25.3.2 传播问题与变化率问题 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“传播问题与变化率问题”，通过传染病传播、成本下降等实际情境导入，引导学生经历“问题情境—抽象模型—求解验证”过程，衔接一元二次方程解法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以真实问题为载体，通过特值分析、表格梳理培养数学眼光（抽象能力），引导列方程并验证解的合理性发展数学思维（推理意识），总结a(1±x)ⁿ=b模型强化数学语言（模型意识）。如传染病传播推导n轮后人数公式，成本问题对比下降额与下降率，助学生提升建模能力，教师可直接用于教学提高效率。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3.2 传播问题与变化率问题 1 学习目标 1. 通过分析传播、增长率两类实际问题，经历 “问题情境 — 抽象模型 — 求解验证” 的过程，掌握用一元二次方程解决变化类生活问题的方法，发展数学建模能力. 2. 结合方程解的讨论（如解的正负、取值合理性），学会判断实际问题中解的有效性，提升逻辑推理与批判性思维. 3. 通过探究交流解决拓展问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强用数学知识解决实际问题的信心，培养应用意识. 2 3 新知探究 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人? 探究1 (1)本题中有哪些等量关系？如何理解两轮传染？ (2)若设每轮传染中平均1个人传染了x个人，那么第一轮后，共有 人患了流感；第二轮后共有 人患了流感； (3)本题中的等量关系是什么？请列出方程并求解. 4 新知探究 特值分析法： 如果每轮每人传染2人. 第1轮传染后患病人数 人； 第2轮传染后患病人数 人. 注意：不要忽视初始人数的二次传染 (1+2)=3 (1+2+2×3) 第1轮传染 第2轮传染 5 新知探究 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 第一轮传染：原本1个病人，传染了x个人，第一轮后共有 人患病. 第二轮传染：第一轮患病的 人，每人又传染x个人，第二轮传染后共有 人患病. 根据等量关系 . 列方程： . x+1 x+1 “两轮传染后，有121人患了流感” x+1+x(x+1) x+1+x(x+1)=121 6 新知探究 探究1 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人? 解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 列方程x+1+x(x+1)=121. 解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 7 新知探究 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？n轮后呢？由此体会阻断病毒传播的必要性. 解：两轮后传染121人，第三轮每人再传染10人： 121+121×10=1331 答：经过三轮传染后共有1331人被传染. 8 新知探究 设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1·x=x (1+x)1 第二轮 1+x (1+x)·x 1+x+(1+x)·x=(1+x)2 第三轮 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)2+(1+x)2·x=(1+x)3 第n轮 (1+x)n-1 (1+x)n-1·x (1+x)n 9 新知探究 思考 如果最初有2个人，按照这样的传染速度，n轮传染后有多少人患流感？a个人呢？ 数量关系：第一轮传播后的数量=传播源× (1+每次传播人数)； 第二轮传播后的数量=传播源× (1+每次传播人数)2； 第三轮传播后的数量=传播源× (1+每次传播人数)3； 第n轮传播后的数量=传播源× (1+每次传播人数)n； 传播问题数量=a×(1+x) n. 10 新知探究 两年前生产1t甲种食品的成本是10 000元，生产1t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6 000元，生产1t乙种食品的成本是7 200元.哪种食品成本的年平均下降率较大? 探究2 问题1 甲种、乙种食品年平均下降额分别是多少？ 甲：(10 000-6000) ÷2=2000 (元) 乙：(12 000-7200) ÷2=2400 (元) 11 新知探究 两年前生产1t甲种食品的成本是10 000元，生产1t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6 000元，生产1t乙种食品的成本是7 200元.哪种食品成本的年平均下降率较大? 探究2 问题2 甲种、乙种食品年平均下降率分别是多少？它们和下降额相同吗？ 下降率 = 12 新知探究 设甲种食品成本的年平均下降率为x. 则一年后甲种食品成本为10 000(1－x)元， 两年后甲种食品成本为10 000(1－x)2元， 于是有：10 000(1－x)2=6 000. 解方程，得：x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 13 新知探究 为什么选择22.5%作为答案？ x是下降率，必须0＜x＜1， ∵1.775＞1， ∴不符合实际，应舍去. ∴取22.5%. 14 新知探究 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 设乙种食品成本的年平均下降率为y. 可列方程：12 000(1－y)2=7200. 解方程，得：y1≈0.225，y2≈1.775(舍去) 所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 15 新知探究 因为 ， ， x甲=y乙 所以甲乙两种食品成本的年平均下降率相等. 16 新知探究 思考 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 结论： 甲、乙两种食品的年平均下降额不相等（乙种食品年平均下降额 2400 元，大于甲种的 2000 元），但二者的年平均下降率相等，均约为 22.5%. 17 新知探究 下降额与下降率的关系 成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大. 下降额是绝对变化量，反映成本减少的具体数值，大小和初始成本基数直接相关； 下降率是相对变化幅度，反映成本下降的比例，是下降额与初始成本的比值.当初始成本基数不同时，下降额更大的对象，下降率未必更高.本题中乙种食品下降额更大，但因初始成本基数也更高，最终下降率与甲种食品相同. 18 新知探究 要全面比较多个对象的变化情况，需要同时从两个维度分析： 绝对变化维度：比较下降额（或增长额），了解具体数值的变化规模，衡量变化的绝对量； 相对变化维度：比较下降率（或增长率），了解相对于初始基数的变化比例，衡量变化的相对快慢与幅度. 只有结合绝对量与相对量两个维度，才能完整、客观地评价不同对象的变化特征，避免单一指标带来的片面判断. 19 新知探究 例 某市政府工作报告：某年全市生产总值为1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到2180亿元，求某市的平均每年增长率. 解：设某市的平均每年增长率为x. 由题意，得 1585(1 +x)2=2180 解得x1 ≈ 0.172，x2 ≈ -2.172(不符合题意，舍去). 答：某市的平均每年增长率约为17.2%. 增长率不可为负，但可以超过1. 20 新知探究 平均增长率 设基础量为a，平均增长率为x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为a(1+x)2......依此类推，n次增长后的量为a(1+x)n 平均降低率 设基础量为a，平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1-x)，两次降低后的量为a(1-x)2......依此类推，n次降低后的量为a(1-x) n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 21 小结归纳 1. 若原有a个传染源，每轮每个传染 x人，传染 n 轮后的总人数为 a(1+x) n. 2. 解决增长率与下降率问题的公式：a(1±x)"=b，其中a是变化前的量，x为平均增长率或平均下降率，n为增长(或下降)的次数，b为增长(或下降)后的量. 22 随堂演练 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支，如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支? 解：设每个支干长出x个小分支. 依题意可列方程1+x+x2=91. 解这个方程，得x1=9，x2= -10(不合题意，舍去). 答：每个支干长出9个小分支. 23 随堂演练 2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产15000kg，两年后平均每公顷产18000kg. 求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率(结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位). 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x. 由题意，得15000(1+x)2=18000， 化简得： (1+x)2 = =1.2. 直接开平方：1+x= ± . 增长率取正，解得x= -1≈0.095445. 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.54%. 24 随堂演练 3.一农户家的田地中有3株农作物感染了病虫害，经过两轮传染后共有192株农作物感染病虫害.每轮传染中平均一株农作物传染了多少株农作物? 解：设每轮传染中平均一株农作物传染了x株农作物. 依题意，得3(1+x)2=192， 解得x1=7，x2=-9(不符合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一株农作物传染了7株农作物. 25 随堂演练 4. 某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元. 若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为多少?经调查，该商品每降价0.2元，每月可多销售10件. 若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品多少件? 解：设降价率为x. 由题意，得40(1-x)2=32.4， 解得x1=1.9(舍去)，x2= 0.1=10%. 即降价率为10%. 两次调价后每月可销售商品的数量为500+10 × = 880(件). 26 课程小结 1. 步骤：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答. 2. 传播问题： (1+x) n. 3. 平均变化率问题： a(1±x)n=b. 27 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3.2 传播问题与变化率问题 28 $