福建省泉州市永春第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

永春一中2025-2026学年高二（上）期初考试 数学 25/09/05 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号：非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设向量，，则（ ） A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件 2.已知向量，，满足，.且，则（ ） A. B. C. D. 3.在中，，则（ ） A. B. C. D. 4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：、、…、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ） A.20 B.40 C.64 D.80 5.某人在一次考试中每门课得分如下：60，59，76，90，85，100，则数据的第75百分位数为（ ） A.87.5 B.85 C.90 D.100 6.在三棱锥中，若，，，则（ ） A. B.1 C. D.0 7.在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间距离均为1.若，，.则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 8.在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（ ） A. B. C.3 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列四个命题中为真命题的是（ ） A.已知，，，，是空间中任意五点，则 B.若向量，满足，则 C.若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D.若（，），则，，，四点共面 10.如图，在四面体中，点，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 11.如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，满足，，则_________. 13.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为_________. 14.已知中，点在边上，，，.当取得最小值时，_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 16.（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知 （1）求； （2）若，，求的周长. 17.（15分）如图所示的四棱锥中，平面，，，，，，，为的中点； （1）求证：平面 （2）求证：平面 （3）若，，，在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上 18.（17分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试。现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）。 （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率. 19.（17分）类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则。如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. （1）在图2中，用三面角余弦定理求的值； （2）在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； （3）在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 永春一中2025~2026学年高二（上）期初考试 数学参考答案 25/09/05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.【答案】C 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得，；，；，重合， 因为，且两两之间距离为1.，，， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 8.【答案】D 【详解】设，，，则有， 由，，所以，， 所以 ， 即，所以， 整理得，所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】CD 10.【答案】ACD 11.【答案】ABD 【详解】对于A，由图，，故A正确； 对于B，由A， ，故B正确； 对于C， ，则与不垂直，故C错误； 对于D，取中点为，连接，则， 又由图可得，注意到， 则，又，，，平面， 则平面，又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.［答案］ 法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以. 法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即，故答案为： 13.［答案］ 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得， 所以，所以，， 因为，在中，，， 所以，即圆锥底面圆的半径为， 所以这两个圆锥的体积之和为. 14.［答案］ 【详解】设，则在中，，在中，， 所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，故答案为： ［方法二］：建系法 令，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系.则，， 当且仅当即时等号成立 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】 （1），，， 为纯虚数，，解得， 故，则. （2），， 复数所对应的点在第二象限，，解得， 故实数的取值范围为. 16.【详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即. 由于，故解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到：， 故，解得，又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，，则，进而得到， 于是，， 由正弦定理可得， 即解得 ， 故的周长为 17.【详解】（1）证明：取中点，连接、， 、分别为、的中点，，， ，点在上，， ，且，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）证明：，，， 平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， ，为的中点，， ，平面，平面，平面， ，平面. （3）证明：平面， ，， ，， ，，， ，，， ，， 、、、在同一个球面上，且， 为球心，球心在平面上. 18.【详解】 （1）由频率分布直方图，，， 平均分为； （2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为， 抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4， 位于上的有2人，编号为，， 从这6人中任取2人的基本事件有： 12，13，14，，，23，24，，，34，，，，，共15个， 其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有： ，，，，，，，，共9个， 所以所求概率为. 19.【详解】（1）设，连接， 因为底面为菱形，所以，，为的中点， 又，为公共边， 所以，所以，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故二面角的大小为， 又，则，，，， 又， 所以为等边三角形，， 由三面角余弦定理得 ； （2）存在，，理由如下： 由三面角余弦定理得， 即，， 显然为锐角，故， 在中，由正弦定理得， 即，故， 由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 此时，使得； （3）由题意得，设平面内任一条直线为， 当过点时，记与的夹角为，， 由（1）及三面角公式可得， 因为，所以， 又，所以， 当不过点时，过点作，记与的夹角为，， 则， 又，所以， 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $