25.2.1.1直接开平方法课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过“油漆刷正方体盒子”的实际问题导入，引导学生从等量关系列出x²=25，借助平方根意义过渡到方程求解，搭建从具体问题到抽象方法的学习支架。 其亮点在于以“降次”思想为主线，通过问题链（如从x²=p到(mx+n)²=p的转化）培养学生推理意识，练习题分层设计（基础选择到综合应用）强化运算能力。课堂小结系统归纳根的情况，帮助学生形成结构化认知。学生能提升数学思维与应用能力，教师可获得清晰的教学流程与丰富资源支持。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 25.2.1.1 直接开平方法 练习题 知识点回顾：直接开平方法适用于形如$$x^2=p(p\geq0)$$或$$(mx+n)^2=p(p\geq0)$$的一元二次方程。当$$p>0$$时，方程有两个不相等的实数根；当$$p=0$$时，方程有两个相等的实数根；当$$p\lt0$$时，方程无实数根。核心原理是利用平方根的定义直接开平方求解，是解一元二次方程最基础、最简便的方法。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，适合用直接开平方法求解的是（） A. $$x^2+2x=0$$ B. $$(x-3)^2=9$$ C. $$x^2-4x+1=0$$ D. $$x^2+3x-2=0$$ 2. 方程$$x^2-16=0$$的根是（） A. $$x=4$$ B. $$x=-4$$ C. $$x=\pm4$$ D. 无实数根 3. 若方程$$(x+a)^2=0$$，则方程的根的情况是（） A. 两个不相等实数根 B. 两个相等实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 方程$$2x^2=8$$的解为（） A. $$x=2$$ B. $$x=-2$$ C. $$x=\pm2$$ D. $$x=\pm4$$ 5. 方程$$(2x+1)^2=-4$$的根的情况是（） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 解方程$$x^2=25$$，得$$x=$$__________。 2. 方程$$(x-2)^2=1$$的两个根是__________。 3. 若$$3x^2-27=0$$，则$$x=$$__________。 4. 方程$$(3x+2)^2=0$$的实数根为__________。 5. 已知$$(x+m)^2=16$$的一根为$$x=1$$，则$$m=$$__________。 三、解答题（共60分） 1.（24分）用直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）$$x^2-9=0$$ （2）$$4x^2=36$$ （3）$$(x+1)^2=4$$ （4）$$(2x-3)^2=25$$ 2.（18分）用直接开平方法求解复杂变式方程。 （1）$$(x-2)^2-12=0$$ （2）$$3(x+3)^2=27$$ （3）$$4(2x-1)^2-16=0$$ 3.（18分）综合应用题。 （1）已知一个数的平方比它本身大12，利用直接开平方法列方程求这个数； （2）若方程$$(x-k)^2=k-2$$有实数根，求$$k$$的取值范围，并求出当$$k=3$$时方程的根。 参考答案 一、选择题：1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 二、填空题：1.$$\pm5$$ 2.$$x_1=3，x_2=1$$ 3.$$\pm3$$ 4.$$x_1=x_2=-\frac{2}{3}$$ 5.$$3$$或$$-5$$ 三、解答题：1.（1）$$x_1=3，x_2=-3$$；（2）$$x_1=3，x_2=-3$$；（3）$$x_1=1，x_2=-3$$；（4）$$x_1=4，x_2=-1$$。2.（1）$$x_1=2+2\sqrt{3}，x_2=2-2\sqrt{3}$$；（2）$$x_1=0，x_2=-6$$；（3）$$x_1=\frac{3}{2}，x_2=-\frac{1}{2}$$。3.（1）设这个数为$$x$$，$$x^2= x+12$$，整理得$$x^2-12=x$$，解得$$x=4$$或$$x=-3$$；（2）$$k\geq2$$，$$k=3$$时，$$x_1=4，x_2=2$$。 25.2.1.1直接开平方法 学习目标 1.初步了解利用转化思想降次解一元二次方程的思路. 2.会利用直接开平方法对形如 ( x + m)² = n (n > 0) 的 一元二次方程进行求解. 3. 通过探究用直接开平方法解一元二次方程， 培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学 的思维思考现实. 学习目标 新课导入 导入课题 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长. 问题1：本题的等量关系是什么？ 问题2：设正方体的棱长为xdm，请列出方程并化简. 相等 6x2×10=1500 化简为：x2=25 学习目标 （1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一 元二次方程. （2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想. 推进新课 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题1 根据平方根的意义解导入列出的方程： x2=25. 解：根据平方根的意义，得 x= ±5 即 x1=5，x2=-5 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm. 巩固练习 根据平方根的意义解方程 x2=36； 2x2-4=0； 3x2-4=8. x=±6 x1=6，x2=-6 x2=4 x=±2 x1=2，x2=-2 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 规律总结 知识点1 方程 的解法 1. 老师出示问题：解方程 .四名同学给出了以下答 案：甲：；乙：;丙： ；丁： , .下列判断正确的是( ) D A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 中考考法 8 知识点2 降次 你认为应怎样解方程(x+3)2=5? 由方程x2=25得x=±5. 以此类推： 由方程(x+3)2=5，可得 解方程 (x+3)2=5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解. 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 , 当p<0时，方程(mx+n)2=p . 无实数根 2. 若一元二次方程的两根分别是 和 ，则 的值为( ) B A. 16 B. C. 25 D. 或25 【点拨】 一元二次方程的两根分别是 和 ，，解得 . ． 中考考法 11 巩固练习 (x+6)2－9=0 3(x－1)2－12=0 解：(x+6)2=9 x+6=+3 x1=－3, x2=－9 解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2 x1=3, x2=－1 随堂演练 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一 次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 2. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 3. 若8x2-16=0，则x的值是 . D D   4. 解关于x的方程(x+m)2=n. 解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得 x+m=± ，方程的两根为x1= -m, x2=- -m. ②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得 x+m=0，方程的两根为x1=x2=-m. ③当n<0时，因为对任意实数x，都有 (x+m)2≥0，所以方程无实数根. 3.解方程： （1） ； 【解】 , ， ， ， . 中考考法 15 （2） . ， ， ， ， ， . 中考考法 16 知识点2 方程 的解法 4. 如果关于的方程 可以用直接开平方法求 解，那么 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 5.在等式（□） 中，□内的数是________. 2或 中考考法 17 6. 解方程： （1） ; 【解】 ， ， ， . 中考考法 18 （2） . ， ， ， ， . 中考考法 19 课堂小结 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 , 当p<0时，方程(mx+n)2=p . 无实数根 $