25.3.1 第1课时几何图形问题 课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“几何问题与一元二次方程”，通过海螺黄金螺旋线引入黄金分割，衔接勾股定理，以连续整数直角三角形、矩形面积等探究活动为支架，引导学生建立实际问题与方程的联系。 其亮点在于情境生活化与探究式教学结合，通过黄金分割、矩形围绳等实例，培养数学眼光（抽象几何关系）、数学思维（多方法推理运算）、数学语言（模型表达）。例2多种设元方法促进思维发散，当堂练习巩固应用，帮助学生提升数学应用意识，为教师提供结构化教学资源。

25.3(第1课时) 几何问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 2 能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程． 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 海边的海螺藏着数学密码.沿着海螺壳盘旋的纹理勾勒曲线，我们便能得到流畅匀称的黄金螺旋线；而支撑这条曲线完美形态的核心，正是经典的黄金分割比例.接下来，就让我们从一枚小小的海螺出发，走进黄金分割的奇妙世界. 【探究1】 直角三角形边的数量关系 【操作尝试】 探究与应用 问题1：勾股定理如何用字母表示? 问题2：勾股定理反映的是哪种三角形三边之间的数量关系? a2+b2=c2 直角三角形三边之间的数量关系 【尝试交流】 探究与应用 问题3：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这 样的三角形有多少个?　 【探究1】 直角三角形边的数量关系 分析:(1)怎样理解“连续”这个词? (2)能否用含有相同未知数的量，表示这三个连续正整数? (3)直角三角形的三边有怎样的数量关系？能用等式表示吗? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x、x+1、x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3、4、5. 2 合作探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x 为正整数. 本题中的数量关系是什么？ 2 合作探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x 为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=−1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果 ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. A B C 解：由 ，得AC 2＝AB·BC ，设AB＝1，AC＝x， ∴ x2＝1×(1－x) 即x2＋x－1＝0 解这个方程，得 （不合题意，舍去） 则BC＝1－x . 所以，黄金比 一此有关线段成比例的问题，往往可转化为利用一元二次方程求解的问题，再通过求解方程，获得问题的答案. 黄金分割 A B C 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点. D 并且AD＝BC，AC＝BD. 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 【探究2】几何规则图形的面积问题 【思考交流】 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解上述问题吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 探究与应用 思考2：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如: (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m; 助力教学 (authorId_373264932) - 1)学生对几何图形的分析能力; (2)学生在未知数的选择上,能否根据情况灵活处理; (3)在讨论中能否互相合作; (4)解一元二次方程的能力; (5)学生回答问题时的语言表达是否准确 2 合作探究 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20−x) m； 由矩形的面积为96 m2，得x(20−x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 2 合作探究 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域? 如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20−x) m. 由矩形的面积为96 m2，得x(20−x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 B E M N A C D 黄金分割数在很多优美的图案中都有体现，如在常见的正五角星中存在黄金分割数.在随后的“相似”内容的学习，通过解一元二次方程，可以证明 再如，观察“情境引入”中鹦鹉螺外壳的截面，可以看出其轮廓形如螺线，而黄金螺线恰恰是通过黄金分割数得到的. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 黄金分割在生活、艺术等方面还有很多应用....... 【理解应用】 探究与应用 例3 图是矩形养鸡场的平面示意图，其中一面靠墙，另外三面用竹篱笆围成。若竹篱笆总长为35 m，所围矩形养鸡场的面积为150 m2，则此矩形养鸡场的长、宽分别为多少? 解：设矩形养鸡场的平行墙的一边长为x m，则与它相邻的边为 (35-x)m. 根据题意，得 x(35-x)=150, 解得x1=15，x2=20. 答：矩形养鸡场的长、宽分别为15 m、10 m, 或20 m、7.5 m 2 合作探究 思考 对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，小组讨论并分享你的新方法. 请根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2，比较这些设法，说说它们各自的特点. (1) 可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； (2) 可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10−x) m. 2 合作探究 解法2：设一边长为x m，那么其邻边长为 m. 由矩形的周长为40 m，得2(x+)=40. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 2 合作探究 解法3：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10−x) m. 由矩形的面积为96 m2，得(10+x)(10−x)=96. 解方程，得x1=2，x2=−2. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 所以，10+x=12或8. 1．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为160 m2的矩形土地种植黑苦荞麦，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差15 m，设该矩形土地的长为 x m，则可列方程为 ( ) A．x(x－15)＝160 B．x(x＋15)＝160 C．2x＋2(x－15)＝160 D．2x＋2(x＋15)＝160 A 课堂练习 2.教材习题变式 [2025广元中考改编]如图，在长为 ，宽为 的矩形地面的四周种植花卉，中间种 植草坪.若要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总 面积的，则花卉带的宽度应为___ . 2 【解析】 矩形地面的总面积为， 草坪的面积为总面 积的， 草坪的面积为．设花卉带的宽度为， 中 间草坪的长为，宽为 ．根据题意，得 ，解得， （不符合题意，舍去）， 故花卉带的宽度应为 . 20 3.[2025咸阳调研]用一根长的铁丝围成一个斜边长为 的直角三角 形，则这个直角三角形较短的直角边长为___ . 3 【解析】 设一条直角边长为，则另一条直角边长为 . 根据勾股定理，得，解得，， 两 条直角边长分别为和，这个直角三角形较短的直角边长为 . 21 7 布置作业 A B 习题25.3：第1，2题. 习题25.3：第5，6，7题. $