25.2.1.1 直接开平方法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过正方形花坛面积问题导入，从\(x^2 = 4\)到\((x+3)^2 = 5\)，对比一元一次方程引出“降次”思想，以平方根旧知为支架衔接新知。 其亮点是以“降次转化”为核心，情境导入培养数学眼光（观察实际问题），新知探究从具体方程到一般规律发展数学思维（运算能力、推理意识），随堂演练结合变式问题强化数学语言表达（模型意识）。学生能提升方程求解与应用能力，教师可借助分层练习和清晰步骤提高教学效率。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.1.1 直接开平方法 1 学习目标 1. 理解直接开平方法“降次转化”的核心思想，能准确判断一元二次方程是否适合用直接开平方法求解. 2. 运用直接开平方法的步骤，独立求解形如𝑥2=𝑝或(𝑚𝑥+𝑛)2=𝑝（𝑚≠0）的一元二次方程，能正确处理𝑝>0、𝑝=0、𝑝<0三种情况的根的判定. 3. 结合生活中的实际情境，将实际问题转化为一元二次方程模型并求解，体会数学方法的实用性，提升用数学语言表达现实世界的能力. 2 情境导入 同学们，学校要修建一块正方形花坛，规划面积是 4 平方米. 如果设花坛的边长为 x 米，你能列出对应的方程吗？ 我们可以得到方程 x²=4. 仔细观察，这个方程和我们之前学的一元一次方程有什么不同？带有平方项的它，我们还能直接求出 x 的值吗？ 面积：4m2 x2=4 x 一元一次方程 x+2=5 3 情境导入 如果调整方案：在原边长基础上增加 3 米，新正方形的面积为 5 平方米，我们又能列出方程 (x+3)²=5. 这个方程又该如何求解呢？ 面积：5m2 x+3 (x+3)2=5 4 情境导入 这两个方程都是一元二次方程.回想一下，我们会解的是一元一次方程. 那有没有办法，把二次方程转化成我们熟悉的一次方程呢？ 降次 今天这节课，我们就一起来研究如何通过 “降次” 来解一元二次方程. 能不能把“二次”变成“一次”？ (x+3)2=5 x2=4 5 旧知回顾 1.如果x2=a，则x叫作a的 . 2.如果x2=a(a≥0)，则x= . 3.任何数都有平方根吗? 平方根 负数没有平方根. ± 6 新知探究 【试一试】解下列方程，并说明你所用的方法. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=-2. 解：根据平方根的意义，得x1= x2= 0. 解：根据平方根的意义，得x2= -1. 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 7 新知探究 一般地，对于方程x2=p， (1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x1=， x2=； (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 8 新知探究 对照上面解方程x2=4的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5？ 探究 我们刚才尝试求解形如x2=p(p≥0)的式子，针对形如(x＋a)2＝p(p≥0)的式子，我们可以尝试用数学转化的思想进行求解. 9 新知探究 (x＋a)2＝p（p≥0） x2＝p（p≥0） 变形为 由方程(x+3)2=5 ① 得x+3= =± . 即x+3= ，或x+3=- . ② 则方程(x+3)2=5的两个根为x1= - 3 + ，x2= - 3 - . 由方程1得到2，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程1转化为我们会解的方程了. 10 新知探究 例1 解下列方程： (1) 4x2-3=0 解：移项，并将二次项系数化为1， 得x2= ， 由此可得 x=± ， 即 x1= ，x2= - . 11 新知探究 (2) (x+2)2-9=0 解：移项，得(x+2)2=9， 由此可得x+2= ± 3， x+2=3，或x+2=-3， 即x1=1，x2=-5. 12 随堂演练 1.解下列方程: (1) x2-9=0； (2) 2x2-8=0； (3) 9x2-5=3； 解：(1) x2=9 x1=3，x2=-3 (2) 2x2=8 x2=4 x1=2，x2=-2 (3) x2= x1= ，x2=- 13 随堂演练 (4) (x+6)2-9=0； (5) 3(x-1)2-6=0； (6) x2-4x+4=5. (4) (x+6)2=9 x+6=±3 x1=-3，x2=-9 (5) 3(x-1)2=6 (x-1)2=2 x-1=± x1= 1+，x2= 1- (6) (x-2)2=5 x-2=± x1= 2+，x2= 2- 14 随堂演练 2.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别是m-1和2m+3，则的值为( ) A. 16 B. C. 25 D. 或25 【点拨】： ∵一元二次方程ax2=b的两根分别是m-1和2m+3 ， ∴ m-1+2m+3=0，解得m=- . ∴ =x2=(m-1)2= . B 15 随堂演练 3. 解下列方程： (1) 2(2x-1)2-10=0； 解：由2(2x-1)2-10=0，得(2x-1)2=5. 由此可得2x-1=±， 2x-1= ，或2x-1= -， 即x1= ， x2= 16 随堂演练 (2) y2-4y+4=8； 解：原方程可化为(y-2)2=8. 由此可得y-2=±2， y-2= 2，或y-2=- 2， 即y1=2+ 2，y2=2- 2. 17 随堂演练 (3) 4(3x-1)2-9(3x+1)2=0. 解：原方程可化为4(3x-1)2=9(3x+1)2. 由此可得2(3x-1)=±3(3x+1)， 2(3x-1)=3(3x+1)，或2(3x-1)=-3(3x+1)， 即x1=- ， x2=- . 18 随堂演练 4. 已知方程(x-3)2=k2+5的一个根是x=6，求k的值和另一个根. 解：∵方程(x-3)2=k2+5的一个根是x=6 ， ∴(6-3)2= k2+5 ， 解得k= ±2. ∴原方程为(x-3)2=9， 解得x1=6，x2=0. ∴另一个根为x=0. 19 课程小结 直接 开平方 利用平方根的定义求方程的根的方法 概念 把方程化为x2=p(p≥0)或(x+n)2=p (p≥0) 步骤 一元二次方程 基本思路 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 20 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.1.1 直接开平方法 21 $