北京市某校2024-2025学年高三上学期开学检测数学模拟试卷

对外经济贸易大学附属中学高三开学检测模拟试卷 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分. 1 ．已知集合 A = {x∈ R | 3x + 2 > 0} ，B = {x∈ R | (x + 1)(x - 3) > 0} ，则 A B = ( ) A ．(−∞, −1) B ． C ． D ．(3, +∞) 2 ．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1) 上单调递增的是( ) A ．y = lg x B ． C ．y = 2|x| D ．y = tan x 3 ．已知角α 的终边经过点 ，则sin 2α = ( ) A ． B ． C ． D . 4 ．已知a = , b = ln ，c = sin ） A ．a > b > c B ．b > c > a C ．a > c > b D ．c > a > b 5 ．在 ΔABC 中，sin B = sin 2A , c = 2a ，则( ) A ．B为直角 B ．B为钝角 C ． C 为直角 D ． C 为钝角 6. 已知f (x) 为定义在R 上的函数，f (2) = 2 ，且g(x) = f (2x) + x2 为奇函数，则 f (−2) = A. −4 B. −2 C. 0 D. 2 7 ．设 AC (→)和 BC (→) 的夹角为为锐角的（ ）条件 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件. 8 ．我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢， 伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角L BAC ，且 AB = AC ， 从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈D 已 滑到De 的位置，且A ，B ，De三点共线，AD, = 40cm ，B 为AD, 的 中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距 离为 24cm ，则当伞完全张开时，L BAC 的余弦值是( ) 第1页 学科网（北京）股份有限公司 ( A . − B . − C ． - D . − )17 4 21 3 8 25 25 5 25 9 ．已知OO 的半径为 1，直线 PA 与OO 相切于点A，直线 PB 与OO 交于 B ，C 两点，D 为 BC 的中点，若 PO = ·2 ，则 PA. PD 的最大值为( ) A． B． C．1 + D．2 + 10. 已知函数f (x) = sin ①x + (① > 0) 在[0, 2] 上恰有 4 个不同的零点，则实数① 的取值 范围为( ) 纟 纟 纟 纟 A ． 2 , ú B ． 2 , ÷ C ． p , 2 ú D ． p , 2 ÷ 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11 ．函数f + ln x 的定义域为 . 12. 如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量a, b , c ，则 (a + b). c = ，a. b = . 13 ．能使命题“若 sin 2A = sin 2B ，则 △ABC 为等腰三角形”为假命题的一组 A, B 的值是 . 14 ．已知函数 ① 函数f(x) 的零点个数为 . ② 若存在实数b，使得关于x 的方程f (x) = b 有三个不同的根，则实数m 的取值范围是 . 15. 已知 ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a, b, c, 则下列条件能推导出 ABC 一定为 锐角三角形的是 . ① a2 + b2 > c2 ② ③ cos2 A + cos2 B − cos2 C = 1 ④ tanA+ tan B + tan C > 0 第2页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 ．（本小题 13 分） 在 ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，c = 2b, sin A = 3sin B . ( Ⅰ) 求sinC ； (Ⅱ) 若 ABC 的面积为 ，求AB 边上的中线CD 的长. 第3页 学科网（北京）股份有限公司 17.（本小题 13 分）设函数f (x) = sin (①x +φ) ( ① > 0 ， φ < ）.若f (x)在区间 上具有单调性 再从条件① , 条件② , 条件③这三个条件中选择一 个作为已知条件，使函数f (x) 存在. ( Ⅰ )求 f (x) 的解析式； (Ⅱ)求函数f (x) 在[−π,0]上的最大值和最小值. 条件 为奇函数；条件②： f ；条件③：f 第4页 学科网（北京）股份有限公司 18. （本小题 14 分） 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用 又有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 ( Ⅰ ) 从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差 的绝对值小于 1 亿立方米的概率； ( Ⅱ ) 从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过 33 亿立方 米的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (Ⅲ) 由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 第5页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．（本小题 15 分）已知函数 = x − alnx, g , (a∈ R) . （1）若a = 1 ，求函数f (x) 的最小值； （2）设函数h (x) = f (x)− g (x) ，求函数h (x) 的单调区间； （3）若在区间[1, e] 上存在一点x0 ，使得 f (x0 ) < g (x0 ) 成立，求a 的取值范围. 第6页 学科网（北京）股份有限公司 20. （本小题 15 分）已知函数 = eax + x2 + x + b ，且曲线y = f (x) 在x = 0 处与x 轴 相切. ( Ⅰ )求 a, b 的值； ( Ⅱ ) 令g(x) = f '(x) ，证明：函数g(x) 在(0, +∞) 上单调递增； (Ⅲ) 求f (x) 的极值点个数. . 第7页 学科网（北京）股份有限公司 21.（本小题 15 分） 对于数列 ，定义a 设 的前n项和为Sn (*) . 设an = ，写出a (Ⅱ)证明：“对任意n∈ N* ，有Sn (*) = an+1 − a1 ”的充要条件是“对任意n∈ N* ，有|an+1 − an | = 1 ”； (Ⅲ) 已知首项为 0，项数为m +1(m ≥ 2) 的数列{an } 满足： ①对任意1≤ n ≤ m 且n ∈ N* ，有an+1 − an ∈ = am . 求所有满足条件的数列{an } 的个数. 第8页 学科网（北京）股份有限公司 $$