J，I，H. ∵BF是∠CBD的平分线，点P在BF上， ∴PI=PJ. 同理，PH=PI. ∴PJ=PI=PH， 即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. E C A B D P G F J I H 16 课堂练习 E C A B D P G F J I H (2) 由(1)知PH⊥AE， PJ⊥AD，且PH=PJ， ∴ 点P在∠A的平分线上. 17 归纳小结 角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形 已知 条件 OP平分∠AOB， PD⊥OA于D， PE⊥OB于E PD=PE， PD⊥OA于D， PE⊥OB于E 结论 PD=PE OP平分∠AOB A O B C D E P A O B D E P 18 课程小结 角的平分线的判定 内容：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 作用：判断一个点是否在角的平分线上. 相关结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 19 随堂演练 1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时，点P在∠AOB的平分线上. 2.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB,∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=______. 6 55° A O B D E P A C O B M P N 20 随堂演练 3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处. 4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______. 4 5 l1 l2 l3 A B D C O 21 随堂演练 5.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证：AD是∠BAC的平分线. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中 ∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ∴DE=DF ∴AD是∠BAC的平分线. E B A F C D 22 随堂演练 6.如图，∠B= ∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. 求证：AE是∠DAB的平分线. 证明：过点E作EF⊥AD于点F. ∵ ∠B= ∠C=90°， ∴ DC⊥EC，EB⊥AB. ∵ DE平分∠ADC， ∴EC=EF. ∵ E是BC的中点， ∴ EC=EB. 又∵ EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线. D C E B A F 23 随堂演练 7.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证：BP为∠MBN的平分线. 证明：过P作PE⊥AC于E. ∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC ∴PD=PE ∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC ∴PF=PE ∴PD=PF ∵PD⊥BM，PF⊥BN ∴P在∠MBN的平分线上，即BP为∠MBN的平分线. D M A B C F N P E 24 第十四章 全等三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 14.3 角的平分线 第二课时 角的平分线的判定 25 $