25.3.1 几何图形问题 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决几何图形问题，通过旧知回顾（如三角形、矩形等面积公式）搭建学习支架，以“连续整数直角三角形”“围矩形面积”等问题情境导入，衔接一元二次方程解法与实际应用，引导学生经历“问题情境—抽象模型—求解验证”的流程。 其亮点在于以“审题—设元—列方程—解方程—检验—作答”六步流程为核心，结合例1（连续整数直角三角形）、例2（围矩形面积）等实例，培养学生数学建模能力与逻辑推理（数学思维），通过解的合理性讨论（如边长非负）发展批判性思维（数学眼光）。采用问题链驱动与小组合作，小结归纳设元技巧与检验方法，帮助学生提升应用意识（数学语言），教师可直接用于课堂教学，提高效率。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3.1 几何图形问题 1 学习目标 1. 通过分析实际问题，经历“问题情境—抽象模型—求解验证”的过程，掌握用一元二次方程解决几何与生活问题的方法，发展数学建模能力. 2. 结合方程解的讨论（如解的正负、合理性），学会判断实际问题中解的有效性，提升逻辑推理与批判性思维. 3. 通过小组合作解决拓展问题，体会数学与生活的联系，增强用数学知识解决实际问题的信心，培养应用意识. 2 旧知回顾 1. 直角三角形的面积公式： . 2. 一般三角形的面积公式： . 3. 正方形的面积公式： . 4. 长方形的面积公式： . 5. 梯形的面积公式： . S= ab(a、b为两条直角边长) S= ah(a为三角形的底，h为这条底对应的高) 正方形的面积=边长×边长 长方形的面积=长×宽 S= (a为上底，b为下底，h为高) 3 旧知回顾 6. 菱形的面积公式： ①S=ah(a为底，h为这条底对应的高) ② S= d1d2(d1和d2为菱形对角线) 7. 平行四边形的面积公式： . 8. 圆的面积公式： . S=ah(a为底边长度，h为这条底边对应的高) S=πr2(π为圆周率，r为圆的半径) 4 课程导入 同学们，前面我们已经熟练掌握了一元二次方程的解法。大家思考一下，我们学习解方程，最终的目的是什么？ 是为了解决生活中的实际问题！ 非常棒！方程就是解决实际问题最重要的数学模型。大家还记得，我们以前用方程解决实际问题，要遵循哪几个固定步骤吗？ 我记得有审题、设未知数、列方程、解方程、检验、最后作答！ 总结得太完整了！老师把这六大核心步骤再帮大家梳理一遍，今天我们全程用这一套方法解题：一审题、二设元、三列方程、四解方程、五检验、六作答。 今天我们就用这六步，来解决两类有趣的几何实际问题。大家先听第一个问题：有没有三条边长是连续正整数的直角三角形？ 老师！3、4、5就是！它们是连续整数，还是直角三角形！ 观察很敏锐！那大家能确定只有这一组吗？能不能仅凭猜测下结论？ 不能！猜测不算数，必须按照步骤列式计算验证！ 说得非常严谨！我们再来看第二个生活问题：用一根40米长的细绳围长方形，能不能围出面积刚好96平方米的矩形？ 长方形的长和宽可以变化，面积也会变，有可能成功，也有可能不成功！ 没错。这种“不确定、需要验证”的问题，最适合用一元二次方程建模解决。那大家思考，我们该如何套用六大步骤解题？ 先认真审题找到条件，再设边长为未知数，根据面积或者勾股定理找等量关系，列出一元二次方程，解完方程还要检验合不合理！ 思路完全正确！尤其大家要记住，一元二次方程算出来有两个解，但实际问题中，边长、长度不能为负数、不能超出实际范围，所以检验步骤必不可少。 今天这节课，我们就严格按照 审题—设元—列方程—解方程—检验—作答 的完整流程，一起探究《实际问题与一元二次方程》 5 新知探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 6 新知探究 例2 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 分析：假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 7 新知探究 解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96m2，得 x (20-x) =96. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 例2 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 8 新知探究 追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 可知12m和8m分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域. 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 例2 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 9 新知探究 思考 对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种， 例如：(1)可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 10 新知探究 (1)可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； 解：根据矩形周长公式2(x+ )=40， 解得x1=12，x2=8. 特点：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程. 11 新知探究 (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. 解：根据矩形周长公式(10+x)+ (10 － x)=96， 解得x1=2，x2= －2. 则其两邻边长分别为12m，8m. 特点：利用“周长为40，则长+宽=20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值. 12 小结归纳 1.直接利用面积公式列一元二次方程解决问题时，要熟记各种常见几何图形的面积公式. 2.对于不规则图形的面积或周长问题，一般通过平移、割补等方法转化为规则图形，然后列方程求解，和周长有关的问题中，平移或割补之后注意边是否存在重复或遗漏. 13 随堂演练 1.在一幅长为80cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么x满足的方程是( ) A.x2+130.x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0 B 14 随堂演练 2.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区城？能围成一个面积为101m2的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：细绳长40m，即矩形周长40m，长+宽=20m，设矩形一边长为xm，则另一边长为(20-x)m. ①围成面积75m2 列方程：x(20-x)=75， 方程可化为：x2-20x+75=0. 15 随堂演练 2.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区城？能围成一个面积为101m2的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 因式分解，得：(x-5)(x-15)=75 解得：x1=5，x2=15. 所以能围成面积75m2的矩形区域，矩形两边为5m和15m. 16 随堂演练 2.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区城？能围成一个面积为101m2的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. ②围成面积101m2 列方程： x(20-x)= 101， 方程可化为： x2-20x+101=0. 此时a=1，b=-20，c=101， 17 随堂演练 2.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区城？能围成一个面积为101m2的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. Δ= b2-4ac =(-20)2-4×1×101=-4<0. 方程无实数根. 所以不能围成面积101m2的矩形区域. 18 随堂演练 3.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角? A D B C E 1 解：设 AE=x，则 EB=4−x. 在矩形 ABCD 中， AD=1，CD=4，∠A=∠B=90°. 根据勾股定理得： DE²=AD²+AE²=1²+x²=1+x² CE²=BC²+EB²=1²+(4−x)²=1+(4−x)² 19 随堂演练 若∠DEC=90°，则△DEC 为直角三角形，且 DC 为斜边， 满足：DE²+CE²=DC². 已知 DC=4，代入得：1+x²+[1+(4−x)²]=4². 方程可化为：x²−4x+1=0. 此时 a=1，b=−4，c=1， Δ=b²−4ac=(−4)²−4×1×1=12>0. x= = =2± ， 即 x₁=2+ ，x₂=2− 两个解都满足 0<x<4，因此 AB 上存在点 E. A D B C E 1 20 随堂演练 4.一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗?如果存在，有多少个? 解：设斜边长为x，则一条直角边长x-1，另一条直角边长x-8. 可列方程：(x-1)2+(x-8)2=x2 整理，得x2-18x+65=0. 解这个方程，得x1=5，x2=13. 当x=5时，直角边：5-1=4，5-8=-3. 21 随堂演练 4.一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗?如果存在，有多少个? 边长不能为负数，舍去. 当x=13时，直角边：13-1=12，13-8=5 由勾股定理a2+b2=c2得 52 +122=25+144=169=132 所以这样的直角三角形存在，只有1个. 22 随堂演练 5.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)? 解：设横彩条的宽度为3xcm，竖彩条的宽度为2xcm. 则空白部分的长：30-2×2x=30-4x. 空白部分的宽：20-2×3x=20-6x. 图案总面积：30×20=600cm2. 所以空白部分面积：600× (1-)=450 cm2 23 随堂演练 因此可列方程：(30-4x)(20-6x)=450 整理，得12x2-130x+75=0. 此时 a=12，b=-130， c=75， 所以Δ= b2-4ac =(-130)2-4×12×75=13300. x= = ≈ 即x1≈10.22(因为20-6x<0，舍去) x2≈0.61. 横彩条宽度：3x≈3×0.61≈1.8cm 竖彩条宽度：2x≈2×0.61≈1.2cm 24 随堂演练 6. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD.苗圃的一面靠墙(墙最大可用长度为14m)，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2m宽的门(门不用木栏)，建成后所用木栏总长为32m，设苗圃ABCD的一边CD的长为xm. (1)BC的长为 m(包含门宽， 用含x的代数式表示) A D B C (36-3x) 25 随堂演练 (2) 若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值； 解：根据题意得x(36-3x)=96， 即-3x2 +36x-96=0，即x2-12x+32= 0, (x-4)(x-8)=0， 解得x1=4，x2=8. 当x=4时，36-3x=36-12= 24>14， 当x=8时，36-3x=36-24=12<14， ∴ x=4不符合题意舍去，x=8. A D B C 26 随堂演练 (3)苗圃ABCD的面积是否可以达到109m2，请说明理由. 解：不可以达到109m2.理由如下： 若可以达到109m2， 则x(36-3x)=109， 化简得3x2-36x+109=0. ∵ Δ= (-36)2-4×3×109= -12<0. ∴方程x(36-3x)=109无解. ∴苗圃ABCD的面积不可以达到109m2. A D B C 27 课程小结 1. 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型，运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系. 2. 根据面积之间的等量关系建立一元二次方程，能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验. 3. 解题遵循 “问题情境 — 抽象模型 — 求解验证” 的建模流程，可灵活选择设元方法；方程无实根时，对应实际情境不存在. 28 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3.1 几何图形问题 29 $