25.3.2传播问题与变化率问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与变化率问题，核心知识点包括传播总人数公式(1+x)²及变化率公式a(1±x)²。课堂导入通过药品成本下降问题引出下降率，再过渡到增长率，构建从具体实例到抽象公式的学习支架。 其亮点在于结合流感传播、商品涨价等实际情境，通过问题探究与拓展思考（如对比传播和增长率问题核心区别），培养学生抽象能力、模型意识和推理能力。学生能提升用数学语言表达现实问题的能力，教师可借助系统练习与清晰脉络高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.3.2传播问题与变化率问题 2026年7月31日 人教版九年级上册25.3.2实际问题与一元二次方程（传播问题与变化率问题）专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 病毒、消息传播问题：若每轮每人传播$$x$$人，初始1人感染，经过两轮传播后总感染人数为________。 2. 平均增长率问题公式：基数为$$a$$，平均增长率为$$x$$，经过两轮增长后数量为________。 3. 平均降低率问题公式：基数为$$a$$，平均降低率为$$x$$，经过两轮降低后数量为________。 4. 传播问题中，总人数公式包含________和新增人数，不可直接用两轮新增人数求和。 5. 增长率、降低率的取值范围是________，结果需要根据实际情况取舍。 6. 某商品原价100元，两次涨价，每次涨价百分率为$$x$$，两次涨价后价格为________。 7. 一轮传播后人数为$$1+x$$，二轮传播新增人数为________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 有1人感冒，每轮每人传染$$x$$人，两轮后共81人感冒，方程正确的是（） A.$$1+x+x^2=81$$ B.$$(1+x)^2=81$$ C.$$1+x=81$$ D.$$x^2=81$$ 2. 某产品原价200元，连续两次降价，百分率均为$$x$$，现价128元，方程为（） A.$$200(1-2x)=128$$ B.$$200(1-x)^2=128$$ C.$$200(1+x)^2=128$$ D.$$200-2x=128$$ 3. 某种病毒每轮1人传染4人，经过两轮传播后，总感染人数是（） A.20 B.25 C.16 D.81 4. 某工厂产值两年内翻一番，设年均增长率为$$x$$，若原产值为$$a$$，方程为（） A.$$a(1+x)^2=2a$$ B.$$a(1+x)^2=a$$ C.$$ax^2=2a$$ D.$$2a(1+x)^2=a$$ 5. 关于变化率问题，下列说法正确的是（） A.增长率可以大于1 B.降低率可以大于1 C.无需检验方程的根 D.公式中基数随次数变化 6. 微信群消息传播，1人发消息，每轮每人传给3人，两轮后新增人数为（） A.13 B.15 C.16 D.19 7. 某药品连续两次降价，由60元降至48.6元，平均每次降价百分率为（） A.10% B.15% C.20% D.25% 三、解答题（共42分） 1. 基础传播、变化率应用题（每题6分，共24分） 1. 有1名同学携带流感病毒，经过两轮传播后共有121人患病，求每轮平均1人传染几人？ 2. 某商店商品原价50元，连续两次涨价，每次涨幅相同，两次后售价72元，求平均涨价百分率。 3. 某种细菌不断繁殖，初始有20个细菌，两轮繁殖后共有180个，求每轮繁殖增长率。 4. 一款电子产品连续两次降价，原价800元，现价512元，求平均每次降价百分率。 2. 传播变式综合题（9分） 一条短视频在网络传播，初始1人观看，每轮每人转发给相同数量的人，经过两轮传播后，总观看人数为169人，求每轮每人转发的人数。 3. 产值变化率应用题（9分） 某工厂今年产值为400万元，计划两年后总产值达到576万元，求这两年的平均年增长率。 参考答案 一、基础知识点填空 1. $$(1+x)^2$$ 2. $$a(1+x)^2$$ 3. $$a(1-x)^2$$ 4. 原有感染者 5. $$0<x<1$$ 6. $$100(1+x)^2$$ 7. $$x(1+x)$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B 7.A 三、解答题 1. 解：（1）设每轮传染$$x$$人，$$(1+x)^2=121$$，解得$$x=10$$，每轮传染10人。 （2）设涨价率$$x$$，$$50(1+x)^2=72$$，解得$$x=0.2=20\%$$。 （3）设增长率$$x$$，$$20(1+x)^2=180$$，解得$$x=2=200\%$$。 （4）设降价率$$x$$，$$800(1-x)^2=512$$，解得$$x=0.2=20\%$$。 2. 解：设每轮每人转发$$x$$人，$$(1+x)^2=169$$，解得$$x=12$$，每轮每人转发12人。 3. 解：设年均增长率为$$x$$，$$400(1+x)^2=576$$，解得$$x=0.2=20\%$$，平均年增长率为20%。 拓展思考题 思考：传播问题和增长率问题公式相似，核心区别是什么？ 答：传播问题基数会随每轮传播累加扩大，所有人均可参与下一轮传播；增长率问题固定以原有基数为基础增减，二者模型一致但实际意义不同。 （总字数：1020） 通过阅读课本可以根据实际传播问题中的等量关系列出方程，掌握应用题的解题步骤，提高学生的模型意识. 通过用一元二次方程解决实际问题，提高从相关实际问题中抽象并表达出等量关系的能力. 通过教师讲解学生可以感受用一元二次方程解决相关实际问题的必要性以及在实际背景下检验解的合理性，增强应用意识. 新课导入 导入课题 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 本节课我们学习增长/下降率问题. 推进新课 知识点1 有关增长/下降率的问题 探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？ 下降率是下降额与原成本的比值； 下降率= ×100% 原成本－终成本 原成本 ①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为 ，再次下降后的成本变为 .（用代数式表示） ②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系 可得方程 ，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？ 