第五章《二次函数》单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 《二次函数》单元测试卷，覆盖定义、图像性质、变换及应用，通过生活情境（风筝销售、车棚设计）与综合探究题，落实抽象能力、模型意识及推理能力，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像变换|结合图像辨析（如第8题抛物线与直线图像判断），考查几何直观| |填空题|6/18|解析式变形、交点坐标、不等式解集|通过抛物线沟渠（第14题）考查数学建模，体现应用意识| |解答题|8/72|图像绘制、利润最值、动点面积、存在性问题|综合题（如第23题面积最大与平行四边形存在性），培养推理能力与创新意识|

第五章《二次函数》单元测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 4．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 8．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 12．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 13．把二次函数变形为的形式为_____ 14．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 15．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 18．（6分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 19．(8分）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 20．（8分）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值该函数图像与x轴必有公共点； (2)求证：不论m为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上． (3)已知点，在二次函数图像上，若，则m的取值范围是______． 21．（8分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 22．（8分）学校准备在教学楼后面搭建一个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． (1)若围成的面积为，请求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积最大的自行车车棚吗？如果能，求出最大面积；如果不能，请说明理由． 23．（14分）已知抛物线与x轴相交于两点与y轴交于点C，作直线BC． (1)求抛物线和直线对应的函数表达式； (2)利用图象求不等式的解集； (3)点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接， ①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积 ②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（14分）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 参考答案 一、选择题 1．C 解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．B 解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 3．D 解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 4．B 解：， 原抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，顶点平移规律与点的平移规律一致，向右平移横坐标加，纵坐标不变 ， 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 故平移后抛物线的顶点坐标为． 5．D 解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 6．B 解：∵方程有两个相等实数根， ∴与只有一个交点， ∴ 解得：， 故选：B． 7．C 解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 8．A 解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 9．C 解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 10．D 解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 二、填空题 11．0或 解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 12． 解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 13． 解： 故答案为：． 14． 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 15． 解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 16．①③⑤ 解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 三、解答题 17．（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 画出函数图象如图所示： （2）解：， 故抛物线的顶点坐标为； （3）解：当时，， 由图象可得，当时， y的取值范围为． 18．（1）解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 19．（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 20．(1)证明：∵ ， 所以不论 m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点； (2) 证明：， 二次函数的顶点坐标为 当时，， 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上； （3）函数的对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∵点，在二次函数图像上，， ∴， 解得：， 故答案为：． 21．（1）解：设燕子型风筝售价为元时，销售量为个， 根据题意可知：)， 销售量与售价之间的函数关系式为)； （2）解：设锁大爷获得的利润为元， 则， 令，则， 解得：，， ∵锁大爷为了让利给孩子， ∴， 答：售价应定为元； （3）解：∵， ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元． 22．（1）解：设，则， 根据题意得， 解得，， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、； （2）解：能， 设围成的矩形面积为，， 根据题意得， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，为， 此时，符合题意， 综上所述，自行车车棚有最大面积，最大面积为． 23．（1）解：把代入得： ，解得： ∴抛物线解析式为：， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：观察图象得：当或时，抛物线图象位于直线的上方， 此时，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：①如图，过点P作轴于点M，交直线于点N， 设点，则， ∴ ， ∴， ∴当时，的面积最大，为， 此时点P的坐标为； ②∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，且点B，Q均在x轴上， ∴，， ∴点P和点关于对称轴对称， ∴点P的坐标为， ∴， ∵， ∴点Q的坐标为或． 24．（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  学科网（北京）股份有限公司 $