13.1.1 直角三角形三边的关系-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版2024）

第13章勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 13.1.1 直角三角形三边的关系 ©第1课时 操索直角三角形三边的关系 ①基础在线 沙知识要点分类练 0 知识点1探索直角三角形的三边关系 1.若图①和图②中空白部分的面积为S1,图③ 中空白部分的面积为S,请你证明勾股定理： 第4题图 第6题图 a2+b=c2. 5.(平顶山阶段练习)在Rt△ABC中，斜边BC=5, 则AB2+AC+BC的值为 () 剪开 右边部分 A.15 B.25 C.50 D.60 上下翻转 6.如图，在△ABC中，AB⊥AC,垂足为点A,BD 图① 图② 图③ 是AC边上的中线，若AB=5cm,AD=6cm, 则BC的长是cm. 7.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC =10,CD=8,BC=3AD.求BC的长， 知识点2利用勾股定理进行计算 2.直角三角形中两直角边长分别为a、b,斜边长 易错点直角边不确定导致漏解 为c,则勾股定理的表示为 () 8.(教材P123练习T2变式)（南阳阶段练习）已 A.a2+b=c2 B.b2+c2=a 知直角三角形的两边长分别为a、b,且a、b满 C.a2+c2=b2 D.a2-c2=62 足√(a-3)了+(b一4)2=0，则此直角三角形 3.(信阳期末)已知在Rt△ABC中，∠A=90°， 的斜边为 () AC=8,AB=15,则BC的长为 ( A.5 B.5或7 A.√161 B.8 C.4 D.4或5 C.17或161 D.17 ②能力在线 沙》方法规律综合练】 4.(平顶山期末)如图，若正方形A、B的面积分 9.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之 别为625和576，则正方形C的边长为() 一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具 A.7 B.14 C.49 D.31 之一.下列图形中，可以证明勾股定理的有() 第13章78 宁☑@ ③拓展在线沙培优拔尖提升练 13.(教材P133习题T4变式)（开封阶段练习） 3③ 小华阅读了华师大课本第132页阅读材料 A.①③ B.②③ “美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于 C.②④ D.①④ 是，他又对Rt△ABC(∠ACB=90°)进行了 10.(中考·眉山)如图，图①是北京国际数学家 一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他 大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽 一起完成下面的探究。 的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成. (1)观察猜想 若图①中大正方形的面积为24，小正方形的 ①如图①，将Rt△ABC放置在边长为1的正 面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②， 方形网格中，则S、S2、S之间的关系是 则图②中大正方形的面积为 () A.24 B.36 C.40 D.44 ②如图②，以Rt△ABC的三边向外作等边三 角形△ACD、△BCF、△AEB,则S1、S2、S 之间的关系是 (2)探究论证 图① 图② E D 如图③，以Rt△ABC的三边为直径向外作半 第10题图 第11题图 圆，若BC=a,AC=b,AB=c,则判断在(1) 11.(开封阶段练习)如图，在等腰三角形ABC 中发现的S、S2、S之间的关系是否还成立， 中，AB=AC=10,BC=12,AD为△ABC的 并说明理由； 中线，FE垂直平分AC,交AD于点G,则AG (3)拓展应用 如图④，以Rt△ABC的三边为直径向外作半 圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出 12.如图，∠ACB=90°，AC=AD △ABC的面积. (1)过点D作AB的垂线DE交BC于点E, 连结AE(尺规作图，并保留作图痕迹)； (2)如果BD=8,BE=10,求BC的长. s. 图 图② 图③ 图④ 79探究在线八年级数学（上）·HD ©第2课时 勾股定理的简单应用 ①基础在线 ,知识要点分类练 5.(郑州期末)轩轩同学在校园里散步时看到鸟 儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问 知识点勾股定理的简单应用 题：有两棵树，一棵高6m,另一棵高2m,两树 1.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示， 相距6m,一只小鸟要从一棵树的树顶到另一 其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平 棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接 线，CE是竖直线，高度为4m,BC的长是8m, 近的是 () 则BE的长是 A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m A.√/48m B.8 m 6.(平顶山期中)如图，一棵垂直于地面且高度为 c厚m D.4 m 12m的大树被大风吹折，折断处A与地面的 距离AC=4.5m,树尖B恰好碰到地面，在大 2.(郑州期中)桐桐早晨从家出发去上学，先向正 树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车， 南方向走了1.5km,接着向正东方向走了 与树的根部的距离CD=6.5m,树枝落地时 2km到达学校，桐桐家到学校的距离为() 是否会砸着小轿车，并说明理由， A.2 km B.2.5 km C.3 km D.3.5 km 3.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=1,∠ACB= 90°，点B、C在数轴上对应的数分别是0，一1， 以点B为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的 负半轴于点D,则与点D对应的数为() -2D-1 0(B)I 2 能力在线沙方法规律蝶合蛛 A.1 B.-1 C.√2 D.-√2 4.(郑州期中)如图是一块长方形草坪，AB是一 7.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 条被踩踏的小路，已知AC=12m,BC=9m. 均为1，每个小正方形的顶点叫做格点， 为了避免行人继续踩踏草坪（走线段AB),小 △ABC的顶点在格点上，则△ABC的三边长 梅分别在A、B处各挂了一块下面的牌子，则 a,b、c的大小关系是 () 牌子上“？”处是 少走？m。 踏之何忍？ > A.a<b<c B.c<b<a A.3 B.4 C.5 D.6 C.a<c<b D.c<a<b 第13章80 8.(焦作期末)如图，有一“工”字形的机器零件， ③拓展在线》培优报尖提升然 它是轴对称图形，图中所有的角都是直角（图 中数据单位：cm),那么A、B两点之间的距离 11.(教材P123例2变式)（漯河期中）如图①， 为（精确到整数） AB为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然 A.23 cm B.11 cm 下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多1m, C.16 cm D.20 cm 现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）. (I)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B 12 滑动到点C,并使旗绳AC笔直，如图②，此 时测量得出BC=5m,请按此方法求出旗绳 AC的长度； 第8题图 第9题图 (2)第二小组的方法是利用2m高的标杆 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6, DE,将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移 BC=8,E为BC边上一点，把△ABC沿AE 动标杆至旗绳AD笔直，且标杆DE垂直于 折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴 地面，如图③，请利用(1)中的结论求出标杆 影部分)的面积为 () 和旗杆的水平距离的长度.（结果保留根号） A.24 B.18 C.15 D.9 10.(南阳开学考试)某数学兴趣小组开展了笔记 本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当 张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高 B 度BC为7cm,此时底部边缘A处与C处间 图① 图② 图③E 的距离AC为24cm,小组成员调整张角的大 小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时 (D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的 距离DE为20cm,求底部边缘A处与E处 之间的距离AE的长， 81探究在线八年级数学（上）·HD∴DF■CF.士△DCF是等腰三角悬， 2.A3.D4A5,C&13 单元棕合复习[三}全等三角形 .CD是AB边上的高： 格门考点突破 CDLA 1.A2,日3.B4.D ∠ADC=0 5.1):D为C的中点，D=CD 在k△ACD中，由勾段定理，得 YBEAC. AD=√AC-CD=/1T-B-6 ,∠E=∠DAC,∠DBE=∠C BC-3AD.&BC-3X6-18 在△BDE和△CDA中， 8.D ￥∠E-∠DAC,∠DBE-∠C,BD-CD 船力在城 ∴，△BDE△CDA(AAS). 2):△BDDa△CDA,,ED=AD. D10,D19 :AD1BC,,BD直平分AE,BA-BE 12(1)如居，直线DE即为断来 4C7.D8.B (2)DE⊥AB. 9.:D是C的中点 ∠ADE=90 .BD-CD. ·△ACE和△ADE都为直角三角形 ,DE⊥AB,DF⊥AC, 在我t△BDE中，由勾程定理，得 ÷∠BED=∠CFD-90 DE-VBE一BP-√10-8- BD-CD.DE-DF. 在R△ADE和Rt△ACE中 点Rt△BDE2R:△CDF(HL, AC-AD.AE-AE. ∠B-∠CAB-AG Rt△ADE☑R△ACE(Hl) ∴△AC是等履三角形， EC-ED-6. 10.C11.C12.A18,35 BC-BE+EC-16 核心素养握开 拓展在线 14,《1们AP是∠HAC的平分线，理白如下： 18,(1)①51-8+5g5-5+8 在△ADF有△AEF中， (2)5,=5+5还成这里由如下： AD-AE.AF-AF.DFEF, △ADP☑△AEF(5SS), s-是×x×()-京，8-7×x× ∠DAF=∠EAF.AP平分∠BAC ()'-w8-××(侵广- 2)AP平分∠BAC.PQLAB, 2+8, △APC的高等于PQ. PQ-6,SAw-6X9+227 品+品=w+= Sour -SoMe-Suve -13, A1-33×2+G-11 32-8. 第13章勾股定W S=5+8 13.1勾服定理及其送走理 (3)5&m=8, 131.1直角三角形三边的关系 第2来时为及发厘的简单应用 第1原时拔家直角五角移三鸿的关系 基醒在桃 基超在线 1,A2B3.D4.D5,C 1根据题图①，得5-2+都+2X宁血 五，不会振着小频车，理由如下： ∠ACB=90, 根松题周@，得S-+2× :△AC为直角三角B :51=号 在△AC中，C-4,5的AH=12一4,5=元.5m .BC=√H-ACm√T,5一4.5=6(m, 如++2×2b■+2×室b CD6.5 m.CD>BC 整原，得a+-2 “树枝不金鞭着小轿车 26 一探究在线·八年 能力在战 即3r+4:十5x￥36，解得士=3 7.D 8.A D.D A9cm12 cm.AC=15 rm. 10,在R△以A电.A=AC+BC=24+7= A+BC=AC 625(em) △AC是直角三角慧 AB-AD-25 cm. 经过88时.BP+9一3×1=8(cm》,BQ-2×3 在R△DEA中，A=AD-D=25日-一20 -(m), =225《cm). ,∴，AE=15m 5aam-2BP.BQ-×6×4-18(cm2) 答，底部边缘A处与E处之间的距离AE的长 收经过3*时，△PQ的凰积为18m 为15cm 15,(1》9.40.41 拓展在线 〔2)由《1)知，量小的数为奇数3，且w为奇 1L.(1)设戏绳AC的酸度为xm,则端杆 数时，为外两个验分别为，生 AB的长为《一1》m, ,AB⊥BC,∴，∠ABC-o 验证：+（了=+一 AB+BC-AC. ∴(x-1+号- -(学 解得x-13,即AC-18. 所以，小华的猜想正确 筹，魄用AC的长度为13m 拓展在线 (2)由题意可知，AB-12m,AD-AC-18m 1((L》连结PD. DE-2 m. 将△APB绕点B时针转0，得到△CD, 过点D作DF⊥AB,至足为点F, ,PB-DB,∠PBD=. 期DF-BE,FB=DE一2m, 六△PBD是等边三角形.，PD一PB=& AF=AB-FB=-12-2=10(m. 即点P与点D之同的距真是& ∴DF=√D-A=13-1G=√g《m) (2)△PC是直角三角形.理由为 答，标杆与旗杆的水平距离为√丽m :将△APB绕点！逆时针旋转0，得到 13.1.2直角三角形的判定 △CBD,PA=10. 基在战 CD-PA-10. L.A 2.C 3.C 4.D 在△PDC中，PC=6.PD=8, 5.△AC是直角三角形.筐明如下， PD+P=8+6=100 a+=(w2一2)1+(2w》2=国-2w2十 又D=10=300. n+m'n'mm+2w'n+(m+n'yd .PD+PCcr △ABC是直格三角形. △PDC是直角三角形，且∠CPD=g0°， 6.△AC是直角三角思，证明如下 13,1,8反证抽 AB.DE-ABX12-60: 基同在线 1C2.M①093，①0 ,AB=10. 能力在线 在△ABC中，AC=8,C=6,AB=10, A(1)程设a0,斯引al=a,这与已知@<翻矛霜， AC+BC-AB 程设不成立 △ABC为直角三角形 d必为负数 7.CB.A9.6,10(答案不唯-) (2)报授形如4n十3的整敷能化成两个整数的 能力在线 平方和，不斯设这两个整数为a,品 10.1211.B12.C13B 则4n+3=a十子 14.授AB为3xcm,BC为rem,AC为5rem, 4m+3-(w+2)+《--1≠+ △ABC的周长为35m: ,假授不成立. AB+C+AC-36.cm. ,形如如十3的整数是不能化为两个整数的平方和， 及数学（上）·HD