5000(1-x) 5000(1-x) 2 终成本=原成本×(1－下降率)2 5000(1-x)2=3000 应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数. 成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大. ③ 设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则由等量关系 可得方程 . ④成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？ 终成本=原成本×(1－下降率)2 6000(1-y)2=3600 ⑤解决下面的问题，它与探究2有什么不同？ 某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率. 解：设总产值的年平均增长率为x. 依题意100(1+x)2=121， 解得:x1=0.1，x2=-2.1(舍去)， ∴年平均增长率为10%. 与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率. 1. 返回 有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有________人患了流感；第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了________人，第二轮过后共有________人患了流感． 7 42 49 考试考法 10 返回 2. [教材P22练习T1变式]某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是31.若设主干长出x个支干，则所列方程正确的是(　　) A．(1＋x)2＝31 B．1＋x＋x2＝31 C．(1＋x)x＝31 D．1＋x＋2x＝31 B 考试考法 随堂演练 基础巩固 1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨, 平均每月增长率是x,列方程为( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2. 受全球金融危机的影响，2015年某家电商城的销售额 由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则 该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为( ) A.10% B.20% C.19% D.25% B A 返回 3. [教材P21探究1变式]冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 B 考试考法 返回 4. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问1名同学每节课手把手教会了多少名同学？ 解：设1名同学每节课手把手教会了x名同学， 由题意得1＋x＋(1＋x)x＝49， 解得x1＝6，x2＝－8(不合题意，舍去)． 答：1名同学每节课手把手教会了6名同学． 考试考法 3. 某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒.假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率. 解：设这种药品每次降价的百分率为x. 由题意125(1-x)2=80. 解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去) 答：这种药品每次降价的百分率为20%. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，对某款纯电动的新能源汽车连续两次降价，平均每次降价的百分率为x.已知这种新能源汽车的原价是每辆25万元，则第一次降价后每辆的售价为________万元，第二次降价后每辆的售价为_________万元．若经过两次降价后这种新能源汽车每辆的售价为16万元，则可列方程为_____________． 返回 5. 25(1－x) 25(1－x)2 25(1－x)2＝16 考试考法 [广东中考]广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　) A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100 C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100 返回 6. A 考试考法 返回 7. [邯郸期中]为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则平均每次降价的百分率是(　　) A．20% B．22% C．25% D．28% C 考试考法 返回 8. 【情境题 航空航天】今年是中国航天事业创建70周年．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型11月售出256件，12月、1月销量持续走高，1月售出400件，求12月、1月这两个月的月平均增长率． 解：设12月、1月这两个月的月平均增长率为x， 根据题意，得256(1＋x)2＝400， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去)． 答：12月、1月这两个月的月平均增长率为25%. 考试考法 返回 9. 小红开了一家商店，今年2月盈利2 000元，4月盈利2 880元，若从2月到5月，每月盈利的增长率相同，则该商店5月盈利(　　) A．576元 B．3 320元 C．3 456元 D．3 880元 C 考试考法 20 课堂小结 增长(下降)率问题 增长率问题 下降率问题 基数为a,平均增长/下降率为x 第一次增长 第二次增长 第n次增长 第一次下降 第二次下降 第n次下降 a(1+x) a(1+x)2 a(1+x)n a(1－x) a(1－x)2 a(1－x)n a(1±x)n 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS $