25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的定义，通过雕像高度、矩形铁皮制作方盒等实际问题导入，对比一元一次方程特征，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生抽象数学模型。 其亮点是依托生活情境培养数学眼光与模型意识，如排球邀请赛问题抽象方程；通过对比归纳定义、化简方程发展数学思维（运算能力、推理意识）。结构化小结梳理知识要点，助力学生构建体系，教师可高效开展概念教学。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.1 一元二次方程的概念 1 学习目标 1. 通过分析实际问题，列出含未知数的等式，对比一元一次方程的特征，抽象出一元二次方程的定义，能准确识别一元二次方程的一般形式. 2. 结合具体方程，运用整式运算，将方程化为一般形式，并能确定二次项系数、一次项系数和常数项，发展数学抽象与运算能力. 3. 经历从实际问题到数学模型的转化过程，体会方程是描述现实世界数量关系的重要工具，感受数学与生活的联系. 2 情境导入 A C B x 5-x x2+5x-25=0 同学们，这座雕像的总高度是 5 米，如果设雕像腰部以下的身长BC的长度为 x 米，那么腰部以上的身长AC就可以表示为 5-x 米. 根据题目中的比例关系，我们可以列出方程：x² + 5x - 25 = 0. 请大家观察这个方程，它和我们以前学习的一元一次方程有什么不同？ 3 情境导入 x2+5x-25=0 与一元一次方程相比较，上述方程也只含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，这就是我们今天要研究的一元二次方程. 4 新知探究 问题1 如图，有一块矩形铁皮， 长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 5 新知探究 图1 图2 (100–2x)(50–2x)=3600 整理并化简得：x2–75x+350=0. 设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm ，则盒底的长为(100–2x)cm，宽为(50–2x)cm ，根据方盒的底面积为3600cm2，可列得方程： x 100cm 50cm 3600cm2 6 新知探究 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场). 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛? 【分析】设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，因为 ，所以此次邀请赛共需进行x(x-1)场，可列得方程 x(x-1)=7×4 整理并化简得 x2-x-56=0. 甲对乙与乙对甲是同一场比赛 7 新知探究 思考 方程x2+5x-25=0， x2-75x+350=0， x2-x-56=0有什么共同点？ (1) 这些方程的两边都是______， (2) 方程中只含有 未知数，未知数的最高次数是 . (3) 这些方程是 . 一元二次方程 整式 一个 2 8 新知探究 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 下列方程： ① =5； ② 8x2=x； ③ x3 -4x =0； ④ ax2+2x-3=0； ⑤ x2=3y+1； ⑥ =x-1； ⑦ x(2x-3)=2x(x-1). 其中一定是一元二次方程的是： . (填序号) 提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 需同时满足 3 个条件. 9 新知探究 分析：① =5： ② 8x2=x： ③ x3 -4x =0： ④ ax2+2x-3=0： ⑤ x2=3y+1： ⑥ =x-1： ⑦ x(2x-3)=2x(x-1)： 其中一定是一元二次方程的是： . (填序号) ② 分母含未知数，是分式方程 整理得8x2-x=0，满足全部条件 未知数最高次数是3 未说明a≠0 含两个未知数 根号内含未知数，无理方程 展开化简后最高次数为1 10 新知探究 一元二次方程的一般形式 ax 2 + bx + c = 0（a≠0） 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 ax 2 a bx b c 为什么要限制a≠0，b，c可以为零吗？ 11 新知探究 当a=0时，ax2+bx+c=0 → bx+c=0 (一元一次方程) 当a≠0，b=0时， ax2+bx+c=0 → ax2+c= 0 (一元二次方程) 当a≠0，c=0时， ax2+bx+c=0 → ax2+bx= 0 (一元二次方程) 当a≠0，b=0，c=0时， ax2+bx+c=0 → ax2= 0 (一元二次方程) 【结论】只要满足a≠0，a，b，c可以为任意实数. 12 新知探究 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ 一元一次方程 一元二次方程 一般式 ax+b=0 (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 13 新知探究 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 注意：系数和项均包含前面的符号. 3 -8 -10 14 新知探究 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例 已知方程x2-4mx+2m2=0的一个根为2，求代数式3（m-2）2-1的值. 解：依题意得：22-4m×2+2m2=0， 整理得：（m-2）2=3， 所以3（m-2）2-1=3×32-1=26， 即3（m-2）2-1=26． 分析：一个根为2，即x=2. 把x=2代入原方程. 15 随堂演练 1. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数，常数项： （1） ； （2）； （3） ； （4）. 解：（1） ； （2）； 一般形式： 0 二次项系数：5 一次项系数：-4 常数项：-1. 一般形式： 0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：-81. 16 随堂演练 1. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数，常数项： （1） ； （2）； （3） ； （4）. （3） ； （4）. 一般形式： 0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：-25. 一般形式： 0 二次项系数：3 一次项系数：-7 常数项：1. 17 随堂演练 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1) 4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； 解：设正方形的边长为x，列得方程4x2=25， 化为一般形式为4x2 -25=0. 18 随堂演练 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (2) 一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； 解：设矩形的长为x，列得方程x(x-2)=100， 化为一般形式为x2 -2x-100=0. 19 随堂演练 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (3) 把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：设较短木条的长为x，列得方程 x ·1=(1-x) 2， 化为一般形式为x2 -3x+1=0. 20 随堂演练 3.方程（2a—4）x2 —2bx+a=0，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2，b≠0时是一元一次方程. 21 随堂演练 4.（1）当m为何值时，关于x的方程(m2-1) x2+mx-2=0是一元二次方程？ （2）已知关于x的一元二次方程(m2-1) x2+mx-3-m=0有一个根是0，求m的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是1，那么m应该等于什么数？ 解: （1）当m2-1≠0，即m≠±1时，方程是一元二次方程. （2）由题意得：-3-m=0，即m=-3. (3)当x=1得：m2-1+m-3-m=0. 解得：m=±2. 22 课程小结 一元二次方程 判断：①是整式方程； ②含一个未知数；（一元） ③最高次数是2.（二次） 一般形式：ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 解(根)：使方程左右两边相等的未知数的值. 定义：等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是2的方程 23 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.1 一元二次方程的概念 24 $