精品解析：福建莆田第一中学2026-2027学年高二上学期期初返校考数学试卷

2026-2027学年度上学期期初考试试卷 高二数学 必修二、选必二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，已知为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4. 已知函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积为（ ） A. B. C. D. 6. 一袋中装有大小相同的四个球,编号分别为1,2,3,4,现从中有放回地每次取一个球,共取2次记“取得两个球的编号和大于或等于6”为事件A,则P(A)等于　(　　) A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为 D. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 11. 平面与平面交于直线，，是平面内不同的两点；，是平面内不同的两点，且，，，不在直线上，，分别是线段，的中点，下列命题中正确的是（ ） A. 若与相交，且直线平行于时，则直线与也平行； B. 若，是异面直线，则直线可能与平行； C. 若，是异面直线，则存在异于，的直线同时与直线，，都相交； D. 若，两点重合，则此时直线与不可能相交. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，若，，，则______． 13. 若复数z满足，则的最大值为__________． 14. 四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且为等边三角形． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的大小． 16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，每吨收费5元；超出的部分按议价收费，每吨6.75元．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数（最高矩形底边中点的横坐标）并求的值； （2）已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于的户数； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值；若该市某户居民某月用水量为，求该户居民本月应缴水费多少元？ 17. 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； （3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 18. 的内角，，所对的边分别为，，，，． （1）求的大小； （2）设为的垂心且在内部，的延长线交于点，，求的面积． 19. 设函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，； （3）当，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期期初考试试卷 高二数学 必修二、选必二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法算出，确定实部与虚部，即可知其在复平面内对应的点和对应的点所在象限. 【详解】，则复平面内对应的点为， 该点位于第一象限. 2. 在中，已知为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由向量加法的平行四边形法则可得，， 所以. 3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 4. 已知函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 5. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知四个全等的等腰三角形的底边长为6，就可得正四棱锥的底面为边长为6的正方形，通过三角形的高也可求出正四棱锥的高，最后求出体积. 【详解】正四棱锥体积为（为底面面积，为正四棱锥的高），所以由题可知, 根据题中标注的长度可得下图中的,,所以,所以正四棱锥体积为 6. 一袋中装有大小相同的四个球,编号分别为1,2,3,4,现从中有放回地每次取一个球,共取2次记“取得两个球的编号和大于或等于6”为事件A,则P(A)等于　(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有放回取球，两次取到球的方法数一样，都是4．可用列举法列出事件A所含的基本事件． 【详解】有放回地取球，两次取球共有4×4＝16种可能， 两个球编号和大于或等于6的事件有24，33，34，42，43，44共6种， 因此概率为． 故选C． 【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件，得所含基本事件的数量，从而可计算概率． 7. 如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交延长线于点，则直线l为过点平行于的直线，即可确定平面，可得解. 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 8. 设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由转化为①或②，由指数函数及对数函数性质可得②无解；对①再转化为，分别构造函数，，再利用导数分别求函数的最大值及的最小值可得. 【详解】函数的定义域为， 由，得，等价于①或②. 由②得，即，所以. 因为对任意，恒有，所以不等式不成立，因此不等式组无解. 由①得，即（）. 令，则，令，解得. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 所以当时，函数有最大值. 要使恒成立，所以. 再令，则，令，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以当时，函数的最小值. 要使恒成立，所以. 综上所述，的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A，利用向量垂直时数量积为的性质求解.B，通过向量平行性质求解.C，通过数量积和模求解向量夹角.D，用坐标表示出后利用坐标求模的范围. 【详解】选项A，因为，所以，，解得，A正确. 选项B，因为，所以设，解得或，B错误. 选项C，时，，，，， 所以，所以夹角是，C错误. 选项D，，， 函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当时，， 所以，D正确. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 11. 平面与平面交于直线，，是平面内不同的两点；，是平面内不同的两点，且，，，不在直线上，，分别是线段，的中点，下列命题中正确的是（ ） A. 若与相交，且直线平行于时，则直线与也平行； B. 若，是异面直线，则直线可能与平行； C. 若，是异面直线，则存在异于，的直线同时与直线，，都相交； D. 若，两点重合，则此时直线与不可能相交. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A选项，结合线面平行的判定及性质定理可得；对B选项，通过假设，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理可得，与条件矛盾，从而得B错误；对C选项，取线段上某一个异于的点，过点和直线作一个平面，进而可得，则直线满足条件，从而可得C正确；对D选项，由条件可得四边形为平行四边形，再由线面平行的性质可得，故直线与不可能相交. 【详解】选项A：当与相交时，则四点共面，设该平面为. 因为，，，由线面平行判定得； 又，结合，，由线面平行的性质定理得. 因为已知，因此，A正确. 选项B：假设，取的中点为，连接，如图： 因为分别为的中点，由中位线的性质得，同理可得. 因为，，，由线面平行的判定定理可得. 又因为，，，由线面平行的判定定理可得. 因为，，，平面，由面面平行的判定定理可得平面. 同理可得平面，由面面平行的性质得，与条件矛盾， 因此当，是异面直线时，直线不可能与平行，故B错误. 选项C：当，异面时，取线段上某一个异于的点，过点和直线作一个平面. 因为，且分别在平面的两侧，因此直线必与平面相交，记. 在平面内，连接并延长，则直线与直线一定交于一点， 此时直线满足，且异于，，故C正确； 选项D：若，两点重合，说明和互相平分，即四边形为平行四边形，因此.如图： 又因为，，且，故. 又，，且，由线面平行性质得， 因此与不可能相交，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理列方程，化简求得. 【详解】依题意， ，负根舍去. 所以. 故答案为： 13. 若复数z满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设复数，,再根据复数模的公式，即可求解. 【详解】设复数，则， ， 由可知，，当时，的最大值为. 14. 四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式以及余弦的二倍角公式即可解决问题. 【详解】如图所示： 因为，，又点是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点是的中点， 所以， 因为， 所以， 即， 设，，则， 所以， 所以， 所以当即时，有最大值1， 即有最大值为1． 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且为等边三角形． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】（1）设正方形边长为，由已知得，且， 所以四边形为平行四边形． 则，又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线平行可证线面平行； （2）通过二面角平面角的定义确定为平面与平面所成二面角的平面角，再结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），为边长为的等边三角形， 则，连接， 由为中点，得，． 又，平面，平面，平面平面， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 在三角形中，由余弦定理可得：， 所以，即平面与平面所成二面角的大小为. 16. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，每吨收费5元；超出的部分按议价收费，每吨6.75元．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数（最高矩形底边中点的横坐标）并求的值； （2）已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于的户数； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值；若该市某户居民某月用水量为，求该户居民本月应缴水费多少元？ 【答案】（1）9， （2）48000户 （3），（元） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率和为1即可求解. （2）求出月均用水量不低于14t的频率，进而可估计人数. （3）利用频率分布直方图及第百分位数的定义列式求解，根据用户用水量计算水费. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知众数为， 根据频率分布直方图可得， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，每户居民月用水量不低于14t的频率为． 由此可估计全市80万户居民中月用水量不低于14t的户数约为（户）． 【小问3详解】 因为前6组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 所以．由，解得． 因此，估计月用水量标准为11.6t时，的居民每月的用水量不超过标准． 该户居民某月用水量为14t时，应缴水费为（元）． 17. 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； （3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件“两个都没猜中”计算概率； （2）分成甲猜中2个乙猜中1个和甲猜中1个乙猜中2个分别计算后再相加； （3）分成三个互斥事件计算：甲猜中1个乙猜中0个，甲猜中2个乙猜中1个，甲猜中2个乙猜中0个. 【小问1详解】 记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件， 则， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为. 【小问2详解】 记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中， 所以，， ， ，， ， 记事件表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则， 所以， 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为; 【小问3详解】 记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则， 所以， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为． 18. 的内角，，所对的边分别为，，，，． （1）求的大小； （2）设为的垂心且在内部，的延长线交于点，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，得到，求出； （2）计算出，故，，根据，得到，利用正切和角公式得到，从而求出，所以，为等边三角形，求出的面积； 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 又因为，， 所以，整理得． 在中，由余弦定理得，所以， 即， 又因为，所以． 【小问2详解】 为的垂心，； 因为为的垂心，所以， 又，所以在中，， 同理可得， 又因为，所以， 即， 又因为在中，， 所以，因此， 故，为方程两根， 即， 因为，，所以， 所以为等边三角形， 所以． 19. 设函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，； （3）当，，求的取值范围． 【答案】（1）当时，单调递减区间是，无单调递增区间；当时，单调递增区间是，单调递减区间是. （2）要证时，，等价于证明，即证，也即证， 令，求导得，令，得， 当时，，则，故，在上单调递增， 因此，即，所以恒成立， 故在时成立. （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后通分，依据参数的正负讨论导数符号，以此划分区间得到f(x)的单调性； （2）将等价变形为，构造辅助函数利用导数证明该指数不等式； （3）构造差值函数，以为界分类讨论，借助前两问单调性结论，排除不合要求的参数，得到的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 若，则恒成立，即，故在上单调递减； 若，令，解得或（舍）， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上，当时，单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，即，整理得， 令，则，， 若，则，又时，且由（2）的结论可得​， 所以， 因此在上单调递增，所以，满足， 若，则，由（1）可知在单调递减， 所以，而时，，不满足； 若，在上单调递减，，而，不满足； 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $