精品解析：福建省莆田第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

莆田一中2025—2026学年度上学期期初考试卷 高二数学 选择性必修一第二、三章 本试卷共3页 考试时间120分钟 总分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以点为圆心，半径为2的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求解判断． 【详解】由圆的标准方程，以为圆心，2为半径的圆的标准方程为. 故选：B. 2. 设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 3. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把方程中的换成即可得到所求直线方程. 【详解】直线关于轴对称的直线为：，即. 故选：B. 4. 已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【详解】因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心的距离为，又， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切， 所以有3条公切线． 故选：C. 5. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 6. 方程表示的轨迹是（ ） A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：A． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，属于基础题． 7. 若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（    ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆与双曲线的性质计算即可. 【详解】由表示双曲线，则，其焦点坐标为， 易知椭圆的长轴端点即其左右顶点坐标为， 由题意知与重合，即. 故选：A 8. 斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【详解】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线被圆截得的弦为，则（ ） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心C到直线距离为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先把圆的方程化简为标准方程，再应用点到直线距离公式结合几何法求出弦长即可. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， 所以，半径，A选项错误，B选项正确； 所以圆心到直线的距离，C选项错误； 弦的长，D选项正确； 故选：BD． 10. 若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（ ） A. C的短轴长 B. 点在椭圆上 C. C的离心率为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由椭圆关系得到椭圆方程，再由椭圆的性质逐项判断可得. 【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或， 所以椭圆C的方程为； 短轴长为； 代入椭圆方程可得点在椭圆上； 离心率； 焦半径． 故选：AB． 11. 若直线：，：，：，且，，则（ ） A. B. C. ，之间的距离为 D. ，的交点坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过直线的位置关系列方程求解即可判断AB，代入两平行直线距离计算公式判断C，联立直线方程求得交点坐标判断D. 【详解】由及得，解得，故选项A错误，B正确； 则：，：，又：即， 所以，之间的距离为.故选项C正确； 由得，所以，的交点坐标为，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过原点直线倾斜角为，且过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用倾斜角可计算出斜率，即可得直线方程，即可得解. 【详解】，则，则有. 故答案为： 13. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由得，根据双曲线定义得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】由，， 得，又， 所以. 故答案为：2 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解． 【详解】如图所示，椭圆，可得，，则， 因为点P在椭圆C上，可得， 又由，可得． 联立方程组，可得， 所以的面积为． 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在y轴上； （2）经过点，两点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，由b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆的标准方程． （2）根据与两条坐标轴的交点坐标，确定焦点位置及a，b，即可得解． 【小问1详解】 因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； 【小问2详解】 由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，由得椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 16. 已知直线l经过点和点． （1）求直线l的截距式方程； （2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【小问1详解】 由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． 【小问2详解】 由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 17. 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． （1）求该双曲线顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）设点是上第一象限内的点，，求x的值． 【答案】（1）顶点坐标为，；焦点坐标，；离心率为；渐近线方程 （2） 【解析】 【分析】（1）先把双曲线方程变形为标准方程，可得，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值. 【小问1详解】 由题意得， 可得，，， 故顶点坐标为，，焦点坐标，， 离心率，渐近线为； 【小问2详解】 设，则， 点Q在第一象限，，且，， ， 解得， ． 18 已知两直线，． （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【答案】（1） （2）①相离；② 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点的对称点，利用两点之间线段最短可求答案. 【小问1详解】 联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 ①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 19. 如图，已知点，圆：. （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）设圆与轴的正半轴的交点是，斜率为的直线过点，且与圆交于不同的两点. ①设直线的斜率分别是，求证：为定值； ②设的中点为，点，当，且为整数时，求以为直径的圆的方程. 【答案】（1）或；（2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）由圆心和半径可知一条切线为，设另一条切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，由此可得另一条切线方程，综合可得结果； （2）①将代入圆的方程，整理可得韦达定理的形式，将利用表示，代入韦达定理的结论，整理可得定值； ②设，结合①可用表示坐标，利用可构造方程求得，进而确定所需点的坐标，得到圆心和直径长，从而得到所求圆的方程. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径，显然有一条切线为. 当切线的斜率存在时， 点不在圆O上，切线的直线方程可设为， 根据圆心到切线的距离等于半径，可得，解得：， 圆的切线方程为，即， 综上可得：圆的切线方程为或. （2）①联立得：， 设，，，， ， 即的值为定值. ②设中点，由①知 ，代入直线的方程得：， 又由得：， 化简得：，将、式代入得：， 解得：或，为整数，. 当时，，，即， 可得的中点为，. 故以为直径的圆的方程：. 【点睛】思路点睛：直线与曲线综合应用中的定值问题求解的基本思路如下： ①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ④化简所得函数式，消元可得定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2025—2026学年度上学期期初考试卷 高二数学 选择性必修一第二、三章 本试卷共3页 考试时间120分钟 总分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以点为圆心，半径为2的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 设与是平面内不重合直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 3. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆，则两圆公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 6. 方程表示的轨迹是（ ） A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 7. 若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（    ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线被圆截得的弦为，则（ ） A. 半径5 B. 圆心 C. 圆心C到直线距离 D. 10. 若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（ ） A. C的短轴长 B. 点在椭圆上 C. C的离心率为 D. 11. 若直线：，：，：，且，，则（ ） A. B. C. ，之间的距离为 D. ，的交点坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过原点直线倾斜角为，且过点，则__________. 13. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则双曲线的离心率为______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在y轴上； （2）经过点，两点． 16. 已知直线l经过点和点． （1）求直线l的截距式方程； （2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 17. 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）设点是上第一象限内的点，，求x的值． 18. 已知两直线，． （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 19. 如图，已知点，圆：. （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）设圆与轴的正半轴的交点是，斜率为的直线过点，且与圆交于不同的两点. ①设直线的斜率分别是，求证：为定值； ②设的中点为，点，当，且为整数时，求以为直径的圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $