25.2.1.2 配方法 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过旧知回顾完全平方公式及填空练习，引导学生发现常数项与一次项系数的关系，为新知探究搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“为何加9不加其他数”培养推理意识，例题分层覆盖系数为1、不为1及无实根情况提升运算能力，随堂演练结合几何形状判断等综合应用强化应用意识。结构化步骤总结帮助学生形成模型观念，学生能提升逻辑推理与规范运算能力，教师可高效落实教学目标。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.1.2 配方法 1 学习目标 1. 理解配方法的原理与解题步骤，能规范求解二次项系数为 1 和不为 1 的一元二次方程，会根据(x+m)2=p中p的正负判断方程实数根的情况. 2. 经历配方变形的探究过程，体会化归、分类讨论的数学思想，发展逻辑推理能力. 3. 在自主探究与运算实践中感受数学变形的严谨性，养成规范细致的代数运算习惯. 2 3 旧知回顾 完全平方公式： a2+2ab+b2 = ( )2 a2-2ab+b2 = ( )2 a+b a-b 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 4 旧知回顾 (1) x2+6x+ = (x+ )2； (2) x2-5x+ ( )2 = (x- )2； (3) x2+x +( )2 = (x+ )2. 填空： 9 3 x2±2mx+m2 = (x±m)2 观察这几个式子，你发现了什么规律? 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 5 新知探究 怎样解方程： x2+6x+4=0 x2+6x+4=0 x2+6x=-4 x2+6x+9=-4 +9 (x+3)2=5 两边加9，使左边配成 x2+2mx+m2 = (x+m)2的形式 移项 左边写成完全平方形式 问题1：怎样把方程变成(x+n)2=p的形式？ 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 6 新知探究 x2+6x+4=0 x2+6x=-4 x2+6x+9=-4 +9 (x+3)2=5 两边加9，使左边配成 x2+2mx+m2 = (x+m)2的形式 移项 左边写成完全平方形式 问题2：为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式. 7 新知探究 x2+6x+4=0 x2+6x=-4 x2+6x+9=-4 +9 (x+3)2=5 两边加9，使左边配成 x2+2mx+m2 = (x+m)2的形式 移项 左边写成完全平方形式 x+3=± x+3=，或x+3= x1=-3+，x2=-3- 降次 解一次方程 8 新知探究 将方程通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化成两个一元一次方程来解. 方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意：在二次项系数为1的前提下进行的. 9 新知探究 例2 解下列一元二次方程: (1) x2﹣8x+1=0 (2) 2x2+1=3x (3) 3x2﹣6x+4=0 分析：(1) 方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. 解：(1) 移项，得x2﹣8x=-1.配方，得 x2﹣8x +42= -1 +42. (x-4)2=15. x-4=. x1=4+ ，x2=4- . 10 新知探究 例2 解下列一元二次方程: (1) x2﹣8x+1=0 (2) 2x2+1=3x (3) 3x2﹣6x+4=0 分析：(2) 方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，方程的两边都除以2. 11 新知探究 (2) 2x2+1=3x 解：移项，得2x2-3x =-1. 二次项系数化为1，得：x2- x = - . 配方，得： x2- x + ()2 = - + ()2， (x)2 = ， x = ± ， x1=1，x2= . 12 新知探究 例2 解下列一元二次方程: (1) x2﹣8x+1=0 (2) 2x2+1=3x (3) 3x2﹣6x+4=0 分析：(3) 与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 13 新知探究 (3) 3x2﹣6x+4=0 解：移项，得3x2-6x = -4. 二次项系数化为1，得：x2- 2x = - . 配方，得： x2- 2x + 12 = - + 12， (x-1)2 = - . 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x-1)2 都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 14 新知探究 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1) 移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； (2) 二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数； (3) 配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； (4) 降次，利用平方根的意义降次； (5) 解两个一元一次方程，移项、合并同类项. 15 新知探究 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p. (1) 当p>0时，则x+n=±，方程有两个不等的实数根x1=-n+ ，x2=-n- ； (2) 当p=0时，则x+n=0，方程有两个相等的实数根x1=x2=-n； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根. 16 随堂演练 1. 填空: (1) x2+10x+ = (x+ )2； (2) x2-12x+ = (x- )2； (3) x2+5x + = (x+ )2；(4) x2- x+ = (x- )2. 25 5 36 6 17 随堂演练 (1) x2+10x+9=0； (2) x2-x-=0； (3) 3x2+6x-4=0； (4) 4x2-6x-3=0； (5) x2+4x-9=2x-11； (6) x(x+4)=8x+4. 2. 解下列方程： 解：(1) 移项，得x2+10x=-9 配方，得x2+10x+52=-9+ 52 (x+5)2=16 可得 x+5= ±4 x1=-1，x2=-9. (2)移项，得x2-x= 配方，得x2-x+ ()2= + ()2 (x- )2=2 可得 x- = ± x1= + ，x2= - . 18 随堂演练 (1) x2+10x+9=0； (2) x2-x-=0； (3) 3x2+6x-4=0； (4) 4x2-6x-3=0； (5) x2+4x-9=2x-11； (6) x(x+4)=8x+4. 2. 解下列方程： (3) 移项，得3x2+6x=4 二次项系数化为1，得x2+2x= 配方，得x2+2x+12= + 12 (x+1)2= 可得 x+1= ± x1=-1+ ，x2=-1- . (4)移项，得4x2-6x=3 二次项系数化为1，得x2-x= 配方，得x2- x+ ()2= + ()2 (x-)2= 可得 x-= ± ， x1= ，x2= . 19 随堂演练 (1) x2+10x+9=0； (2) x2-x-=0； (3) 3x2+6x-4=0； (4) 4x2-6x-3=0； (5) x2+4x-9=2x-11； (6) x(x+4)=8x+4. 2. 解下列方程： (5) 移项，得x2+4x-2x=-11+9 x2+2x =-2 配方，得x2+2x+12= -2+ 12 (x+1)2=-1 原方程无实数根. (6)移项，得x2+4x= 8x+4 x2-4x=4 配方，得x2- 4x+ 22= 4+ 22 (x-2)2=8 可得 x-2= ±2 ， x1= 2+ 2 ，x2=2- 2. 20 随堂演练 3.若一元二次方程4x2+12x+5=0的两根为a，b，且a>b，则3a+b的 值为( ) A.-4 B.- C.- D.-8 【点拨】对方程4x2+12x+5= 0移项得4x2+12x=-5，二次项系数化为1得x2+3x=- ，配方得x2+3x+()2=- +()2即(x+ )2=1，开方得x+ = ±1， 即x1=- ，x2=- ，由a>b，得a=- ，b=- ， ∴3a+b=3×(- )+(- )=- - =-4. 因此，3a+b的值为-4. A 21 随堂演练 4.若x2-4x+y2+6y++13=0，求(xy)z的值. 解：对原式配方，得(x-2)2+(y+3)2+ =0， 由非负数的性质可知 (x-2)2=0，(y+3)2=0， =0 由此可得x=2，y=-3，z=2. 因此(xy)z=[2 ×(-3)]2=(-6)2=36. 22 随堂演练 5. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 [(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]=0. 由代数式的性质可知 (a-b)2 =0， (a-c)2=0， (b-c)2 =0， a=b=c， 所以， △ABC为等边三角形. 23 课程小结 配方法 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 定义 一移常数项，并将二次项系数化为1 二配完全平方式【配上()2】 三写成(x+n)2=p (p≥0) 四直接开平方法解方程 步骤 求代数式或字母的值 应用 24 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.1.2 配方法 25 $